寻找知识背后的道理

王庆菊

[摘 要]课堂应该回归本质，通过适当的“问题引领”，从根本处追问、从无疑处深究，让学生从知识的浅表走向内核，并获得丰富的数学思维和理性体验，在思辨中感受数学的力量，建立新的思维方式和方法论，寻找知识背后的道理。

[关键词]知识;数理;3的倍数

“3的倍数的特征”是人教版教材五年级下册第二单元的内容，本节课的重点是让学生经历3的倍数的特征的探究过程，掌握3的倍数特征。学生通过列举、观察，很容易总结出3的倍数的特征，但教师却极少或从不引导学生思考其背后的道理，以致学生仅仅知其然而不知其所以然。

追根溯源，打开各种版本的教材可以发现，人教版和北师大版教材都是让学生在百数图上圈出3的倍数，然后讨论总结其特征;苏教版教材让学生在百数图上圈出3的倍数后，又让学生在计数器上拨珠表示3的倍数，从而更直观地发现3的倍数与各个数位上数的和之间的关系;冀教版教材则略去了百数图，让学生在数位表上摆小棒，根据所用小棒的根数总结出3的倍数的特征。由此可见，所有版本的教材都对“3的倍数”背后的道理“避而不谈”。那么，本节课有没有必要让学生知道“为什么”？

M. Kline 在《西方文化中的数学》中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在和提出的问题，使人类努力去理解和控制自然，盡力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵。课程不是一种“作为事实”的存在，而是一种“作为关系、过程和价值”的实践样式。因此，数学教育不仅要让学生掌握知识，还要让学生在自主探究的过程中，思考探究知识背后的数学原理和方法，帮助学生学会思维，使学生想得更清晰、更深入、更全面、更合理，从而提升学生的思维品质，这也是数学教学的价值所在。因此，本节课可在学生总结出“3的倍数的特征”的基础上，引导学生再往前走一步。

【教学片段】

师：刚才我们已经发现了判断一个数是不是3的倍数要看各个数位上数的和，对此你有什么问题？

生1：为什么判断是不是3的倍数要把各个数位上的数加起来？

生2：比如15，15中的“1”表示1个十，“5”表示5个一，为什么在判断时却变成了1个一加5个一？明明是1个十，为什么却成1个一？

师：这是为什么呢？想知道其中的道理吗？请大家任意写几个数，动手分一分、画一画，看看这些数为什么是或者不是3的倍数。

学生汇报：

生3（方法一）：我们小组研究的数是15，我们用分小棒的方法进行了研究。15根小棒可以分成10根小棒和5根小棒，先把10根小棒三根三根地分，分3次后还余1根，还有5根小棒，1+5=6，合起来共6根小棒。将6根小棒继续三根三根地分，正好分完，说明15是3的倍数。

师：你发现了什么？

生3：因为1+5=6，6能被3整除，所以15是3的倍数。

师：一起来看一看，“1+5”中的“1”表示什么？这个“1”从哪来的？

生4：这个“1”表示10除以3的余数，表示余下1根小棒。

师：这个“1”与“15”中的“1”一样吗？

生5：不一样。“15”中的“1”表示1个十，“1+5”中的“1”表示余下来的1个一。

师：为什么要加上5？

生6：加上5是看看现在还剩几根小棒没分，继续三根三根地分，看看能不能正好分完。

师：你们明白判断15是不是3的倍数，为什么要看“1+5”的道理了吗？

生7：就是把“1个十”三个三个地分，余1，余下来的1和个位上的“5”合起来再分，如果能分完就是3的倍数，如果不能分完就不是3的倍数。

生8（方法二）：我们小组研究的数是243，我们是用分正方形的方法进行研究的。三个三个地分一百个小正方形，最后余1个;三个三个地分两百个小正方形，最后余2个;三个三个地分十个小正方形，最后余1个小正方形，三个三个地分四十个小正方形，最后余4个小正方形;连上个位上的3个小正方形，一共还剩2+4+3=9个小正方形。继续三个三个地分9个小正方形，正好分完，说明243是3的倍数。

