唤醒“沉默的问题”

丁爱平

[摘 要]学生的头脑中藏着“沉默的问题”，这些问题是学生最真实、最隐秘的数学思考，是非常值得关注的教学资源。教师应“潜”到学生思维深处，捕捉并点燃“沉默的问题”，让学生自由畅想，增加数学学习的动力值，提高数学学习的方法值，提升数学学习的效能值。

[关键词]沉默的问题;动力值;方法值

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）35-0001-03

问题是数学的心脏。教师以问题驱动学生的学习向深度推进，但教师看到了学习单上的问题笔记，听到了学生的提问，这些问题是否就是学生学习的全部真相呢？学生解决了这些问题是否就真的没有问题了呢？

教学中经常会有一些学生的问题不容易被教师发现，因为得不到教师的关注，或者学生来不及思考，有的学生就将其放在自己的学习“暗箱”中，这类问题，我们称之为“沉默的问题”。它具有以下几个特点：一是儿童化，带着鲜明的儿童特质，是儿童眼中的数学;二是个性化，提出问题的角度与众不同;三是潜在性，不易察觉、隐而未发，容易被忽略;四是非结构化，问题是随机生成的，具有跳跃性，呈散点状分布。打开学生数学学习的“暗箱”，唤醒“沉默的问题”，有利于教师洞见学生思维的最深处，使学生开启新的学习素材、新的学习方式，拥有“新”的发现，更有“心”的发现。

一、捕捉点燃“沉默的问题”，增加数学学习的动力值

有这样一个故事：年轻的水手问老船长：“如果前方海面上有一个巨大的暴风圈迎面袭来，您将如何应对？”老船长说：“如果船头掉转180°返航，暴风圈在后面追船，只会延长船与暴风圈接触的时间，非常危险。如果将船向左或右转90°，会使船身增加与暴风圈接触的面积，暴风雨一到，大半个船身都处在它的肆虐范围之下，更加危险。只有一个办法，就是不偏不倚地迎向暴风圈，冲过去！这样可以使船与暴风圈接触的面积最小，由于船的速度和暴风圈的速度组合在一起，也可以大大缩短船体与暴风圈接触的时间，船很可能就能安全冲过暴风圈。”

1.审慎问题速抉择，突出“快”而“准”

在课堂教学中，之所以有很多学生的问题被“沉默”，是因为教师面对即将席卷而来的思维风暴选择了避让。表面上看似乎获得了安全感，实则错失了一次让学生经历思维激烈交锋的珍贵的学习体验。学生的问题只在一瞬间闪现，教师要快速抉择：说，还是不说？

例如，教材在“认识方程”的例2（如图1）中编排的第二幅图的天平下面写着150。显然，教材的意图是希望学生通过观察天平左边的物体，写出x+50=150，然后在若干式子的分类中揭示方程的含义（如图2）。

笔者试教时，只出示了图1的第二幅图的天平图，让学生自由写式子。绝大多数学生写的是x+50=150，有几个学生写的是x=100，但他们认为x+50=150更有道理，也就沒有举手提问。不提问，不代表没有问题。

x=100这个式子到底是不是方程，教师一直有争议：一种观点认为它不是方程，虽然它符合教材上“含有未知数的等式是方程”的描述，但是它并没有让未知数x与已知数建立加减乘除的运算关系，它“没干活”，所以它不是方程。另一种观点认为它是一种特殊的方程，相当于x×1=100，确实在未知数和已知数之间建立了等量关系。

曾有专家把形如x=100的式子称为“不好的方程”。既然问题来了，就没必要选择避让，因为不准这个问题“开口说话”，在后续的列方程解决实际问题中还是会出现x=12+24这样的“方程”。直面暴风圈，也许穿越暴风圈的时间更短。

当然，并非所有的学生的问题都要全班交流，如果与本节课的学习内容关联不大，或者一时半会根本解释不清，又或者容易强化负面信息的，均不宜在课堂上浓墨重彩，可以私下跟学生交流。关注“沉默的问题”，要突出“快”和“准”，反应太慢，如果学生自己疏于提问，教师也许会错失宝贵的生成性资源。

2.分析问题说真话，突出“容”和“赏”

