以形促思 演绎算理

陈娟

[摘要]關于两位数乘法计算，学生大多数只掌握了算法，却对算理知之甚少，这在很大程度影响了学生对乘法的运用和掌握。为此，在教学中可运用数形结合思想，借助直观的图形演示，促进学生思考，让学生经历数学化的过程，进而掌握算理并将其逐步内化成算法。

[关键词]数形结合;乘法计算;算理;算法

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0069-02

《课程标准解读》中指出：义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征，即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说是基本要求。

最近笔者听了“有趣的乘法计算”一课，该课是苏教版教材三年级下册第18、19页的内容，包括两位数乘11的算法、“首同尾合十”的算法、（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法，从课堂反馈来看学生对每一种算法的理解都不是很透彻。而笔者在六年级的数学课堂上也出示过这三类问题，发现只有少数学生对两位数乘11的算法还有一点印象，而对其他两种算法则完全不记得了，更别提运用了。结合六年级学生的现状，反思所听的课，笔者以为对于算理的透彻理解要摆在首位，只有在理解算理的基础上，学生对算法的印象才会深刻，才能从记忆走向运用。下面，笔者从理解算理的角度谈一谈对于“有趣的乘法计算”教学的调整与反思。

【案例描述】

教学片段一：两位数乘11的算法

（1）列竖式计算下面一组算式，你有什么发现？

16×11 43×11 78×11 96×11 24×11

让学生用竖式计算并核对答案后思考：积的每一位上的数和原来的两位数相比，你有什么发现？先自己想想，再和同桌说说。

（2）汇报交流：积的个位是__;积的十位是__;积的百位是__。

引导学生总结：积的个位是原来两位数个位上的数;积的百位是原来两位数十位上的数;积的十位是原来两位数个位和十位上的数的和。

（3）猜一猜53×11的积，你是怎样想的？

根据上面总结的规律，猜想53×11=583，并用竖式验证，发现猜想正确，进一步总结规律，简化为“两头一拉，中间相加”。

（4）猜一猜64×11的积，说说想法。

师：你觉得64x11=6104的算法对吗？

生1：不对，因为两位数乘两位数，不可能得到四位数。（此错误教师和学生均没有发现）

生2：我是估算的，64接近60，11接近10，它们的积会比600大一些.但6104太大了。

师：这里的计算过程和前面有什么不同？

生3：十位上满十要进一。

（学生列竖式计算，得到结果为704）

师：这里百位上的6为什么变成了7，多出的1从哪里来的？

（完善算法：两头一拉，中间相加，十位满十，百位加一）

教学片段二：探索“首同尾合十”的算法

出示：22×28 47×43 41×49 56×54 62×18

师：观察每个算式中的两个乘数，你发现了什么？

生1：两个乘数十位上的数相同。

生2：个位上的数相加等于10。

师：像这样的算式，叫首同尾合十算式。

师（出示上面算式的得数）：积和原来的两位数相比，你有什么发现？其中究竟藏着怎样的秘密呢？积的末两位是怎么算出来的？积的末两位前面的数呢？

师：当两个两位数相乘，十位上的数相同，个位上的数之和为10时，积的末两位等于两个乘数个位上的数相乘的积，积的末两位前面的数等于原来乘数十位上的数与比它大1的数的乘积。

猜答案：35×35 45×45 25×25 15x15 55×55

教学片段三：探索（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法

出示：64×66 74×76 84×86

师：运用“首同尾合十”的算法迅速填写结果，然后再说说是如何快速而准确地完成的。

师：当两个两位数相乘，十位上的数相同，个位上的数相差2时，乘积为两个乘数的平均数的平方与1的差。

【案例反思】

同一节课的三个教学片段，都是以“计算多个同类型题，观察结果，发现计算规律”为主线贯穿全课教学。学生并不能经过自主交流进而发现计算的规律，片段一中虽然有一小部分学生在教师的引导下能够发现规律，但却出现一个错误的想法：两位数乘两位数，不可能等于四位数;存在一个疑问：对于64×11=6104，为什么学生在竖式中会把十位进的1和百位的6相加，而在口算中却会出现错误？而片段二和片段三的学习内容难度较大，学生很难发现其中的规律，全部由教师来总结。究其原因，主要还是学生只掌握了两位数乘法计算的算法，却对算理知之甚少。

那么，如何帮助学生理解算理呢？一方面可根据学生的年龄特征将本课分解成两个课时，另一方面，运用数形结合思想，借助直观的图形演示，促进学生思考，同时抓住知识的生长点，让学生经历数学化的过程，用清晰、具体的实物操作来演绎算理，再逐步将算理内化成算法。

1.数形结合，遵循儿童认知规律

皮亚杰的认知发展理论指出：具体运算阶段是指七到十一岁的儿童的认知发展阶段。这一阶段，儿童能根据逻辑法则进行推理，但这种思维能力仅局限于具体情境或熟悉的经验。举个例子：如果问一个三年级的学生“A>B，C

2.数形结合，具象表征演示算理

以13×11为例，从乘法的意义上理解，它就是11个13相加的和，以小正方体来演示（如图1），单个单个的小正方体有11个3块，其中有10个3块可以拼成3个十，再把这3个十和原有的11个十相加（如图2），其中10个十满100可以拼成1板，也就一个百，即向百位进一，此时十位上还有剩下的1个十和个位进上来的3个十，所以十位上是4个十（如图3）。以此过程来演绎“两头一拉，中间相加”的算法，既直观又形象。

以具体的图形摆一摆、圈一圈的形式，使学生能够自主总结抽象出“两头一拉，中间相加”的算理。此时再结合竖式来观察结果，则算理和算法的关系自然打通。

3.数形结合，演绎推理深度思考

波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学;但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之对应的应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论;用演绎推理验证猜想，证明结论。上述三个教学片段中，教师都试图引导学生计算，比较不同的算式，总结计算规律，让学生经历了一个合情推理的过程。但学生难免疑惑：这一类型的计算都有这样的规律吗？有没有不一样的？此时，需要一个由具体数值计算到符号公式表达的过程。小学阶段，学生只是初步接触演绎推理，只能借助图形让其感知计算规律的一般性。

例如，探索“首同尾合十”算法和（a+1）×（a-1）=a×a-1的计算规律时（以26×24为例），可进行如下处理：大长方形面积为26×24（如图4），可以看作是20～20的一个正方形和三个小长方形的面积的和，通过把图5中面积为6×20的小长方形移动到图6中对应的位置，可得大长方形面积为20×（20+4+6）+4×6，即20×30+4×6。通过图形可知“首同”即为正方形边长的整十数，无论几十都可以;“尾合十”，可以把图上的4+6换成3+7、2+8、1+9、5+5，验证可得总结出来的规律都是适用的。

美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么就整体地把握了问题，并能创造性地思索问题的解法。”以形促思，演绎算理，让学生经历数学化过程，可有效夯实其对算理、算法的掌握，提高数学教学效率。

（责编：罗艳）