用因式分解探解新定义

娄成勇 左效平

近年来以“数”为核心的新定义题型不断涌现，而因式分解是这类创新题型有效而有力的解题工具.下面举三例进行分析，供同学们学习时借鉴.

一、 探解“和谐数”

例1 若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”. 如：1 = [12-02]，7 = [42-32]，因此1和7都是“和谐数”.

（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由.

（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由.

命题1：数2n - 1（n为正整数）是“和谐数”.

命题2：“和谐数”一定是奇数.

解析：（1）11是和谐数.

理由如下：因为11 = [62-52]，符合“和谐数”的定义，所以11是“和谐数”;

（2）命题1：数2n - 1（n为正整数）是“和谐数”是真命题.

理由如下：设两个连续的自然数为n，n - 1，n是正整数，则[n2-（n-1）2] = （n + n - 1）（n + 1 - n） = 2n - 1，所以2n - 1是和谐数，所以命题1是真命题.

命题2：“和谐数”一定是奇数是真命题.

理由如下：设两个连续的自然数为n，n + 1，则（[n+1]）2 - [n2] = （n + 1 + n）（n + 1 - n） = 2n + 1，因为n是正整数，所以2n + 1是奇数，所以命题2是真命题.

二、 探解“轴对称数”

例2 我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子. 我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，56765，…

（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： .

（2）设任意一个n（n ≥ 3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n - 2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除. 为了让同学们更好地解答本题，现给出了一些提示，如下页图所示.

①请根据上面的提示，填空：56765 - 5 × 11 = .

②写出（2）的证明过程.

解析：（1）由题意得：最小的四位“轴对称数”为1001;

（2）①56765 - 5 × 11 = 5 × 10000 + 676 × 10 + 5 - 5 × 11 = 56710;

②证明：ABA - 11A = A × [10n-1] + B × 10 + A - 11A

= 10A × [10n-2] + B × 10 - 10A

= 10[A × （[10n-2] - 1） + B]，

因为A，B为整数，n ≥ 3，所以[A × （[10n-2] - 1） + B]是正整数，所以原式能被10整除.

三、 探解“智慧对称数”

例3 一个形如abcde的五位自然数（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且[a≠0，b≠0]），若有[a=e，b=d]且[c=a+b]，则把该自然数叫作“对称数”，例如在自然数12321中，3 = 2 + 1，则12321是一个“对称数”. 同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，[432-342=693]，則43734是一个“智慧对称数”.

（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”. 例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数;

（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”.

解析：（1）因为“对称数”：abcde，“相关对称数”：[baced]，

所以abcde + [baced] = （10000a + 1000b + 100c + 10d + e） + （10000b + 1000a + 100c + 10e + d）

= 11000a + 11000b + 200c + 11e + 11d，

因为c = a + b，所以200c = 200a + 200b，

因为a = e，b = d，所以abcde + bacde = 11211a + 11211b，

所以最小“对称数”是11211，所以（abcde + baced） ÷ 11211 = a + b，

因为a，b都是正整数，所以abcde + baced能被11211整除，

所以任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数;

（2）由（1）知五位“对称数”形式为[abcba].

若此“对称数”为“智慧对称数”，则[（10a+b）2-（10b+a）2] = 99（[a2-b2]），且[a2-b2]被7的奇数倍整除.

因为1 ≤ a ≤ 9，1 ≤ b ≤ 9，所以 - 80 ≤ [a2-b2] ≤ 80，

所以[a2-b2]的值为 ±7，±21，±35，±49，±63，±77，

当[a2-b2] = 7时，a = 4，b = 3，c = 7;当[a2-b2] =  -7时，a = 3，b = 4，c = 7;

当[a2-b2] = 21时，a = 5，b = 2，c = 7;当[a2-b2] =  -21时，a = 2，b = 5，c = 7;

当[a2-b2] = 35时，a = 6，b = 1，c = 7;当[a2-b2] = - 35时，a = 1，b = 6，c = 7;

当[a2-b2] = 49时，不符合题意;当[a2-b2] = - 49时，不符合题意.

当[a2-b2] = 63时，a = 8，b = 1，c = 9;当[a2-b2] =  -63时，a = 1，b = 8，c = 9;

当[a2-b2] = 77时，不符合题意;当[a2-b2] =  -77时，不符合题意.

所以所有的“智慧对称数”为：43734，34743，52725，25752，61716，16761，81918，18981.

所以最大的“智慧对称数”为81918.