当学生的“沉默的问题”被唤醒，思维的暴风雨顷刻而至。对此，教师应以包容、欣赏的眼光组织学生思辨。

例如，当笔者呈现“x=100”后，有学生认为式子是错的，天平的两端明明有50克的砝码，但是这个式子没有写进去。有学生反驳：“天平两端都有50克的砝码，索性抵消掉，x=100可以表示两边物体质量的大小关系。”“那么x=100是不是方程？”经过辩论，很多学生认同x=100是方程，只是这个方程“太瘦了”，它是从方程x+50=150“减肥瘦身”而来的，可叫它“瘦子方程”。

相比专家所说的“不好的方程”，笔者更喜欢学生命名的“瘦子方程”，因为它更有想象力和张力。方程就是在复杂的数量关系中寻找未知数与已知数之间的等量关系，有一些原始方程的结构很丰富，利用等式的性质通过一次次化简，步步简约，最终求得方程的解。在总结这场辩论时，笔者充分肯定了学生的思考，并且提出：“今天是第一次学习方程，方程的含义可不仅仅是‘含有未知数的等式这个形式上的意思，它强调一种等量、平衡的关系，顺向思考，以后在解决实际问题的过程中慢慢体会。”

如果教师选择屏蔽“沉默的问题”，学生的头脑中虽有疑惑“我的答案怎么跟别人的不一样？错了吗？”，但迫于教师往下推进教学环节而没有提问的机会，那么这个问题极有可能被放进学习的“暗箱”中。如果学生的问题一次次地被忽视，学生探索的勇气、学习的兴趣和自我的发现与确认将会丧失。每一个学生都渴望被关注、被宽容、被赏识，学生的“沉默的问题”需要被激发、被盘活、被点燃。

二、回炉再造“沉默的问题”，提高数学学习的方法值

很多时候，学生只能叫“在学习”，而不是“会学习”。美国心理学家卡尔·罗杰斯在《自由学习》一书中提出：“只有学会了如何学习、如何适应、如何改变，才能了解到没有任何知识是确定的，只有获取知识的能力可以为我们带来安全感。具备了这种能力的人才是受过教育的人。”

学生的“沉默的问题”需要回炉再造，这不是为了复习该问题的答案，而是为了引导学生站在学习的时间轴上寻找新旧知识间的联系，学会反省、学会学习，提高学习的方法值。

1.专题回放，开展焦点式访谈

有的“沉默的问题”虽然出自个别学生，但是具有挑战性，单靠学生独立探究很难解决，这就需要教师设计专题以回放问题，开展学生焦点式访谈，打开学生思维的结。

例如，李叔叔的养鸡场今天一共收260千克鸡蛋，每15千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克鸡蛋？

多数学生列式“260÷15=17（箱）……5（千克）”，有几个学生列式“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”。学生都知道“260÷15=17（箱）……5（千克）”一定是正确的，他们还在之前的学习中初步建立了数学模型：当除数是两位数时，可以转化成连续除以两个一位数，这样计算更简便，例如270÷18=270÷9÷2=15。但是“260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）”，余数怎么变小了呢？计算过程没问题，难道之前的规律有限定范围，不能有余数？

对此，笔者未做讲解，而是布置了一个专题小研究，让学生用图文解析的形式表达对这道题的理解，这是一个“回炉再造”问题的过程。在学生完成后，笔者展示图文解析（如图3），请学生讲解，但仍有学生百思不得其解——鸡蛋怎么变少了呢？

对新知识的理解是学习者的心智表征发生改变的结果，这种改变是根本性的。学习者不是单纯的学习“参与者”，而是他所学知识的“创造者”，他人永远无法替代他去学习或者一厢情愿地加快他学习的进程。因此，笔者在学生依然疑惑不解的时候选择戛然而止：“不明白没关系，等大家到了五年级再回来找鸡蛋。”五个学生的疑惑暂时搁置。

2.阶段回炉再造，培养反省性思维

在学完小数除法之后，全班学生“重启”“找鸡蛋”，发现260÷15=17.333……，得到的是一个循环小数，260÷15=260÷5÷3=17.333……，两个计算方法结果相等，当年的余数并不是最终的计算结果，而是一个过程性的记录，260÷5÷3的余数是1，记录的是“按照5千克装，余下的1箱（5千克）”。至此，当初“沉默的问题”回炉再造，学生感受到数学学习是前后呼应的。可见，待学习了除法、分数和比的联系后再次引导学生回忆“找鸡蛋”，学生又是一番别样的感受。

