建构模型：让学生触及数学思维

许超

[摘 要]学生普遍存在机械套用面积计算公式、不能理解面积单位含义、不会根据面积公式计算宽度值等现象，究其原因，是学生对知识的理解能力和数学思维能力不足。在教学中，教师不仅要让学生在课堂上获取数学知识，还要通过各种教学活动培养学生的数学逻辑思维能力。

[关键词]思维;训练;长方形;面积

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）14-0024-02

一、现象：知其然不知其所以然

在上这堂课之前，学生掌握了用“数小方格”的方法得到图形的面积。在我给出长方形的长和宽的数值后，不少学生已经能脱口而出“长方形面积=长×宽”，但一旦追问“为什么这样算”时，几乎没有学生可以说清楚。还有部分学生在已知“长方形面积”和“长”后，仍不知道计算“宽”的值，又或部分学生只会用“数小方格”的方法来计算长方形面积，不会使用公式。

二、思考：透过现象看本质

1.着眼未来：数学思维训练之重要

（1）在“意”不在“忆”

长方形面积计算最大的难点并不在记忆公式，而是在于理解“为什么长和宽的长度相乘就是面积”，以及区分“周长”和“面积”这两个概念。在练习中，学生能写出算式，但是仍用长度单位来表示结果，从“厘米”到“平方厘米”仍然是学生需要跨越的障碍，这或许就是学生在学习面积计算时，没有真正弄懂面积的概念，简单套用公式的结果。究竟怎样让学生理解“长×宽”的本质就是在算长方形一共包含几个面积单位，值得我们思考。

（2）在“过程”不在“结果”

教学中，教师应该重点强调“过程”，而不是“结果”。当学生掌握了概念或公式的推导过程，自然也会懂得如何正确使用公式来解决问题，这就是我们在探究“结果”中最重要的一点，理解“结果”形成的“过程”。对于长方形面积的计算来说，学生用“数小方格”的方法计算时，首先要掌握面积单位表示的是一整块小方格的大小，这与长度所代表的直线的长度不同，接着在数完小方格的数量后，必须要加上面积单位，才能得到正确的面积值。而用乘法计算小方格的数量得到面积的过程中，还有一个乘1平方厘米的步骤，而这一步正是计算面积最重要的。

2.直面现状：反思面积学习之困难

面积的学习除了计算几何图形的面积，还包括面积的增大和减少问题，这需要学生对面积有非常深刻的认识，尤其是准确把握面积的实际含义。

（1）学生角度

从长度计算到面积计算，学生要面对的最大困难就是维度的变化，即从长度的“一维”跨越到面积的“二维”，这超出了许多学生的理解能力范围。在讨论之前，我们还需要回顾一个概念——维。古希腊数学家欧几里得在他的著作中提到，点、线、面是学习几何所必须掌握的维度概念。“点”是没有部分的东西，也就是说“点”是零维的，没有大小，我们几乎不能做什么;“线”只有长度而没有宽度，也就是说“线”是一维的，跟粗细没有关系，只跟长度有关;“面”有“长”和“宽”两个方向，也就是说“面”是二维的，面的边缘是线;“体”有“长”“宽”“高”三个方向，也就是说体是三维的。每多一个维度，就需要多一条坐标轴来描述。

（2）教师角度

多年的教学经验告诉我，学生用原有的知识经验来解释新学的内容，形成新的知识经验，这样才能达到知识的内化，形成深层次的理解。对于学生已有的认识，我们应该帮助学生将认知科学化、系统化、深化甚至是扩充，这样才能顺应学生的认知规律。学生在学习面积时，基本已经掌握了线段的长度计算，教师需要在此基础上进行拓展延伸。因此，教师在教学过程中，要准确把握学生的知识能力水平，找准学生存在的困难，并制订针对性强的教学方案。重点突出的教学方案，能让教师在有限的教学时间里剖析长方形面积计算的重点知识，也能让学生对面积计算形成更加完整、全面的认识，提高学生的基础知识能力和认知水平。

