把准乘法意义，透析分配律

王艳

[摘 要]在乘法分配律教学中，要基于问题表象，引导学生对问题的根源深究不放，建立模型，训练学生的应用意识，促使学生的学生自发地运用数学规律分析问题，从而达到灵活解题的目的。

[关键词]乘法意义;分配律;建立模型

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0064-02

学完乘法分配律之后，学生总会出现一些令人始料未及的错误。原因无非是学生对乘法分配律的理解只是局限于套用公式和模仿操作，没有做到心领神会、融会贯通，只看到表面现象，而没有领悟其精髓。

以苏教版教材为例，关于乘法分配律的内容是这样编排的：首先结合具体的问题情境，指引学生采用两种截然不同的路径解决问题，指示学生根据两道算式代表的含义以及得数，沟通两种算法之间的内在关联，然后将它们用等号连接起来;接着出示各种不同的问题情境，指示学生如法炮制，写出类似的等式，并布置学习任务，让学生分组合作探究，探查这些等价算式的共性，鼓励学生自主探寻规律;最后用字母代数来抽象提炼，总结出纯粹的数学规律。但是，如此亦步亦趋、循规蹈矩的教学的直接后果是，学生只看到字符的形式变换，无法洞察形式变化背后隐藏的数理。

一、教材例题分析及改进[夹克衫65元，裤子45元，T恤32元][买5件夹克衫和5条裤子一共要付多少钱？]

苏教版教材的例题以购物为情境，求5件夹克衫和5条裤子的总价，即5套衣服的总价，可列式：5×65+5×45=5×（65+45）。课堂上，学生有生活经验作支撑，加上教师的循循善诱，能够了悟两个算式之间的逻辑关系，也能照猫画虎仿制出类似的等式，并有模有样地提炼出字母代数式。但这只是通过一个实例得出的结果，与教师的暗示和主导分不开，属于不完全归纳，而数学结论的推导需要更加严密的证明，要让学生对整个推导原委了如指掌。倘若学生只是机械记忆“乘加乘”等一些表面现象，遇到稍加变换的形式时（如99×98+98）就会思维堵塞。因此，如果只抓住情境不放，而没有算理的融入，学生对乘法分配律的理解就会浮于表面。如何在脱离情境的算式中，重建乘法分配律的“真元”？

行为1：编儿歌、找比喻。如“我拿（瓷碗+竹筷）=我拿瓷碗+我拿竹筷”，这样的比喻并不能从本质上揭示规律，也许学生当时心血来潮猛然理解，但随着时间的推移，激情退却，对这个规律的印象会慢慢变淡。

行为2：有教師试图从现实情境的事例和乘法运算性质两个方面双管齐下，引导学生学习乘法分配律。讲评例题时，除了讲解5件夹克衫的总价加上5条裤子的总价等同于5套服装的总价外，还用乘法的意义来加以巩固，诱导学生接受“5个65加5个45，可将相同数量5提取出来，按照套装来买，即5×（65+45）”。详细琢磨，这种做法对四年级学生而言，理解起来难度颇大。因为学生只有“3只企鹅+4只企鹅=7只企鹅”的简算经历，即同类量只需要累加数目即可，很少涉及把非同类量配套“搭售”的做法，即3只小企鹅+3只小鸵鸟=3对（小企鹅+小鸵鸟）。这种方法并不符合学生的已有知识经验，因此学生很难真正悟透分配律的精要。

如果既依仗生活情境，又凭恃意义“A个几+B个几=（A+B）个几”来研习分配律，那么，对于苏教版教材的例题则需要进行适当改造。改造后的情境图如下：

[教学片段一]

