“找次品”问题的再研究

陈海飞

[摘 要]“找次品”是人教版教材五年级下册数学广角的内容，和“打电话”一样，属于解题策略和方案优化问题，这类问题具有强烈而明显的操作性和实践性，需要通过实践探究总结出一般策略，进而建立一般的解题模型。

[关键词]找次品;轻重;至少;次数;分组

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0029-02

有一篇论文（以下称“论文A”）分析了一道关于找次品的练习题：“一批产品共有6件，其中1件是次品，从外观上无法分辨，只有质量略有差异，如何找出次品？用天平称，至少称几次能确保找出次品？”并提出“一般通过分一分、称一称、找一找三个步骤，至少称4次能确保找出次品”。文章作者还引导学生大胆猜想“正常情况下，如果提前告知次品是重于或轻于正品，产品数量介于3[n-1]与3[n]之间，能确保找出次品的最少称量次数就是n”，并在后文中验证了这个猜想，形成结论。

一、观点对撞

而另一篇论文（以下称“论文B”）则对论文A的结论予以驳斥，它不仅以检测有1件次品的4件产品为例来反驳，还以有1件次品的14件产品为例，详述了在不知道次品与正品谁轻谁重的前提下，找出次品的一般流程。按论文B的论述，当产品数量为14时，至少称5次才可以确保找出次品。论文B还论证了3～76件产品找次品（不知次品与正品谁轻谁重）的检测流程，并归纳出一般公式：当产品数量大于6时，产品数量与找出次品所需的最少称量次数存在这样的数量关系：当2[n-1]< [产品数量-49] <[2n]时，能确保找出次品的最少称量次数是（n+4）次。

例如：在不知道次品与正品谁轻谁重时，如果产品数量为9，由于[9-49] = [59]，2[-1]< [59] <[20]，0+4=4，那么能确保找出次品的最少称量次数是4;如果产品数量为14，由于[14-49] = [109]，2[0] <[109] <[21]，1+4=5，那么能确保找出次品的最少称量次数为5。

笔者对论文B的结论持保留意见。下面，笔者同样以14件产品为例来阐述个人意见。笔者的操作方法是：

首先把14件产品随机编号为1～14，然后按照编号分成三组：a1组为1～5号，b1组为6～10号，c1组为11～14号。第一次称a1、b1两组，可能出现两种结果。

（1）天平平衡。那么次品在c1组中，第二次可以称11号和12号，也可能有两种结果。①天平平衡，则次品必然是13号或14号。第三次可以称11号（已证实为正品）和13号，若天平平衡，则次品是14号;若天平倾斜，则次品是13号。②天平倾斜，则次品不是11号就是12号，13号和14号必为正品。第三次可以称11号和13号，若天平平衡，则次品必是12号;若天平倾斜，则11号为次品。

（2）天平倾斜。则次品在a1、b1两组的某一组中，不妨将这两组产品混合，再分为（3，3，4）三组，第二次称（3，3）两组，也可能有两种结果。①天平平衡，则次品在“4”组中，按4件产品找次品的步骤，至少称2次能确保找出次品。因此，至少要称4次。②天平倾斜（假设左“3”组重于右“3”组），则次品必然在这两组中，第三次则可在“4”组中取出3件产品与左“3”组对比称量。若天平平衡，则次品必然在右“3”组中，同时可以推知次品偏轻，那么第四次可在右“3”组中任取2件产品对比称量，若天平平衡，则没放到天平上的那件为次品;若天平倾斜，则较轻的那件是次品。若天平倾斜，则次品在左“3”组中，同时推知次品重于正品，那么第四次可在左“3”组中任取2件对比称量，若天平平衡，则次品是没放到天平上的那件;若天平倾斜，则较重那件是次品。

二、操作验证

通过上述操作方法可知，当产品数量为14时，至少稱4次即可确保找出次品，并非论文B中所说的5次。由此可见，论文B也有漏洞。那么在一批产品中，当不知次品比正品轻还是重时（只含1件次品），如何尽快找出它呢？笔者以为仍需降低层级，从最简单的情况开始考虑。为叙述方便，设产品数量为n，依次编号为1～n，按照编号分为a2、b2、c2三组。

