深化建模教学 凸显模型价值

费云杰

[摘 要]模型思想是三个数学基本思想之一，在数学思想方法中有着非常重要的地位。立足课堂教学，在实践—反思—再实践—再反思的基础上，总结建模课的共性，提炼出数学建模课的一般模式。并在此基础上，提出建模课教学的四个策略，情境创设、建立关系、抽象本质、辨识应用，从而渗透模型思想，帮助学生建立和把握有关的数学模型，有利于学生抓住数学的本质。

[关键词]模型思想;策略;建模

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）35-0031-02

笔者对模型思想（建模能力）的理解是“重视学生的已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”。本文借助教材单元编排的特点，整理各年级数学教材，找出小学数学模型的基本类型，引领学生进行数学建模学习，培养学生的建模意识和能力。

一、模型思想教学的问题

（一）缘起练习

五年级“简易方程”单元有如下两个练习，学生的回答引发了笔者的困惑和思考。

1.甲、乙两数的和是40，甲数是乙数的2倍。甲数是多少？

学生回答：40÷2=20。

2.苹果有48个，比香蕉数量的2倍少26个，香蕉有多少个？

学生回答：48-26=22，22÷2=11。

（二）启发思考

1.学生能力弱

上面的练习题中，学生没有使用方程解决，而是用原先学的算式来解答。由此可以看出，学生在学习了用方程解决问题之后，尚未摆脱原先的用算式解答问题的惯性思维，没有形成建模的意识。可见，模型思想在教学中的渗透不足。

2.教师意识薄弱

很多教师对数学建模不甚了解，只是单纯地教授有关数学模型的知识，在课堂教学时没有充分调动好学生的学习积极性，也没有做到选取合适的、能够激起学生兴趣的问题情境。

二、模型思想教学的思考

（一）分析教材，确立教学模式

1.整理建模内容

从三至五年级教材中精心选择建模教学内容，可以抽象为数学模型的课程内容如下：

三年级：估算模型、统筹安排问题、“每份数×份数=总数”模型、周长公式、周长最短模型、同分母分数计算模型、平均分模型、韦恩图。

四年级：三线角模型、乘积最大问题、“单价×数量=总价”模型、“速度×时间=路程”模型、平行与垂直模型、烙饼问题。

五年级：小数乘法模型、乘积变化问题、称水问题、估价问题、收费模型、进一去尾问题、方程模型、相遇问题、追击问题、面积计算模型、堆圆木问题、数方格问题、植树问题。

2.深挖建模共性

通过对建模素材的多方位挖掘，笔者发现可作为建模课程内容的素材都有以下四个共同特点：生活化情境、关系思考、模型建立、应用推广。

3.确立建模框架

根据研究所得的建模素材的共同特点，我们可以这样表示小学阶段数学建模的模式：模型准备→模型假设→模型建立→模型应用。

模型准备阶段：情境引入，初步感知。关键在于情境设计生活化。因此，教师要创设能激发学生创造意识的各种情境，促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机。模型假设阶段：简化背景，提炼问题。将生活化的语言进行数学化加工，从而使“生活”上升为“模型”。模型建立阶段：引导发现，构建模型。在建模过程中，为了找到解决问题的途径，就要在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，也就是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。模型应用阶段：运用模型，解决问题。引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题，充分体现了数学学习是学生用数学知识解决问题和发现新的数学知识的过程。

（二）调整策略，经历建模过程

1.精选问题，创设情境

教师可以创设游戏情境、生活情境、竞赛情境、实验情境等，以生为本，让学生自主参与、全身心投入，快乐地参与其中。 情境创设下，教师恰当预设，科学点拨与指导，引导学生找到模型的特征，奠定建模的基础。

如教学“速度×时间=路程”问题时， 创设赶火车的情境：现有10名旅客要赶往30千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时3千米，还可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问：这10名旅客能赶上火车吗？

又如教学“平行四边形的面积”问题时， 创设分地的情境：以前有个地主，他给两个儿子分地，给大儿子分长方形的地，给小儿子分平行四边形的地，如右图所示，你觉得公平吗？

2.充分感知，建立关系

建立数学关系是建模的起始阶段，用数字、图表、算式、方程等符号来表示问题中的数量关系和变化规律，形成模型的基础框架，便于更深入地思考与建立模型。以上述中“速度×时间=路程”模型为例：

师：这个问题中，每个数量表示什么？

生1：

师：你能找到这些数量之间的关系吗？

生2：总路程、步行速度可以求出步行时间。

生3：总路程、汽车速度可以求出行驶时间。

生4：总人数、一次能载人数可以求出载几次。

通过活动，学生分析问题中存在的变化规律，发现了其中的奥秘，建立数学关系，这就是建模过程。

3.合作探究，抽象本质

解决过初级问题后，学生有了初步解决问题的方法，但还没有形成解决一类问题的模型。这时教师引导学生类比、分析，抽象出問题的特点与解决思路，能培养起学生建模素养。以“烙饼问题”模型为例，当已经建立“同时烙”模型后，让学生合作探究“交替烙”模型。

师：小红一家3口人，如果妈妈要烙3张饼，怎样烙才能让大家尽快吃上饼？我们来帮小红想想办法吧。要求：（1）想一想，3张饼怎样烙最节省时间;（2）同桌交流，摆一摆，画一画;（3）将方案记录在练习纸上。

生1：我们用了12分钟。先用同时烙法烙第1、2张饼，再用1张饼的烙法烙第3张饼。

生2：我们用了9分钟。先烙第1、2张饼的正面，然后烙第1张饼的反面和第3张饼的正面，最后烙第2、3张饼的反面。

生3：按照生2的烙法，每次锅里都有两张饼在烙，只需要烙3次，所以节省了时间。

师：看来要想节约时间，就必须保证每次锅里都有2张饼，我们把这种省时的烙法叫作“交替烙”。

师：烙2张饼的最佳方法是“同时烙”，烙3张饼的最佳方法是“交替烙”。

4.回归生活，辨识应用

将数学模型还原为具体的数学直观或可感知的数学现实，解决相应的实际问题并不是数学模型建构的终结，而是利用建模过程中所采用的策略，对模型进行调整、修正，或能正确区分不同模型，从而解决问题。

师：美味餐厅只有2名厨师，餐厅里来了3位客人，每人都点了1个菜，假设每名厨师炒每个菜的时间为5分钟，客人等待的总时间最少是多少分钟？

生1：这个问题与“烙饼问题”类似。2名厨师相当于锅里最多同时烙2张饼，3位客人相当于3张饼，3个菜相当于饼的正反两面，炒一个菜的时间相当于烙一面的时间，等待的时间相当于烙饼的时间。

生2：烙饼的最短时间=饼的张数×每面的时间

等待的总时间=人数 ×炒每个菜的时间

所以等待的总时间=3×5=15（分）。

学生运用新学习到的“烙饼问题”模型，解决关于炒菜的问题，并迁移延伸到其他情境方面，开拓了思维，发展了建模素养。

总之，数学模型的构建、模型思想的培养对于学生学习数学知识，把握数学本质都具有重要教学价值，教师在实际教学中要不断探索建模教学的有效实施策略，优化教学过程，促进教学改革取得实效。

（责编 吴美玲）