几何变换的旋转、平移和翻折

吴远梅 邹兴平

几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变换，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系. 几何变换的相关知识是中考的重要组成部分，而旋转、平移和翻折是几何变换中的三种基本变换.

一、旋转

1. 旋转变换前后图形的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心.

2. 旋转模型：等腰三角形中的旋转，如图1;等边三角形中的旋转，如图2;四边形中的旋转，如图3;正方形中的旋转，如图4、图5;二分之一角的旋转，如图6. （同学们能找出这6个图形中的旋转变换吗？）

3.旋转类型题目

（1）等边三角形类型：在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合. 经过这样的旋转变化，将图7①中的PA，PB，PC三条线段集中于图7②中的△P'CP，此时△P'AP也为等边三角形.

（2）正方形类型：在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将[△ABP]绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合. 经过这样的旋转变化，将图8①中的PA，PB，PC三条线段集中于图8②中的△CPP'中，此时△BPP'为等腰直角三角形.

（3）等腰直角三角形类型：如图9①在等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，P为△ABC内一点，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合. 经过这样的旋转变化，在图9②中的△P'CP为等腰直角三角形.

二、平移

1.平移前后图形的性质：图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，图形的形状与大小都不变（全等），图形的顶点字母的排列顺序的方向不变.

2.判别平移图形有三种方法.

方法①：根据平移的定义判别.

方法②：根据平移的特征，只要具备三点，即两个图形必须是全等形，两个全等形的对应线段必须互相平行（或在同一条直线上），两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）.

方法③：两个图形必须是全等形;这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同为顺时针或同为逆时针）;这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）.

三、翻折

1. 翻折变换前后图形的性质：翻折和折叠的实质就是轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化;翻折后重合的两个图形全等，对应边相等，对应角相等;对应点连线被折痕所在直线（对称轴）垂直平分;对应线段或延长线相交的交点在折痕所在直线上.

2. 解答翻折类型题目时，常常运用翻折的性质. 若遇到难度较大的问题，还需要综合运用题中条件，多种情况讨论，准确画图，才能正确解答.

例（2019·河南）在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=[35]a. 连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为 .

解析：①当点B′落在AD边上，如图10，

∵∠BAD=∠B=90°，∠BAE=[12]∠BAD=45°，∴∠BAE = ∠BEA，∴BE=AB，∴ [35]a=1解得a=[53];

②当点B′落在CD边上时，如图11，由矩形ABCD得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a.

由折叠知∠AB′E=∠B=90°，AB′=CD=AB=1，EB′=EB=[35]a，

由勾股定理得DB′=[B'A2-AD2] =[1-a2]，

∴CB′=DC  -  DB′=1 - [1-a2]，EC=BC - BE=a - [35]a=[25]a.

在Rt△B′CE中，CB′2 + CE2 = EB′2，即（1 - [1-a2]）2 + [25a]2 = [35a]2，解得a =[ 53].

故應填[ 53]，[ 53].