凸显本质，让思维走向通透

鲍善军 郑书娟

[摘 要]以“搭配中的学问”教学为例，分析排列与组合概念的内涵与结构，提出并尝试基于起点，在连接中让思维更清晰;沟通联系，在比较中让思维更深入;动作表征，在迁移中让思维更全面;类比融通，在建模中让思维更合理等教学策略，凸显数学本质，让学生的学习真实发生，思维走向通透。

[关键词]搭配;思维;逻辑起点;分类;操作

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0029-02

搭配问题其实就是组合问题，在对比沟通中求同存异才能感悟概念本质。因此，组合的教学目标不仅仅定位于找出组合数，更重要的是感悟排列与组合的基本思路和方法，理解二者的联系与区别。

一、基于起点，在连接中让思维更清晰

教师要关注学生的学习起点，抓住新旧知识之间的连接点，把新学的知识融入原有的认知结构，进行知识同类化和合理衔接。

1.分析逻辑起点，切准学习要点

本课时的逻辑起点：二年级上册探索了用非0的3个数字组合成两位数，而第一课时用4个数字（含0）组成两位数;学生已掌握固定十位法、固定个位法和调换位置法，且具备有序、全面思考的思维方式和不重复、不遗漏的思维路径。关于组合知识的前期经验，其实学生在一年级时就已有所接触。

2.精准把握学情，明确学习目标

如何精准把握学情，确定学习目标？笔者认为前测是行之有效的方法（前测题如下图所示）。

学生的前测结果主要有三类表征方式：文字、图形、符号。学生普遍采用固定上装法或固定下装法。

二、沟通联系，在比较中让思维更深入

习题之间的对比、沟通、联系是问题信息传递、加工、整合的思维活动。在新课环节借助分析前测作品，暴露学生的思考过程，梳理有序经验。

【片段一】分类比较，感悟搭配问题

师：观察这两幅作品，你有什么想说的？

生1：都是用文字写出了搭配的方法。

生2：①号作品写得不完整，而②号作品把6种方法都写出来了。

师：我们再来听听③号和④号作品作者的想法。

生3（③号作品作者）：写字太麻烦了，我用图来表示，1件上装可以搭配3件下装。

生4（④号作品作者）：我也是这么想的，但我用连线的方法，共有6种搭配方法。

生5：虽然他们都是用画图的方法，但是很明显④号作品的表达更完整，而且非常有序！

师：“有序”这个词特别好！做到有序就会……

生（齐）：不遗漏。（板书：有序、不遗漏）

生6：我觉得画图比写字更费时间，用文字再加连线，一共也是6种方法。

生7：我的方法更简便。上装有2件就表示为①和②，下装有3件表示为A、B、C，然后再连线，就能知道有6种方法，可以用算式2×3=6（种）表示。

师：这些方法有什么相同与不同之处？

生8：表达方式不同。除了①号作品有遗漏，其他5种的结果都是一样的，都很有顺序。

师：这些方法中你最喜欢哪一种？为什么？

生9：⑥号，因为它最简洁明了！

上教学片段中，比较第一组的两幅作品，发现②号作品不仅完整而且有序;第二组作品虽然都是用画图的方法，但比较一下便可发现④号作品虽然只是加了连线，可明显比③号更加清晰，一目了然;而第三组作品中虽然两幅作品看着都很简单明了，但是通过比较便可发现，⑥号作品比⑤号作品用符号和连线更简单了，最后同屏沟通6幅作品。如此，通过一次次的沟通联系，学生就能感受符号的简洁性、高效性。

三、动作表征，在迁移中让思维更全面

教师向学生提供充分经历数学活动的机会，帮助他们在自主探究、合作交流的过程中，真正理解掌握最基本的数学知识与技能、数学思想与方法，从而获得广泛的数学活动经验。

【片段二】动手操作，探究搭配问题

[下装只能各穿1件。一共有几种搭配方法？

活动要求：

1.摆一摆：用最简洁的方法记录下来。

2.算一算：计算出一共有几种搭配方法。

3.说一说：同桌互相说一说算式的意思。][有3件上装          、           和       ， 3件下装          、         和      。每次上裝和] [有3件上装          、           和       ， 3件下装          、         和      。每次上装和]