师：你能说一说“2+4+3”的道理吗？

生8：就是把百位上余下的2、十位上余下的4、个位上余下的3合起来，看看是不是3的倍数。

生9（方法三）：我们组研究的数是417，我们是根据数的组成进行研究的。

师：你明白“4+1+7”的道理吗？

生9：就是把百位、十位、个位上的数除以3之后剩下的数加起来，如果这个和是3的倍数，原来的数就是3的倍数。

师：现在大家明白判断一个数能否被3整除为什么要看各位上数的和的道理了吗？

【教学思考】

著名教育学家派珀特讲过这样一个故事：“一个人不擅记花草的名字，他看着一朵花，使劲地想名字，就是想不起来。直到有一天，他换了一种办法：先从花的名字开始，想为什么这个名字适合这朵花。很快他就能流利地说出各种花的名字。”因此，关于知识，最根本的问题是，我们向知识寻求什么？

1.善学者尽其理

《荀子·大略》有言：“善学者尽其理。” “2、3、5的倍数的特征”属于数论部分，与“2、5的倍数的特征”相比较，3的倍数的特征更隐蔽，这或许就是几乎所有的教材对此回避的重要原因。

张卓玉先生曾说，每个学科的教材都存在两个版本，一个是体现学科知识体系的有形的版本，一个是品质、思想、故事构成的无形的版本。回想以前的课堂，教师总是千方百计引导学生观察、猜想，总结出3的倍数的特征，而没有就这一知识进行深层次的追问与探究。这种基于实际情境给出结论的做法，极易让学生形成“数学知识是由具体实际问题简单归纳出来的”的认识。好的数学教育，要回到思维原点处，挖掘学科知识背后的学科观念、思想方法，并在课堂中以恰当的方式传递给学生。

上述教学片段中，在“为什么判断一个数是不是3的倍数要看各个数位上数的和”这个核心问题的引領下，学生通过举例分析、独立思考、动手实验、合作探究，借助小棒图、方格图等直观材料以及数的组成等材料，逐步明白“各个数位上数的和就是各个数位上的数除以3所得余数的和”，从规律的浅表走向内核，探明知识背后的道理，将数学学习引向数学精神、数学理性与数学思想的深处。

2.知识背后有什么？

纵观人类发展史，任何知识都是特定文化背景下的产物，都蕴含着特定的思想、思维方式和价值观念，人类认知世界的思维方式、文化价值观念、文化精神等组成了知识的内核。因此，知识的背后是对符号知识的超越和追问，是对知识所隐含的思想、意义、思维方式的深层追问。

“3的倍数的特征不再只看个位，而要看各个数位上数的和”，尽管书上“你知道吗？”运用举例的方法说得非常具体详尽，可学生就是疑惑不解。究其原因，3的倍数特征的道理涉及了位值概念，而位值概念比较抽象。化抽象为具体最有效的方法就是数形结合。教师只有巧妙地引导学生借用小棒、方格图等自主探究，直观地看出判断15是不是3的倍数时“1+5”中的“1”不是十位上的“1”，而是十位上的“10”除以3所得的余数，即“1根小棒”，这个余数恰好与十位上的数字相同;判断243是不是3的倍数时“2+4+3”中的“2”、“4”、“3”分别是百位上的“2”、十位上的“4”除以3所得的余数和个位上的“3”，即“百位上是几，三个三个地分就剩几;十位上是几，三个三个地分就剩几，分完以后剩下的数与数位上的数是一样的，所以可以把“3的倍数的特征”归纳为“各个数位上数的和是3的倍数”。

知识是一粒种子，具有生长的力量。“拆数再除”化隐为显，直指问题的本质，把3的倍数特征的道理展现得淋漓尽致，使学生在数学学习中获得智慧的启迪、精神的滋养和生长的力量。

（责编 金 铃）