1.当产品数量为3时，需称2次。操作如下：

第一次，称1号和2号。（1）天平平衡，则3号必然是次品。（2）天平倾斜，则第二次称1号和3号（确认为正品），若天平平衡，则2号是次品;若天平倾斜，则1号是次品。

2.当产品数量为4时，至少称2次。操作如下：

第一次，称1号和2号。（1）天平平衡，则次品为3号或4号，第二次称1号和3号。若天平平衡，则可以确定4号为次品;若天平倾斜，则3号定为次品。（2）天平倾斜，则次品为1号或2号，第二次称1号和3号，若天平平衡，则可推知2号为次品;若天平倾斜，则1号为次品。

3.当产品数量为5时，至少称3次。操作如下：

把5件产品分成（2，2，1）三组，先称（2，2）两组。（1）天平平衡，则直接确认5号是次品。（2）天平倾斜，则次品在（2，2）两组中，再按4件产品找次品的步骤来处理，至少还需称2次，一共是3次。

4.当产品数量为6时，至少称3次。操作如下：

把6件产品分成（2，2，2）三组，然后称前（2，2）两组。（1）天平平衡，则判断次品为5号或6号。再称1号和5号，若天平平衡，则判断6号为次品;若天平倾斜，则5号为次品。（2）天平倾斜，则次品在前（2，2）两组中，再按4件产品找次品的步骤操作，至少还需称2次，一共是3次。

5.当产品数量为7～10时，也至少需称3次。具体操作略。

这也说明，论文B中，产品数量为9时至少称4次才能确保找到次品的结论是错误的。

三、原理探索

笔者通过大量操作验证得出一组实验数据。

从上表可以看出，当产品数量大于2，且不知道次品与正品谁轻谁重时，产品数量与确保找到次品至少要称的次数存在这样的数量关系：当[3n]+1<产品数量≤[3n+1]+ 1时，至少称（n+2）次可以保证找到次品。例如当产品数量为4时，由于[30]+1<4≤[31]+ 1，即n =0，所以至少要称0+2=2（次）。又如当产品数量为14时，由于[32]+1<14≤[33]+ 1，即n=2，所以至少要称2+2=4（次）。

笔者在操作实践后发现，在不知次品与正品谁轻谁重时，为了尽快找出次品，分组很关键，分组和操作时应遵循如下原则：

一是尽量将产品平分成三组（a、b、c），如果实在无法平分成三组，至少要保证其中两组（a组与b组）的产品数量相等，且c组的产品数量与它们的相差1，第一次称时选择a、b两组。

二是当[3n]+1<产品数量≤[3n+1]+1时，a（b）组的产品数量≤[3n]，且c组的产品数量≤[3n]+1。例如当产品数量是5～10时，由于[31]+1<产品数量≤[31+1]+1，即n =1，所以a、b两组的产品数量不超过3（[31]），同时c组的产品数量不超过4（[31]+1），这样首次称量时，若天平平衡，则次品范围可以缩小到c组中。由于c组的产品数量≤[3n]+ 1，所以至少称（n + 1）次即可找出次品。还是以产品数量是5～10时为例，由于 [31]+1<产品数量≤[31+1]+ 1，即n=1，所以a、b两组的产品数量不多于3（[31]），同时c组的产品数量不超过4（[31]+1）。

当称a、b两组时，若天平平衡，那么次品可以锁定在c组中，因为c组的产品数量不超过4，所以找出次品要称的次数不超过2次，总次数也不超过3次。

三是考虑到如果首次称量时天平倾斜，则次品在a、b两组中，所以在分组时还应考虑到二次称量后确定次品所在组别，同时还应能够判断出次品是轻于还是重于正品。例如产品数量为70时，若分成（20，20，30）三组，当（20，20）组平衡时，次品在30件组中。由于30>28，根据前述理论可知，在不知道次品是轻于还是重于正品的情况下，30件产品无法称4次保证找到次品;若分成（25，25，20）三组时，在称（25，25）组倾斜后，锁定次品在这两组产品共50件中，第二次无论怎么称，既无法确定次品在a组还是在b组，也无法获知次品是轻于还是重于正品，这样对于50件产品，同样无法保证在4次称量内找出次品。而如果分成（21，21，28）三组，若天平平衡，则次品在c组的28件产品中，按前述理论称4次即可找出次品;若天平倾斜，则次品在a、b两组的某一组中，记住a、b倾斜的情况，第二次在c组中取21件产品与a组对比称量，即可判断出次品所在组别，并确定次品是轻于还是重于正品，按理论已知次品轻或重于正品的前提下，21件产品只需称3次即可找出次品，共5次即可找出次品。根据上述原则，分成（22，22，26）三组或（23，23，24）三組，同样称5次即可保证找出次品。

（责编 吴美玲）