师：你会列算式解决问题吗？

（学生列式解答，教师选择性展示两种不同的方法）

3×45+7×45                   （3+7）×45

=135+315                       =10×45

=450（元）                       =450（元）

（引导学生解释两种算法的缘由）

生1：3件夹克衫的售价+7件T恤的售价=总售价。

生2：因为两种外衣的零售价均为45元，所以可以“搭售”：3+7=10件外衣，再算总价。

师：观察以上两个算式，你有什么发现？

生3：我发现无论怎么算，结果不变。

师：算式不同，得数却相同，其中究竟有什么蹊跷？

生4：3件夹克衫的售价+7件T恤的售价=10件外衣的总价。

生5：因为两种外衣的单件价格均为45元，因此可先独自结算，再算总账;也可以先汇总成交量，再算总账，其实是一码事。

生6：3个45元加7个45元就是10个45元。

（板书：3×45+7×45=（3+7）×45[→]3个45+7个45=10个45）

这里，既有现实购物情境的衬托，又与乘法的意义相吻合，两个算式的等价关系被展现得淋漓尽致，在情境和算理的“两面夹击”下，学生理解起来不费吹灰之力。相较之下，改进后的例题比教材的例题更能做到情境与意义的完美融合。

二、剥离情境初步建立模型

[教学片段二]

师：老师提供一些算式，你能填空并陈述理由吗？

课件出示：

（1）4×35+16×35=（4+16）×□

（2）23×C+27×C=（□+□）×C

（3）A×36+B×36=（□+□）×36

（4）A×C+B×C=（□+□）×□

（5）101×35=100×35+□×35

（6）23×34+67×35=（□+□）×□

学生独立完成填空后，教师根据学生的回答依次呈现算式的意义。

（1）4个35加上16个35等于（4+16）个35

（2）23个C加上27个C等于（23+27）个C

（3）A个36加上B个36等于（A+B）个36

（4）A个C加上B个C等于（A+B）个C

（5）（100+1）个35等于100个35加上1个35

教师指引学生依照乘法的含义描述各个等式的意义，即“A个几+B个几=（A+B）个几”。但做到第（6）题时，学生落入了教师预设的“陷阱”，有举棋不定的，有左右为难的……正中教师下怀。此时可让学生思考如何更改数据才能与前面的题目“接上头”。

学生思考后对算式进行了改变：

23×34+23×35=（□+□）×□

23×34+67×34=（□+□）×□

67×34+67×35=（□+□）×□

學生在抽丝剥茧的交流活动中，摒除次要因素，弄清本质，乘法分配律的模型便逐渐清晰浮现。这实际上就是将学习数学的过程转化为建模的过程，并在建模的摸索探究过程中训练学生的应用意识，促使学生自发地运用数学眼光分析问题，从而达到灵活解题的目的。

三、以形辅数体悟本质

[教学片段三]

课件出示：一块长方形绿化带，长14米、宽8米。[ ][14][8][6]

按市政部门的要求扩建后，长扩增6米，宽不变。扩建后的绿化带面积是多少平方米？

方法一：（14+6）×8=160（平方米）

方法二：14×8+6×8=160（平方米）

师：由此可见，（14+6）×8和14×8+6×8是相等的，因此可写成（14+6）×8=14×8+6×8。那左边的式子只有一个因数8，右边的式子有两个因数8，为何仍旧相等呢？

生：（14+6）×8表示的意义是先求扩建后的长方形绿化带的长，再用“长×宽”求出扩建后的长方形绿化带的面积;14×8+6×8表示的意义则是，先求原长方形绿化带的面积，再求出新增绿化带的面积，最后用原面积加新增面积得总面积。因此（14+6）×8和14×8+6×8相等。

以新引旧，以旧促新，使乘法分配律进一步“坐实”，让学生感受到数学知识是一个密不可分的有机体。

[教学片段四]

出示：

98  2  45  55  2×35  96×73  98×35  4×73  99×98

假若用上述两个数（或式子）求和，你认为哪两个配对计算会比较简便，并说明理由。

生1：98+2。

生2：45+55。

生3：2×35+98×35。

生4：96×73+4×73。

生5：99×98+98。

当学生列出“99×98+98”这个算式，并附加说明99个98加1个98等于100个98时，说明学生对乘分配律的内核已经掌握了。

综上，在乘法分配律教学中，要基于问题表象，对问题的根源深究不放。同时，教师只有精准掐住教学内容的“命门”，才能对课堂教学反躬自省，设身处地地从学生角度考虑问题，了解他们的心思与疑惑，攻克教学难关。只有依靠多股力量，筑牢乘法意义的基石，把握乘法分配律的本质意义，才能让学生真正做到得心应手、运用自如。

（责编 罗 艳）