解密一次函数图象分布

崔秀玲 左效平

一次函数是中考的重要考点，题型颇多，其中包括一次函数图象分布问题. 解这类问题的基本策略主要有两种：性质分类判断法（如表1，按k和b的正负性分类判断即可）和平移判断法（如表2，b为正数时沿y轴向上平移;b为负数时，沿y轴向下平移. 一次函数的一次项系数相同即直线y = kx + b与y = kx是平行线;两条直线的性质是相同的） . 下面举例对该类问题进行剖析.

表1                                                                                   表2

一、根据图象分布，确定待定字母的取值范围

例1（2019·山东·潍坊）若直线y = （2 - 2k）x + k - 3经过第二、三、四象限，则k的取值范围是 .

解析：因为y = （2 - 2k）x + k - 3经过第二、三、四象限，所以2 - 2k<0，k - 3<0，

所以1

二、根据图象分布，分类确定k，b的条件

例2（2019·湖北·荆门）如果函数y = kx + b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）.

A. k ≥ 0且b ≤ 0 B. k>0且b ≤ 0 C. k ≥ 0且b<0 D. k>0且b<0

解析：因为y = kx + b的图象不经过第二象限，y = kx + b不一定是一次函数，所以分情形讨论如下：

当k = 0时，函数变为y = b，因为图象不过第二象限，所以b ≤ 0.

当k>0时，函数是一次函数，因为图象不经过第二象限，所以图象可以经过一、三象限，此时b = 0;可以经过一、三、四象限，此时b<0. 综上所述，b ≤ 0.

当k<0时，函数是一次函数，且图象一定经过第二象限，与已知图象不经过第二象限矛盾，所以此种情形不可能.

综上所述，k ≥ 0且b ≤ 0. 故应选A.

三、根据图象分布，判断结论的正误

例3（2019·贵州·毕节）已知一次函数y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）.

A. kb>0 B. kb<0 C. k + b>0 D. k + b<0

解析：因为一次函数y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0）的图象经过一、三、四象限，所以k >0，b<0，所以kb<0. 故应选B.

四、根据k，b的正负性，综合推理判断

例4（2019·山东·临沂）下列关于一次函数y = kx + b（k<0，b>0）的说法，错误的是（ ）.

A. 图象经过第一、二、四象限 B. y随x的增大而减小

C. 图象与y轴交于点（0，b） D. 当x>-[bk]时，y>0

解析：因为y = kx + b中k<0，b>0，所以图象经过第一、二、四象限，所以A正确;因为k<0，所以y随x的增大而减小，所以B正确;当x = 0时，y = b，所以图象与y轴的交点为（0，b），所以C正确;当y = 0时，x = -[bk]，根据y随x的增大而减小，所以当x>-[ bk]时，y<0，所以D不正确. 故应选D.

五、变换待定字母的位置，判断函数在同一坐标系中的大致图象

例5（2019·浙江·杭州）已知一次函数[y1] = ax + b和[y2] = bx + a（a ≠ b），函数[y1]和[y2]的图象可能是（ ）.

[O] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [A][B][C][D][O][O]

解析：在選项A中，由直线[y1] = ax + b可知a>0，b>0，所以直线[y2] = bx + a经过一、二、三象限，所以A正确;在选项B中，由直线[y1] = ax + b可知a<0，b>0，所以直线[y2] = bx + a经过一、四、三象限，所以B错误;在选项C中，由直线[y1] = ax + b可知a<0，b>0，所以直线[y2] = bx + a经过一、四、三象限，所以C错误;在选项D中，由[y1] = ax + b可知a>0，b<0，所以直线[y2] = bx + a经过一、二、四象限，所以D错误. 故应选A.

六、根据图象平移，综合求解

例6（2019·湖南·邵阳）一次函数[y1=k1x+b1]的图象[l1]如下图所示，将直线[l1]向下平移若干个单位长度后得直线[l2]，[l2]的函数表达式为[y2=k2x+b2]. 下列说法中错误的是（ ）.

A. [k1] = [k2]    B. [b1]<[b2]

C. [b1]>[b2] D. 当x = 5时，[y1]>[y2]

解析：根据平移性质“直线平行，k值相等”，得[k1] = [k2];根据图象分布“位于y轴正半轴的b值较大”，可得[b1]>[b2];根据“横坐标相同时，直线x = a与直线的交点位置靠上的，其函数值较大”，可知当x = 5时，[y1]>[y2] . 故应选B.