“数”呈现规律 “形”助推意会

朱曙光 鲍善军

[摘 要]通過“猜想—计算—归纳—验证—拓展”的探究过程，呈现长方形的面积和边长之间的关系和变化规律，使学生领悟到数形结合的魅力以及能够用数形结合解决问题。

[关键词]长方形面积;练习;数形结合

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0064-02

【教学内容】人教版教材五年级上册“长方形面积的练习”拓展课

【教学目标】

1.通过推理、验证等活动，发现长方形面积的变化规律，并利用长方形面积的变化规律解决实际问题。

2.经历“猜想—计算—归纳—验证—拓展”的探究过程，理解长方形面积和边长之间的关系和变化规律，进而推导出其他平面图形的面积变化规律，渗透数形结合、归纳推理等数学思想方法。

【教学实践】

一、观察图形，体会图形的“变与不变”

师：这是用一张长3 dm、宽2 dm的长方形纸片裁剪而成的“囍”字，按照不同形式将它放大，得到了不同的“囍”字，要把其中一张贴在墙上，你会选哪一张？

生1：我选图形①，因为“囍”字图片的形状和原来相同。

师：解决问题不仅需要观察，更要用数据来证明，可以说说你的理由吗？

生1：6÷3=2，4÷2=2，图形①是原图的长和宽同时放大到原来的2倍，所以它的形状与原图一样，只是改变了大小。

师：长方形的长和宽扩大相同的倍数，形状不变，反之，形状改变。

师：长方形的边长发生了变化，它的什么也会发生变化？（面积）那么面积的变化与边长的变化又有怎样的关系？

【设计意图：从形状的变化引出面积的变化，引发学生对长方形面积变化的规律进行猜想后再验证，能激发学生的探索欲望，为学生的后续学习做好准备。】

二、计算验证，发现图形的变化规律

师：让我们将目光聚焦到表格中的数据，你有什么发现？

生1：长方形面积扩大的倍数是长和宽扩大倍数的乘积。

师：是不是所有的长方形面积都有这样的变化规律呢？请举个例子，再通过画一画、算一算的方式来验证。

师：如果长扩大到原来的10倍，宽扩大到原来的20倍，面积扩大到原来的……（200倍），如果长扩大到原来的50倍，宽扩大到原来的40倍，面积扩大到原来的……（2000倍）。能用一句话概括吗？

生2：如果长扩大到原来的m倍，宽扩大到原来的n倍，那么长方形面积就扩大到原来的mn倍。

【设计意图：对比最初的猜想和计算数据，学生能初步感知长方形面积的变化;自主枚举验证则让学生进一步明确结论的真实性，从而根据规律推测长方形面积的更多变化情况，概括出“面倍=长倍×宽倍”的数学模型。】

三、数形结合，探索图形的变化原理

师：对于长和宽同时放大到原来2倍的长方形，你能找到它和放大前的长方形之间的面积关系吗？

生1：将它们叠放在一起，通过对比、分割可以发现大长方形里有4个小长方形。因此大长方形面积是小长方形面积的4倍。    [ ][ ][ ] [叠放]

师：图形中的“2”在哪里？

生2：每排有2个长方形，有这样的2排。

师：这两个图形中，哪个才是长、宽分别扩大到原来的2倍和3倍后的图形呢？

生3：②号图形，因为长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍。

生4：①号图形有“3条长、2条宽”，所以它是由原图长扩大到原来的3倍，宽扩大到原来的2倍变化而来。

师：虽然它们的面积都是原来的6倍，但是表示的意义是不一样的。

师：如果将原图的长扩大到原来的4倍、6倍，宽扩大到原来的2倍、5倍，你还能拼出来吗？如果长扩大到原来的m倍，宽扩大到原来的n倍呢？

生5：那每排就有m个这样的小长方形，有这样的n排，所以大长方形面积是小长方形的mn倍。

生6：如果长扩大到原来的m倍，宽扩大到原来的n倍，那么长方形面积就扩大到原来的mn倍。

师：通过图形，我们对长方形面积的变化规律有了更深入的了解。我们也可以用代数式来表示图形的变化。

【设计意图：通过拼摆图形诠释面积变化原理，学生体会到画图解决问题的便捷性，有助于发展几何直观意识和能力。教师特意将图形的变化用代数式来表示，以形助数，以数御形，形与数相辅相成，体现了数学的简洁性和有效性，培养了学生的符号意识。】

四、解决问题，完善图形的变化认知

出示：一个长4 cm、宽3 cm的长方形，如果将它放大，同时又不改变它的形状，它的面积可能是（    ）。

生1：长和宽同时扩大到原来的3倍，面积是12×3?;还可能是12×4?，长和宽同时扩大到原来的4倍。

师：写得完吗？（写不完）能用一个算式表示吗？

生2：12×m?。

师：如果将长和宽同时扩大到原来的m倍，面积则扩大到原来的m?倍。

【设计意图：课始由长方形的形状变化导入，课末将长方形的形状变化与面积变化相结合进行拓展，带给学生既有连贯性，又有挑战性和趣味性的体验。】

五、回顾所学，建立图形的整体结构

师：本节课我们一起研究了什么？我们是怎么研究的？如果顺着这个思路，你还想研究什么？

生：平行四边形、三角形、梯形的面积变化。

师：这些平面图形也有同样的面积变化规律吗？让我们一起来看一看吧！

【设计意图：回顾研究过程，不仅巩固了本课的学习内容，还提炼出了从特殊到一般的学习方法。同时，利用微视频实现图形的动态转化，沟通了长方形与其他平面图形之间的联系，构建了平面图形的整体知识结构。】

【教后反思】

问题的解决不是重点，重要的是学生经历解决问题的全过程，从而促进高阶思维的发展。

1.追根溯源，深入概念本质

“长倍×宽倍=面倍”的模型不能仅依靠数据来概括，还需要反复的举例论证。在学生从三组数据中概括长方形面积的变化规律后，只有让学生知道继续举例验证，经历大量的实例考验，才能确定此结论的真实性，这体现了严谨的数学学习态度。正如苏格拉底所说，教师好似“助产师”，在教学行进过程中应不断助推学生的学习走向深处。

2.数形结合，透视变化原理

用图形的动态演绎将长方形边长和面积的数据直观、形象地显现出来，帮助学生在脑海中烙下图形变化的表象，有效促进学生对长方形面积变化最本质的理解，彰显数形结合的魅力。形使数更直观，也使解题更有效，在不断拼图、画图分析的过程中，学生的关键能力得到发展，经验的积累也更加到位。

3.迁移类推，关联知识结构

小学阶段的平面图形都能通过分割、平移实现互相转化，也就是说，这些图形之间存在密切的联系。数学是一门研究关系的学科，所以教师应抓住教育契机，帮助学生搭建沟通平面图形的桥梁，构建知识体系。教师在课末用微课的形式，根据平面图形间的联系，将长方形面积的变化规律迁移到其他平面图形中，真正达到“学一题、透一点、通一类、会一片”的效果。

（责编 金 铃）