厘清等量关系 直击方程本质

刘晶

[摘 要]“等式与方程”一课中学生初次经历从算术思维向代数思维过渡，开始认识方程。首先联系旧知和天平图，引导学生认识“等式”“不等式”和“方程”;其次通过列方程，厘清等量关系;最后要知道不同的等量关系对应不同的方程，因而方程具有多样性，需要合理选择。

[关键词]等式与方程;等量关系;方程本质

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0068-03

【教学内容】苏教版小学数学教材五年级下册第1、2页，练习一第1、2题。

【教学目标】

1.使学生在具体的情境中理解方程的含义，初步认识等式与方程的关系。

2.使学生在观察、描述、分类、抽象、概括的过程中，经历将现实问题抽象成式子与方程的过程，能依据等量关系列方程，体会方程是刻画现实世界的数学模型，感悟方程思想。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中，感受探索乐趣，获得成功体验，增强学好数学的信心。

【教学重点】初步理解等式和方程的意义，能判断哪些是等式，哪些是方程。

【教学难点】理解等式与方程之间的关系，能依据具体情境中的等量关系列方程，感受方程的多样性，学会合理选择。

【教学准备】课件、探究单、学习单。

【教学过程】

一、依托情境——认识等式与不等式

1.由天平图列式子

师（出示天平）：生活中有这样的测量工具，谁能说说对它的了解？

师：根据①号天平图，你可以列什么式子？

生1：50=50。

师：②号天平图呢？

生2：50+50=100。

师：③号天平图呢？

生3：100+50<300。

生4：100+50+x=300。

师：仔细观察，这几幅图有何不同？

师：拿出探究单，先自己写一写，再和同桌交流。

【设计意图：课始，借助天平平衡、不平衡的直观情境让学生体会等式和不等式的含义，贴合学生的认知特点，引导学生建构对左右相等和等式的理解，为由算式思维过渡到代数思维做好铺垫。】

2.给式子分类

师：我们为天平图列出了式子，接下来要干吗？

生1：把这些式子分类整理。

师：既然要分类就要有标准。你们想按什么标准分类？

生2：按式子左右是否相等来分类。

师：像这些左右两边相等的式子，数学家给它们起了一个名字，叫等式。这些等式还能继续分类吗？

生3：还可分为含有未知数的等式及不含未知数的等式。

【设计意图：最后一组天平图的列式中出现了未知数，未知数是方程的基本要素，因学生学习过用字母表示未知数，这里选择放手让学生进行研究，为学生直击方程的本质埋下了伏笔。】

二、主动探究——直击方程本质

1.认识方程

师：数学上，把含有未知数的等式叫作方程。方程到底长什么样子呢？

生1：要有未知数，还要是等式。

师：方程就是将未知数和已知数联系起来列出的等式。

2.辨一辨

师：①～⑥哪些是等式，哪些是方程？

① 135+65=200       ② 2x+5=30      ③ 78-4a<10

④ n-136                 ⑤ x-y=50         ⑥ 6+（   ）=14

师：“6+（   ）=14”是不是方程呢？（   ）表示什么？

生1：是。表示未知数。

师：（   ）可以表示未知数。还可以用什么来表示这个未知数？

生2：6+？=14， 6+□=14 ，6+x=14……

师：无论用哪种形式来表示，它都是代表未知数。

师：你觉得哪种表示形式更简洁方便呢？

【设计意图：增加含有两个未知数的式子，意在强调只要含有未知数，并且是等式的就是方程，不限于含有几个未知数;呈现学生在一年级接触过的含有未知数的等式（那时未知数用（  ）表示），接着让学生尝试用自己喜欢的符号表示未知数，由此认识到未知数可以有不同的表达形式，再次凸显方程的本质，有利于学生内化方程的概念。】

