向“本外”延伸，让“数感”落地有声

庄小丽

[摘 要]数感是一种敏感性直觉，具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。在课堂上需要激发并积极捕捉这种直觉，让数感成为一种稳定的、可以外显的思考性表征。挖掘与课本素材相关联的知识外延，对课本素材进行补充、优化、重构，力求使隐性的数感外显——看得见、说得出，落地有声。

[关键词]数感；小学数学；素材拓展

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0031-02

“数感”是数学新课程提出的十大核心概念之一，它是对数及数量间的一种敏感性直觉，因而具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。伊恩斯图加特这样说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”如何组织素材并巧妙呈现，在课堂上激发并积极捕捉学生这种直觉，让学生的数感成为一种稳定的、可以外显的思考性表征，值得我们在教学实践中去探究。

一、基于认识

“加减法”是一、二年级“数与代数”的主要教学内容，三年级的教学内容是以整数乘除法为主并开始渗透分数和小数。在“加减法”教学尾声，综合应用加减法有关数量关系，寻找加强学生数感培养的契机，提升学生解决问题的能力尤为重要且必要。

苏教版教材第四册的“认识分米和毫米”单元有一道题：“一只蚂蚁先向东爬5分米，再向西爬4分米；又向东爬7分米，向西爬3分米，然后停下来。这时蚂蚁停在起点的东面还是西面？离起点几分米？”此题虽然涉及的新知识是常见的量“分米”，但解题所用的知识基础却是加减法间的数量关系，与学生已有的加减法的应用能力相比，有一定距离。这样稍有高度的综合性应用更利于启发学生的思维，使学生在思维碰撞中生成灵感，是培养学生数感的好载体。对此，教师可挖掘与课本素材相关联的知识外延，找到可以拓展的衔接点，对课本素材进行补充、优化、重构，设计拓展课程，以题组呈现，构建更严密的知识体系，给学生搭建更适合的台阶，让学生在探究中获得更为完整的内涵体验，力求使隐性的数感外显，可以看得见、说得出，落地有声。

二、立足课堂

蚂蚁原来的所在位置可以是一个起点，也可以理解为一个标准，重点需要思考标准下后续的变化过程。基于这点思考，以问题“与原来做比较，有什么变化？”建立题组，从最基本的一步变化到两步变化再到三步变化，在不断增加外部条件的同时，给各环节增设达成目标，以不断提升学生解决问题的能力，增强学生的数感。

1.一步变化：（1）桌上有一篮桃子，猴爸爸又买回10个；（2）桌上有一篮桃子，被猴大吃掉6个，现在和原来相比，个数是多了还是少了？多（少）了几个？

二年级学生惯用两个条件解决问题，在发现题目只给出一个条件时，就会自发地启用假设的策略：假设原有桃子的个数，通过多次尝试，发现“桃子原有个数”这个条件在“与原来比”的问题下，可以忽略不计，只需直接观察变化的有关信息。这里对“原有个数”的不计，其实是把“原有个数”作为起点或是标准的浅思维，需要教师通过直观手段，让学生思维由表及里，引发学生的深层次感悟。

2.两步变化：（1）桌上有一篮桃子，猴爸爸又买回10个，被猴大吃掉6个；（2）桌上有一篮桃子，被猴大吃掉10个，猴爸爸又买回6个，现在和原来相比，个数是多了还是少了？多（少）了几个？

学生画图直观呈现数量关系。这种图示是学生自己喜欢的，可以帮助学生看图和梳理、挖掘已知条件、整合条件，把解决问题的本质直观形象地呈现出来。通过观察比较，得到这一类题的共同属性，有利于学生明确探讨任务的类型由文字到横向的实物桃子图，再到纵向的较抽象的圆形图，实现了从抽象到形象再到抽象的层层递进，是对文字处理到寻求直观性策略再逐步提炼成模型的过程。将原有个数用横线表示，从直观上把“原有”定位为一个比较的标准，将“买回”和“吃掉”两个相反意义的数量变化形式，抽象成“向上”和“向下”两个相对的变化方向，使得学生能从抽象的文字符号到借助直观图理解数量的多与少及变化关系，让数感有据可依，有体可载。

这里列算式虽然作为较高思维层次的解决方式，但在学生没有通透理解知识本质之前出现，并不利于学生直观感受的建立，所以在这里不主张列式解决。而手势比画实则是较圆形图更为抽象的一种线段图的走向。由文字到实物桃子图，到圆形图，再到较为抽象的线段图的模拟比画，实现了从形象到抽象的自然过渡。再一次的手势比画是让学生将文字信息抽象成图形，在脑里模拟作图，再外显在变化手势中，完成了对题意的理解及对数量关系的本质提炼。

【巩固练习】口答：（1）桌上有一篮桃子，猴大吃掉6个，猴二吃掉10个；（2）桌上有一篮桃子，猴爸爸先买回6个，猴妈妈又买回10个。学生在思考时，自发选用了手势比画的方法模拟变化走势，使较多的变化步骤在直观方式的辅助下得以呈现，并将对数量关系的直觉理解落实在动作上，让数感这种直觉思维有了外显的载体。

3.三步变化：（1）桌上有一篮桃子，猴爸爸先买回12个，被猴大吃掉20个，猴妈妈又买回15个。（2）桌上有一篮桃子，猴爸爸先买回12个，猴妈妈又买回15个，被猴大吃掉20个。逐步加大难度，设计大数据、多步骤的变化，让学生产生利用此前方法解决问题较为烦琐要另寻策略的需求，在形式的不断简洁中完成辨析和概括，逐步完成思维抽象，让加减法的数量关系再次外显在符号中，赋予了“+”“-”号更丰富的内涵。

4.拓展：一只蚂蚁先向东爬5分米，再向西爬4分米；又向东爬7分米，向西爬3分米，然后停下来。这时蚂蚁停在起点的东面还是西面？离起点几分米？变换变化顺序，让学生在此题中立即得到实惠。学生的自主应用显示出他们对“+”“-”的再认识和理解。这里的“+”不再是之前理解的各部分“合起来”，“-”也不是“去掉部分数后的剩余部分”，这对意义相反的运算符号在这里被赋予了“量的相对变化”这一新内涵。

5.變式：12路公交车原有59人，在新华书店下去了9人，又上来了4人；火车站下去5人，又上来了12人。现在公交车上有多少人？体验原有数据最初参与计算与最后参与计算的不同，感受过程性思考的价值。

6.延伸：二（1）班珠心算社团要求大家在规定时间内完成10道题，各人完成情况记录如下表：

以“+”“-”号为依托，在加减法数量关系的综合探究应用中，培养学生的数感，并向相关知识领域（负数、平均数）进行拓展。

三、延续链接

课程标准在关于学习内容的说明中指出，数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性进行解释。

在综合拓展中，进行“数感”数学素养的培养，需要教师深层次研读教材，了解数学知识的相关背景，掘出它的数学内涵，在课堂中随时捕捉学生的动态生成，找到知识切入点，沟通联系，向“本外”延伸，组建较丰富的素材资源，让其成为强化和培养学生数学素养的主阵地。

数感既然是对数的一种感悟，就不会像知识、技能的学习那样立竿见影，它需要教师在教学中帮助学生积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程，更需要教师在课堂上实施智慧调控。

（责编 黄春香）