“探索规律”专题的教学误区及应对策略

丁洪

[摘 要]针对“重演绎，轻归纳”的传统教学方式，教材设置了“探索规律”的专题教学。扫描和透视教学误区，提炼和解读应对策略，不但可以正本清源、厘清本质，提升认识，还能得心应手、张弛有度，助力实践，最终，实现“探索规律”的课堂凸显探索的味道，使得学生探索的关键能力真正得到提升，探索的必备品格初步形成。

[关键词]探索规律;教学误区;应对策略

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0001-04

从本质上看，数学也可以看成是一门探索规律的学科。规律一般可以分为两种类型，即“显性的规律”和“隐性的规律”。其中，显性的规律注重“观察与比较”，侧重运动与变化过程中不变因素的普遍确认;隐性的规律注重“猜想与验证”，侧重事物之间“原因与结果”或“本质与现象”的关系确定。不同版本的教材的编写都体现了这样的认知和理解。以苏教版教材为例，规律探索除了蕴含于例题中、散落在练习里，还有专门设置的相关专题。应该说，“探索规律”专题是对 “重演绎，轻归纳” 传统教学的一种积极回应，它面世的时间虽然不长，但是意义重大。因此，教师应扫描和透视教学误区，提炼和解读应对策略，进而提升“探索规律”专题教学的有效性。

一、教学误区的扫描和透视

1.结果目标与过程目标的人为割裂

课程标准指出，“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系。”也就是说，没有过程的结论犹如空中楼阁，晦涩难懂，尤其是随着年级的增高，相应的数学规则和结论的表达越发简洁，如果仅是单调传输和单向传递，结果可想而知，厌学心理的产生、学习质量的下滑等负面情况将接踵而至;当然，如果教学过程轰轰烈烈，但不引导学生进行必要的观察、对比和优化，也容易出现所得结论“词不达意”的状况，零散而且不系统，同样不利于学生后续学习和思维发展。这样看来，过程目标和结果目标的和谐统一是教学的底色和底线，如果人为割裂，则结果覆水难收。

具体到“探索规律”专题的教学，课程标准要求：第一学段是“发现给定事物中隐含的简单规律”;第二学段是“探求给定事物中隐含的规律或变化趋势”。考量“发现”和“探索”的词性，两者都属于描述过程目标的行为动词，这就预示着本专题教学的侧重点是引导学生经历探究的全过程，最终得到朴素的“猜想—验证”的科学方法论。但是，很多教师往往用短、平、快的方式把结论灌输给学生，强调了“你就跟着这样做”，忽视了“你应学着这样想”，只是把重心放在检测反馈上，以应试的视角衡量教学的得失。显然，这种本末倒置的行为只会使学生解决问题时浅尝辄止，题目的情境稍加变换，他们便会寸步难行，知识迁移、能力素养沦为镜中月、雾里花，看似有，实则无。

2.自主開放与有序开放的预期背离

课程标准指出，“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程……学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”也就是说，教学需要改变课堂结构，减少不必要的重复，将挤出的时间还给学生，为他们全身心地投入学习创设平台;需要改变学习方式，让有意义的接受“牵手”自主探究和合作交流，在多种方式共同作用下，促进学生认知立体和精神丰盈;需要凸显主体地位，驱使学生调动先拥经验，自由、舒展和灵动地展现个性思维。

具体到“探索规律”专题的教学，自主开放的情形变多了，活动的效果反而降低了。比如，五年级下册的“和与积的奇偶性”，很多教学不能完成既定任务，而且探索效果不明显。究其原因，问题出在加数的个数变成3个及以上的环节中盲目提倡学生自主探索。学生不知道“干什么”，活动已经开始了;也不知道要“干到什么程度”，“被合作”发生了;“你一言我一语”还没说上几句话，汇报登场了。可想而知，结果只能是面面相觑。如果能够将2个非零自然数和的奇偶性活动经验自然迁移，即“在‘偶数类的基础上有序增加偶数，和还是偶数;在‘奇数类的基础上有序增加奇数，加数的个数是3个、5个、7个等奇数个的情况下，和是奇数，加数的个数是2个、4个、6个等偶数个的情况下，和是偶数”，并顺势总结出“和的奇偶性取决于奇数的个数”，“奇偶类”探索和结论与前面一致。显然，自主开放并不等于完全放手，预期的背离源于过度放大了学生的自主能动性，忽视了板块知识的整体联动性，还割裂了探索方法的内在传递性。