回炉“沉默的问题”是一种策略，旨在引导学生在新一轮的数学思考中打开学习的“暗箱”，厘清模糊的认知，萃取数学知识本质，凝练数学思想方法，形成持久的学习力。经常性“回炉”曾经的困惑，有利于培养学生的反省性思维。教师应给学生提供更多从容不迫的反思、想象、琢磨的机会，让学生享受思考的快乐，获得经验，提高学习的方法值。

三、自由畅想“沉默的问题”，提升数学学习的效能值

当下流传着一个数学学习“攻略”：时间有限，质量当头。“为什么”不重要，关键是熟练掌握通识解法，“怎么做”最现实。学生的问题经常被“幽闭”，学生只是不断地回答教师的提问、解答习题的问题。教师应松开应试的“手掌”，让学生自由畅想“沉默的问题”，拥有自由的思维和表达，在学科智识、情感态度、品格涵养等方面都有所发展，提升学习的效能值。

1.转变主体地位，处理好“我回答”与“我问你”的关系

以单元练习设计为例，传统意义上的一份单元练习讲究参照《双向细目表》，按照7∶2∶1的难度分配。结构化的练习题是面向全体学生、以教师为主体的单方调控与统一操作，为教学质量做必要的测查与评估，学生所做的是“我回答”。除此之外，可以补充一种非结构化的以学生的问题为中心的习题，让学生来说“我问你”，两者互为补充。在学习的任何阶段，都可以开展“我问你”的活动。命题人是自主报名的学生，命题范围是该学生一直想不明白的、想要探究的问题，题量自由设定，测试对象是自主报名的学生，评价反馈和奖惩措施都由命题人组织亲友团来完成。

例如，学完平行四边形、三角形、梯形的面积之后，有学生出了一道练习题：方格纸上有一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形，它是由一个图形转化来的，那个图形可能是什么样子？“为什么要出这道题？”学生回答：“给出一个平行四边形，画出转化后的长方形，闭着眼睛都会画。我就反过来想，知道了转化后的长方形，是不是只要凑出面积是24平方厘米的图形就可以了？有没有不同的形状？如果只是凑凑，那这样的转化还有什么意思呢？”学生的头脑中原来有这么多有价值的问题！

2.叩问价值取向，处理好“使人聪明”与“数学向善”的关系

数学故事《网开一面》是这样的：古人围猎时不会把野兽赶尽杀绝，都会留给野兽逃生的机会。用一根40米长的绳子来围猎，如果围成正方形（如图4），面积是（40÷4）2=100（平方米）。假定野兽事先并不知道哪面有网，并且朝四个方向均匀逃散。由于四面都有网，野兽触网被捕获的可能性是四分之四，假设此时的捕获量为“1”，如果“网开一面”，“圍成”的正方形就有三个面有网，野兽触网被捕获的可能性是四分之三，（40÷3）2÷4×3=133.3333…… ，捕获量约为“1.3”。如果“网开三面”，只有一个面有一根长40米的网，“围成”的正方形面积是40×40=1600（平方米），野兽触网被捕获的可能性是四分之一，1600÷4×1=400（平方米），捕获量为“4”。

学生阅读后提出：“故事里说古人留给野兽逃生的机会，不想赶尽杀绝。但是在‘网开三面的情况下，它们的捕获量反而最大，真是欲擒故纵，放长线钓大鱼，这不是很虚伪吗？”这个问题令笔者惊讶，故事的本义是想让学生通过数学思维来感受欲擒故纵的策略是多么富有智慧，没想到学生的感受完全相反。想一想，数学其实是对生活的高度抽象与概括，数学和生活之间不能画等号。数学课上，师生津津有味地讨论鸡兔同笼问题，感悟假设的策略，但生活中并没有人把鸡和兔关在一个笼子里。《网开一面》的故事蕴含着数学的智慧、人文情怀和人生哲学，也许学生在以后的成长过程中，会突然顿悟，给自己一个合理的解释。诚然，数学是自由的，数学使人聪明，但它也是有约束的，数学向善是不变的初心，是无须提醒的自觉。

各种各样“沉默的问题”真实地记录着学生的学习轨迹。在“学为中心”的教学理念下，关注学生的“沉默的问题”是一个新的学习视角。在这里，教师敏锐地点燃问题，独具匠心地“回炉”问题，最终，让学生跳出被动学习，自由畅想“沉默的问题”，逐渐成长为自由的、智慧的、怀满善意的学习者。

（责编 金 铃）