通过数据分析来理解抽屉原理中蕴含的数学规律

周善玲

[摘 要]在抽屉原理的语境里， “不管”“总有”“至少”这些逻辑关联词属于“新面孔”，学生理解起来费劲，对此，教师应该重理解内化轻结论描述，从数据分析着手，不仅指点学生发现数量变化规律，还要让学生运用“不管”“总有”“至少”等抽象的逻辑词来揭示规律。

[关键词]抽屉原理;数据分析;数学规律

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0021-02

“抽屉原理”是人教版教材第十二册“数学广角”的内容，它体现的是一种排列组合的基本数学思想方法，应用广泛。但是教材却以一种抽象和理论的面目呈现该内容。教学时，怎样才能将排列组合的解法简单明了地诠释出来？许多教师都付出过艰辛的努力，效果却不尽如人意。

【课堂现状】

师：有三个伟大的苹果为人类科学做出了卓越的贡献，你们知道吗？

生1：一个是掉到牛顿头上的那个苹果。

师：见多识广。

生2：还有乔布斯的“苹果”手机。

师：这个被咬了一口的苹果带给人类全新的手机体验方式。第三个苹果呢？

生3：不知道。

师：西方神话中，亚当和夏娃偷吃了苹果，缔造了人类。

师：老师这里也有3个苹果，将它们随意装进2个果盘里，一共有多少种不同的放法？分组合作探究，可以采用学具拼摆、稿纸上画示意图、分批计数等方法研究。

师：每组选派两名代表汇报，一人解说操作方法，一人进行动作演示。

展示学生成果：（2，1）、（1，2）、（0，3）、（3，0）。

师：（2，1）和（1，2）、（0，3）和（3，0）都只是顺序不同，只算作一种情况。为了辨认方便，以第一个果盘的苹果数为基准，统一按照由多到少的顺序排列。如此一来，3个苹果装进2个果盘里，出现两种分装方案（3，0）和（2，1）。

师：如果数字继续变大呢，把4个苹果装进3个果盘里，共存在几种不同的分装方法？

展示学生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：将4个苹果装进3个果盘里，先分析数量关系，什么是恒定的？

生4：无论采取何种分装方案，3个果盘里的苹果总数恒等于4。

生5：一个果盘里最多可以装4个苹果。

生6：最少可以一个都不放。

师：也就是说，无论怎么放，容量最多的果盘里会有4个、3个、2个。换言之，无论怎么设计，必然有一个果盘里放置的苹果数不少于2个。

显然，整个教学过程流畅有序，条理清晰。由3个苹果引发学生的好奇心，学生通过实验活动探究“3个苹果装进2个果盘”时，会将分布情况相同但是数值顺序不同的方案归并为一种方案，而且受有序思维的影响，会以某一盘为标准，按照由多到少的顺序排列;接着根据活动经验和思维方式解决“4个苹果装进3个果盘”怎么分配的问题时，学生轻车熟路，很快得出结论;最后，教师想通过指导学生观察数量关系的变化规律，进一步挖掘实验结果背后的数据，得出数学化的法则和结论，使学生的思维从感性走向理性，从定量分析走向定性分析。但理想很丰满，现实很骨感，“无论采取哪种分装方案，必然有一个果盘里放置的苹果数不少于2个”这个结论最终还是由教师自问自答、自说自话。