生10：上装用①、②、③表示，下装用④、⑤、⑥表示，然后①分别和④、⑤、⑥搭配，有3种。同理，②分别和④、⑤、⑥搭配，③分别和④、⑤、⑥搭配，这样一共有9种。（如下左图）

师：编号的方法很好，谁能在此基础上改进一下？

生11：上装和下装是两类东西，可以用不同的符号表示。上装用①、②、③表示，下装用A、B、C表示。（如上右图）这样，一共有3个3，3×3=9（种）。

【片段三】借助表格，探究规律

有几件上装就有几个3

[上装的件数 1 2 3 4 …… A 搭配的方法 1个3 2个3 3个3 4个3 …… A个3 搭配的种数 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… A×3 ]

有几件下装就有几个3

[下装的件数 1 2 3 4 …… B 搭配的方法 1个3 2个3 3个3 4个3 …… B个3 搭配的种数 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… B×3 ]

有几件上装就有几个B

[上装的件数 1 2 3 …… A 搭配的方法 1个B 2个B 3个B …… A个B 搭配的种数 1×B 2×B 3×B …… A×B ]

有几件下装就有几个A

[下装的件数 1 2 3 …… B 搭配的方法 1个A 2个A 3个A …… B个A 搭配的种数 1×A 2×A 3×A …… B×A ]

学生通过动手操作，以“摆”助思，在“摆”中发现规律。借助表格，从形到数，再从数到算式，理解搭配问题的方法就是思考几个几。通过改变某个搭配要素的数量，从而观察增加几个几，进一步加深对搭配问题的理解。通过这种由静态到动态的表征方式，搭配问题的方法不断迁移，让学生的思维更全面。

四、类比融通，在建模中让思维更合理

有效的变式素材有利于学生掌握数学知识的本质属性。

【片段四】联系生活，建构模型

1.早餐中的搭配问题（教材原题，图略）。

师：下面的早餐有多少种不同的搭配方案呢？

生12：2×4=8（种）。1杯豆浆搭配4种不同的点心，1杯牛奶搭配4种不同点心，相当于有2个4。

生13：1种点心搭配2种不同的饮料，有4种不同点心，就有4个2，4×2=8（种）。

2.走路中的搭配问题（教材改编习题）。     [家和学校中间有一个公园，从家到公园有4条路线，从公园到学校有3条路线，从家到学校一共有几条路线呢？]

生14：4+3=7（条）。

生15：应该是4×3=12（条）。

师：你们觉得谁的答案是对的？为什么？

生16：我认为生15的是对的。因為聪聪家到公园有4条路，公园到学校有3条路，所以是4×3=12（条）。

生17：用①、②、③、④分别表示聪聪家到公园的路线，用A、B、C表示公园到学校的3条路线。用线连一连，有12条。

回归生活情境，进一步加深对搭配问题的理解。吃早餐问题中搭配数量变了，由此可以进一步理解几个几的含义。路线问题将搭配要素隐藏在题目信息中，需要学生深入思考、判断，并感受与之前搭配问题的联系，从而让理解更深入，真正做到类比融通。

五、拓展延伸，在深思中让思维更通透

不同习题表述同一知识点的效果不同，同一习题以不同的方式组织，也会产生不同的效果。

【片段五】拓展延伸，思维提升

[有2件上装、3件下装和2双鞋子。每次上装和下装只能各穿1件，鞋子也只能穿1双，一共有（ ）种穿法。 ]

生18：2件上装和3件下装一共可以`搭配6种，增加2双鞋子，相当于增加了2个6种，所以一共有12种穿法。

从两类搭配提升到三类，甚至是n类搭配，通过有序连线法将n类物品的搭配问题转化成两类物品的搭配问题，帮助学生推导出解决多类搭配问题的模型。这样的拓展延伸，打破了学生用两种搭配要素的数量相乘得出搭配总数的思维定式，进一步凸显了数学本质，使学生的思维在深思中走向通透。

（责编 吴美玲）