3.等式与方程的关系

师：如果用一个圈表示方程，用另一个圈表示等式，这两个圈有什么关系？

（让学生圈一圈）

【设计意图：让学生尝试画集合圈，展示等式与方程之间的关系。学生完成得很好。形象的结构化板书，加深了学生对等式与方程二者关系的理解。】

4.由线段图列式子

师：请根据下列线段图列方程。

[ ][x][22][84]

生1：x+22=84。

生2：84-x=22。

生3：84-22=x。

师：有什么想说的吗？

生4：“84-22”可以通过计算知道答案，不需要用未知数来表示。

师：一幅图为什么可以列出几个不同的方程呢？

师：依据题中的等量关系列方程，可以列出几个不同的方程，但并不是每个都是合適的，还要进行合理选择。

【设计意图：适时追问有助于激发学生的潜能，激活学生的思维，使思考更深入。教师不回避“84-22=x”这样的式子，而是让学生知道可以用算术的方法算出“84-22”的答案，因此不必用未知数来代表已知数。可见，需要对方程进行合理选择。如此，层层铺垫，环环相扣，原本很难解释清楚的内容清晰剖开了。】

三、联系生活——感受方程价值

1.基于情境，列出方程

师：列方程要依据等量关系。下列情境图中，有哪些等量关系？

优惠：112元

现价：988元][爸爸比小明高21厘米。][x cm][175 cm][21 cm]

师：请选择合适的等量关系列方程。

【设计意图：对教材练习一的第2题进行适当改编，选取学生更熟悉的生活情境，让他们从中找等量关系，列出合理的方程。这里学生深刻地体会到列方程的依据及合理的含义，体会到方程的价值，感受到数学模型思想。】

2.自选形式，表达方程

师：现在给你一个方程，你能围绕它自创形式，丰富这个方程吗？

师：虽然表达形式不同，但只要等量关系相同，就可以用同一个方程来表示。

【设计意图：《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导“模型思想”，指出模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。数学学习过程就是建立数学模型的过程。在学生学会根据情境图列出方程后，教师给出一个方程，鼓励学生用多种形式去表达，尽量直观呈现每个人对方程的理解。个性化且多元化的教学方式，让学生获得对数学模型思想的深刻感悟。】

四、总结延伸——梳理知識框架

[等式与方程][未知数][已知数][已知数][等量关系][合理选择][多样][依据][方程][不等式][等式][不含未知数][含有未知数][左右相等][左右不等][式子][50=50

50+50=100

…][x+50=150

2x=200

…][100+50<300

x+50>100

x+50<200

…

]

师：等式和不等式又统称为式子，而方程是这个大家族中的一部分，是将未知数和已知数联系起来的等式。

师：随着学习的深入，大家今后还会见到这样的方程：A=X+Y+Z，这个方程是什么意思呢？（成功=勤奋工作+正确方法+少说空话）

【设计意图：备课时，了解初一数学教材中方程部分的内容，提前做好小学和初中数学的知识衔接，并借助爱因斯坦提出的“方程”进行拓展，以免学生形成思维定式，认为方程必须要含有已知数和未知数。这里展现了数学知识结构的联系性。教师关联地教，学生互动地学，教学相长，真正提升学生的数学核心素养。】

【教学反思】

数学知识之间有千丝万缕的联系，教师应引导学生深入了解每个知识点的定位，了解其“源”与“流”，在发现中不断思考，让思维向更深处漫溯。

分类是重要的数学思想。课程标准指出：“教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准。”教学活动中，学生结合天平的两种状态，很自然地想到按照左右相等与左右不等这一分类标准进行分类。于是，教师引导学生进一步将等式按含有未知数和不含未知数进行分类。学会分类，有助于学生学习新知，提高分析和解决问题的能力，为下一步的归纳做好准备。

可见，方程是一种关系，它的特征是等式关系，即根据已知条件和所要求的问题建立等式关系。张奠宙教授认为，方程的本质是为了求未知数而在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。教学中要紧扣两个关键点，即“已知数和未知数”和“等式关系”，揭示方程定义，让学生的思维从算式思维上升到代数思维，加深学生对方程意义的理解。

（责编 罗 艳）