三、实践：纸上得来终觉浅

除了制订针对性强的教学方案，采用生动有趣的教学形式也是确保教学效果的必要前提。在教学“长方形面积的计算”时，适当地采用课件动态演示，可以让学生直观看出面积产生变化的因素，探究图形的变化规律，从而训练学生的建模思维。

1.始动——演示图形动画

数学家克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学直观就是对概念、证明的直接把握。” 在划分小正方形的过程中，可以让学生自己动手进行剪裁，或在用小正方形摆放长方形的过程中，也可以让学生亲自动手，并同步记录数量，直观地感受长方形的形状和小正方形的数量之间的关系。这种形象直观的教学方法让学生在几何图形和面积数字之间建立了关联。学生经历了“铺满→不铺满→画刻度→量→算”的变化过程，能更好地理解长方形面积公式的由来。

长方形面积公式是一个函数关系式，其中的长、宽、面积三者之间存在着相互关联的对应关系。如果把长作为常量，则面积和宽就是正比例关系。在教学中，教师可以让学生根据经验猜测面积的大小可能与什么有关，从而渗透函数思想。

【片段一】

（1）使寬不动，拖动长方形的长，长方形面积发生了变化。

师：如果把长延长1格，面积变为多少？

（2）使长不动，拖动长方形的宽，长方形面积发生了变化。

师：如果把宽延长1格，面积又变为多少？

（3）把长、宽一起拖动，长方形面积发生了变化。

师：看了刚才的演示，你有什么想法？

生1：拖动长方形的长或宽，面积变大。

师：长方形的面积与哪些因素有关？

生2：长方形的面积和长、宽的长度有关。

师（追问）：前两次拖动都只延长了1格，为什么得到的面积却不一样？

通过课件演示，让学生进一步理解长方形的大小取决于图形中包含了多少个面积单位，进一步引导学生观察图形面积单位与边长的关系。

2.探形——精选摆拼素材

【片段二】

师（出示长方形）：这个长方形的面积是多少？你能用学过的知识解决这个问题吗？

生1：可以用摆小正方形的方法来得到长方形的面积。

师：回答正确。下面大家用1平方厘米的小正方形摆一摆，看看这个长方形的面积是多少？哪位同学摆的最快且结果最准，就是最后的优胜者。

（学生动手摆。在学生摆放好小正方形后，教师有针对性地提问）

师：这个4表示什么？3呢？12呢？

生2：4表示长方形的长能摆4个小正方形，3表示能摆3行，12表示能摆12个小正方形。

师：那这个长方形的面积是……

生3：12平方厘米。

师：优胜者是哪些同学呢？你们求得的面积是多少（显示摆的结果）？还设摆出来的同学能谈谈原因吗？

因为动手能力的差异，学生摆放小正方形的速度有快有慢，还有的学生数数也出错了。于是我用课件演示摆的过程，先出示长能摆4個小正方形，再出示宽能摆3个小正方形，并用红、蓝不同颜色显示，帮助摆放或计算失误的学生加深对面积计算方法的认识，提高实践操作技巧。通过一系列的数据实验，学生在猜想长方形面积计算公式时产生了疑惑，并引发学生的思考，主动踏上探寻面积公式的征途。

四、反思：吹尽狂沙始到金

小学数学教学应该上升到数学思维训练这一高度，让学生真正掌握数学知识并能灵活应用。教学“长方形面积的计算”时，教师应摒除学生单一的记忆，提升到深度学习的层次。“知道事实不等于理解”，学生学习的深度就需要教师把握学习内容的本质，采用针对、参与、启发的形式，处理好“学”与“导”之间的关系。基于学情适时选择问题作为学生学习的切入点，营造探究型对话，在学生心理上构建起有效的认知结构。

丰富多样的建模方法，让学生在生动形象的学习过程中把握住了数学知识学习要领。“长方形面积的计算”是小学阶段的重要知识点，在教授面积计算公式时，教师要注重学生对公式的深刻理解和推导过程，训练学生良好的数学思维并保持学习的积极性，养成自主探索数学问题的思维习惯。

（责编 李琪琦）