3.合情推理与演绎推理的组合错位

课程标准指出，“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成;合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。”也就是说，贯穿于教学过程的推理不可以一概而论，要根据学习的内容和知识的属性，选择合适的推理方式或将它们组合运用。否则，“推”而不“理”，“理”而不“顺”，旧问题没解决，反而催生了新问题的产生。

具体到“探索规律”专题的教学，也有一些优秀案例。比如，五年级上册“钉子板上的多边形”的教学，首先要求学生算出图形的面积，并数出边上钉子的总数，然后将数据对应填入表格，初步引导学生发现“多边形的边上的钉子数越多，多边形的面积就越大”“图形边上的钉子数是4，面积是2平方厘米……”“这些多边形的面积的平方厘米数是它们边上的钉子数的一半”，并通过“多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？”的问题，驱动学生概括出“当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S=n÷2”的规律。显然，这个板块侧重归纳类型的合情推理。当多边形内只有2枚钉子时，仍然延续这种探索过程，在得到“S=n÷2+1”的规律后，可通过追问“相比较而言，这里加的1在图形的哪部分？为什么这时候要加1呢？”引导学生解构图形，发现每一个多边形都可以分割成两部分，一部分是内部为1枚钉子的图形，另一部分是面积为1的图形。显然，在这个板块中，合情推理和演绎推理并重。当然，随着多边形内钉子数的增加，面积与它边上的钉子数的关系，以及多边形内没有钉子的探究，相对而言适合经验迁移，点到为止即可。显然，这个板块侧重类比类型的合情推理。但是，实际情况事与愿违，很多教师一味追求学生深刻理解知识，往往不自觉地提高演绎推理的比重。

4.具象表征与抽象表达的对接短路

课程标准指出，“建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。”也就是说，符号对数学学习具有重要意义，可以帮助学生数学地表达自己的观念，提炼和固化数学的思维过程，使得数、数量关系和变化规律能以简洁的样式建构和呈现。但是，需要注意的是，引入符号、使用符号、理解符号以及传播符号，需要根据学生的实际情况，考慮他们的接受程度，这不是一蹴而就和一朝一夕的事情，只有顺其自然，学习才能自然而然。

具体到“探索规律”专题的教学，要求用数学式子表达的有四年级下册“多边形的内角和”、五年级上册“钉子板上的多边形”、六年级上册“表面涂色的正方体”和六年级下册“面积的变化”，这些专题的素材都是数学现象。如果以五年级上册“用字母表示数”的学习为分水岭，那么“多边形的内角和”的规律一般用“多边形的内角和=（边数-2）×180°”来表达，不要人为拔高，以免造成不必要的认知障碍;其他规律表达因为有了字母引入，可以用含有字母的式子来表示。另外，不需要用数学式子表达的有三年级上册“间隔排列”、四年级上册“简单的周期”、三年级下册“有趣的乘法计算”和五年级下册“和与积的奇偶性”。前面两个专题关注身边现象，规律相对简单，无须抽象表达，口头讲述、摆放学具或画出图形即可;后面两个专题聚焦数学现象，规律相对复杂，无法抽象表达，那数学语言描述、分类举例解释也行。显然，定位好“用什么方式表达规律？”就不会忽视准确性与简洁性，把握好“规律表达到什么程度？”就不会偏离阶段性与适切性。

5.评价导行与评价导思的功能紊乱

课程标准指出，“评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。”也就是说，评价首先指向学习过程，教师必须扮演“事前诸葛亮”，对学生可能出现的问题充分预设，并有针对性地做好预案，以增强现场研判的力量和质量;然后评价指向学习结果，这既是过程评价的“后续动作”，也是必要的阶段性反思。显然，过程评价和结果评价缺一不可、各有侧重。

具体到“探索规律”专题，有很多教学关注结果评价，忽视过程评价。在过程评价中，又总是拘泥于外在行为——关注“学生做了什么”，忽略了内在数学思维——分析“学生是怎么想的”。比如，四年级下册“多边形的内角和”的教学，在四边形的内角和探究环节，学生习惯性地去测量或撕拼，有的教师“视而不见”，甚至是“不屑一顾”：“你们怎么还用这种老方法，太麻烦了！”对此，评价应该改为“你们能联系旧知解决问题，真好！”，给予肯定，然后提出：“我们既然已经知道了一个三角形的内角和是180°，你能想办法将四边形转化成三角形，换个角度求它的内角和吗？”在其他多边形的内角和探究环节，除了从顶点出发的分割，还出现了从边上一点或图形中一点出发的分割，教师可先用“这样做也能将多边形分成独立的三角形，你真会思考！”来肯定学生，然后用“仔细观察这三种分割方法，你能找到它们之间的联系和区别吗？”来驱动学生思考。显然，不同的评价将会引领学生经历不同的风景。剖析行为表象、驱动思维生长，才是评价的真谛，才能帮助学生遇见“最美的自己”。