【教学改进】抽屉原理的结论是这节课的难点，难度过大，就要分散攻克，数据分析依然是有效的突破口。

师：把4个苹果装进3个果盘，一共有几种分装方案？

（学生先用学具代替苹果拼摆，然后在纸上画出示意图，分块记数）

展示学生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

师：还有其他方案吗？

生：没有了。

1.初步观察，检查确认感知

师：观察以上四种方案。各种方案里，苹果数最多的果盘最多时能达到多少？是第几种？为什么？

生1：显然是第一种分装方案，因为所有的苹果都放进这一个果盘了。

师：所有苹果集中于一盘，数目最多。那么最少是多少呢？这又是为什么？

生2：装有苹果最多的果盘里的苹果数最少时是2个，也就是第3种和第4种分装方案，因为苹果最大限度地平均分散了。

师：装有苹果最多的果盘里的苹果数由4个、3个到2个，为何一路下降？

生3：因为将剩下的苹果转移到其他果盘了。

师：也就是说，要让最大量变少，其他果盘就要多分担、多分摊。

2.再次观察，总结规律

师：回过头来综合对比分析各种不同的放法，苹果数最多的果盘，在数量上有什么变化规律？

生4：逐渐递减。

生5：但是有最低值，最少有2个苹果。

师：“最少有2个苹果”，用数学的专业逻辑术语，应该说成“至少有2个苹果”。（板书：至少）

师：换言之，不管怎么放，数量最多的那个果盘里至少有2个苹果。那是不是意味着每个果盘都是这个标准？

生6：不一定。有的果盘达到不少于2个的标准，有的则少于2个苹果。

师：能概括一下吗？

生7：把4个苹果装进3个果盘，无论采取哪种分装方案，至少有2个苹果会装进同一个果盘。

师：这种现象是偶然还是必然？

生8：必然的。

师：把4个苹果装进3个果盘，无论采取哪种分装方案，必然会发生某一个果盘里至少放进2个苹果的现象。换成数学专业语言就是：把4个苹果装进3个果盘里，至少会有2个苹果装进同一个果盘里。（板书：至少）

师：这个结论是我们通过实践活动验证出来的。

3.三次观察，假设推导

师：对比四种装法，哪种更能直观地反映这个结论呢？为什么？

生9：第四种更能直观地反映这个结论。因为苹果被最大限度地平分到各个果盘，避免两极分化。

师：如果要让装的苹果最多的果盘的苹果数量最少，你觉得该怎么操作？

生10：先在每个果盘里装1个苹果，剩下的那个无论装到哪个果盘，这个果盘里就会出现2个苹果。

师：这其实是假设法，先假设每个果盘里装1个苹果，这种做法其实就是哪种分配方案？

生11：平均分。

师：剩余的1个如何安置？

生12：随机放进一个盘里，那么这个果盘一共就有2个苹果。

师：只有平均分才能尽可能让各个果盘数量最少，不至于出现“冒尖”的。平均分后，还多1个，只能塞进某一个果盘里，不可避免出现有个果盘里装了2個苹果。谁能用算式来表达这个规律？

生13：4÷3=1……1。

师：商1和余数1各自表示什么意义？

师：在探究把4个苹果放进3个果盘一共有几种方法的问题中，主要采取两种研究法，一是一一列举所有摆放法，二是运用假设法来揭示其中的数学规律，你更倾向于哪种方法？

【教学反思】

首先，抽屉原理的应用十分广泛，其背后的深刻数学规律，学生却鲜有涉足，更不要说用算式去证明和推导了。教师指导学生利用学具操作或者画示意图来解说这种现象，通过解说达到理解内化“抽屉原理”的目的，这就是数学证明的低级形式和初级阶段。通过这样的方式训练培养学生的逻辑思维能力，能为学生以后学习严谨专业的数学证明打下基础。因此教学这部分内容时，重在指引学生将生活问题进行“数学化”处理，帮助他们积累数学活动经验，体会用数学理论解释生活现象的乐趣和科学性。

其次，重理解轻发现。理解是先出示结论，然后解释这个结论，还是边理解边生成结论？显然，对于结论描述的术语里涉及的“不管”“总有”“至少”等逻辑关联词，需要与学生的口语互译互通，才能让沟通更为顺畅。教师要将文字性和语言性的学习素材纳入学生已有话语体系里，融为一体，学生才能从原有知识结构中找到与新知高度相关的连接点。这样，新旧知识在学生的头脑中就会交汇合流，碰撞出智慧的火花，学生对新知的认知也更加自信和深刻，同时原有的知识也会得到提升和升华，这些语言文字上隐性的学习素材就能转化为学生的认知结构。

最后，数据分析是归纳出抽屉原理结论的必由之路。小学阶段惯用的数据分析法是对比分析法，通过对比多组数据的差异和增减关联性，从而揭示其背后隐藏的事物变化规律，其特点是直观反映事物数量方面的变化规律，并且可以将这种规律用数学运算进行量化。

（责编 金 铃）