二、应对策略的提炼与解读

1.精心设计“问题链”——规划探索板块

“问题链”是指教师围绕课堂教学目标，依据学生的知识经验和认知水平，结合数学学科的知识内容和能力要求，智慧设计而成的具有层次性、系统性和启发性，以环环相扣的链状结构呈现，有效实现学生学习能级增益的问题序列。精心设计问题链旨在规划探索板块，实现知识技能、过程方法和情感态度与价值观的有效解构和有力重构。比如，三年级上册“间隔排列”的教学，可以设计“探索不封闭情境中的间隔规律”“探索封闭情境中的间隔规律”“探索两种情境中间隔规律的联系”三个板块。其中，第一个板块先“收”再“放”，“收”借助“蘑菇与兔子”“夹子与手帕”和“木桩与篱笆”等情境，引导学生经历数个数、比数量的过程，侧重从特殊走向一般的归纳;“放”分为两个层次，第一层次是基于两端物体相同，体验数量虽然在变化，但是“两端物体比中间物体多1”的规律始终没有变，是一种针对性的变式训练，第二层次是基于两端物体不同，体验数量虽然在变化，但是“间隔的物体数量相等”的规律始终没有变，是一种对比式的变式拓展。第二个板块则完全放手，提供诸如“间隔排列的手链”等情境，驱动学生自主经历数一数和比一比的探索过程，并在对比中建构“间隔排列的物体个数相等”的规律模型。第三个板块侧重对比联系，可以从封闭的情境自然切换到不封闭的情境，例如将手链从某一处剪开后拉直，就可以得到“两端物体不同的间隔排列”，当然也可以反其道而行之。显然，“问题链”是教师的智慧预设，是课堂的行动指南，更是育人的尺度表征。

2.引导经历“全过程”——凸显探索主线

教学讲究引导学生经历知识的生成、生长和生根，探索规律专题也不例外。不过，需要注意的是，探索规律不应该等同于普通知识的教学，它侧重的是“猜想—验证”朴素科学方法论的渗透，这才是它真正的使命、归宿和价值。比如，六年级上册“表面涂色的正方体”的教学，首先通过对简单的正方体表面进行涂色以及分割，了解到小正方体“三面涂色”“两面涂色”和“一面涂色”的基本事实;其次引导学生自主操作，获得一些基本数据，并借助问题“观察填好的表格，你能发现什么规律？”驱动学生有理有据的猜想发生，得出“3 面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置，都是8个。”“ 2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。”“1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。”“6 个面都不涂色的小正方体个数分别是0、13、23、33……”的基本规律;接着引导学生运用含有字母的式子简洁表征规律，并举例进一步验证;最后通过整理和回顾，帮助学生积累“找各种小正方体时，要注意它们在大正方体上的位置。”“各种小正方体的个数与大正方体顶点、面和棱的个（条）数有关。”“要把找、数、算等方法结合起来，并根据图形的特征进行思考。”的探索经验。显然，完整经历“感知事实、定量描述、猜想规律、建构模型、举例验证和经验内化”的探索过程，能有效助力学生探索意识的充分唤醒、探索路径的基本塑化和探究能力的初步达成。

3.推理演绎“巧联结”——丰富探索认知

虽然“探索规律”专题是针对世弊应运而生的产物，但不能从一个极端走向另一个极端，即只重视“跟着感觉走”的直觉思维，忽视了必要的理性思维培养，毕竟单一的思维形式略显单薄，难以支撑探索规律的全部内涵。比如，三年级下册“有趣的乘法计算”的教学，是否能用“两头一拉，中间相加”表征“两位数×11”这类算式规律的全部内涵？是否能用“积的末两位等于两个乘数个位上的数相乘”“积的末两位前面的数等于乘数十位上的数乘比它大1的数的积”表征“同头尾合十”这类算式规律的全部内涵？诸如此类，都是值得深思的问题。应该说，初步探究得出如此结论，可以算作是阶段性成果，但是如果把这种形式的结论当成最终的数学建构，显然有失偏颇、不接地气。不妨让探索规律先“生动”起来，让学生通过观察、比较和分析，归纳或类比出形式化的见解，只要“合情”就肯定和悦纳;接着让探索规律再“深刻”起来，引导学生分析形式化背后的数学实质，即从算法的推理走向算理的推演，适度和必要的“合理”阐释，不但不会拖累“合情”流畅，反而能为“合情”表征注入底气和活力。显然，兩类推理不应该刻意回避对方，人为造成“老死不相往来”的现状，只要按需侧重、适度融合和有机联结，就能立体架构探索过程，丰富学生的探索认知和体验。

4.规律表达“重实质”——注重探索优化

因为认知特征、表征形式、抽象水平等实际情况的存在，规律表达一般呈现多姿多彩、因人而异的生态样式，有的是口头表达，有的是举例说明，还有的是抽象建模，这些都是学生的自然流露，是可以被理解和尊重的，体现了个体经验的内在自洽。比如，六年级下册“面积的变化”的教学，学生通过具体的测算活动，得到正方形、三角形和圆形变化前后的基本数据，即“长度比”和“面积比”，然后通过问题“比较每个图形放大后与放大前的长度比和面积比，你能发现什么规律？”驱动学生寻找两者之间的显性联系。学生的表达一般有三种类型：第一种是白描型，“正方形放大后与放大前的边长比是3∶1，面积比是9∶1”“三角形放大后与放大前的边长比是2∶1，面积比是4∶1”“圆形放大后与放大前的边长比是4∶1，面积比是16∶1”，学生关注的只是具体形状，思维在浅层水平游走;第二种是归纳型，“两个比的后项都是1，面积比的前项是长度比前项的平方。”学生渐渐超越具体情况走向一般概括，思维水平有所提升;第三种是建模型，借助“如果把一个图形按n∶1的比例放大，放大后与放大前图形的面积比是（ ）∶（ ）”引领学生尝试用含有字母的比表达规律，建构形如“n2∶1”的数学模型，促使学生的思维水平有更进一步的提升。显然，这样的规律表达从局部到整体、从粗糙到精致、从生动到深刻，形式虽然多样，但都紧扣实质，有效催生了数学思维的梯度优化和良性发展。

5.评价导向“多维度”——激活探索智趣

评价是把双刃剑，用得好可以帮助探索，否则可能阻碍探索。实践表明，要想发挥评价的正向功能和积极影响，往往需要明确评价方向、选择评价手段和考量评价标准，并在此基础上，实施多维度的评价策略。比如，四年级上册“简单的周期”的研究盆花规律环节，在学生给出图形、文字和符号三种表征方式时，教师可以用“感谢你们的精彩表现，真会思考！”来点评，情感维度的评价能增强学生探索的信心;当出现“竖着摆”能清楚表征规律时，可以用“还能换个角度思考问题，为你点赞！”来点评，方法维度的评价促进了结构对应;当计算得出第19盆花的颜色时，可以用“第7组第一个确定了位置，每组的第一个都是蓝花，确定了颜色。思考有序！”来点评，操作维度的评价明确了程序要点。在探索总结环节，对比算式中被除数对应总量，除数对应“每组有几个”，商对应“有这样的几组”，以及“余数是几，颜色与每组的第几个对应相同”，可以用“一一对应思考问题，规律特征自然显现，真会学习！”来点评，思想维度的评价达成了模型建构。在自我创造环节，出现了不同规律的作品，至少摆两组才能清晰表达规律，可以用“周而复始，不期而遇，真会创造！”来点评，素养维度的评价内化了活动经验。显然，评价可以激活学生兴趣，驱动他们“愿意学”，还可以激活学生潜力，驱动他们“学得透”，进而实现探索的“智趣”相融。

综上所述，对于“探索规律”专题教学，教师需要“另眼相看”，不能忽视它的独特性;需要“紧扣目标”，不能忽视它的功能性;需要“塑化路径”，不能忽视它的基础性;需要“发展思维”，不能忽视它的价值性;等等。唯有如此，认识上才能正本清源、厘清本质，实践时才能得心应手、张弛有度，最终，让“探索规律”的课堂真正凸显探索的味道。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]

（责编 金 铃）