比较之后，才能知道什么是真正的“比”

潘鑫

[摘 要]比例知识一直是学生学习的难点，不仅在于其形式的特殊，还在于其定义的模糊。“比”和“比值”之间的异同点非常微妙，而且关于“比”与“除法”，比值与“分数”等概念的交叉渗透，都给学生精准把控“比”与“比例”各概念的内涵造成障碍。

[关键词]比；比例；除法；分数

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0043-01

数学教学第一目标是传导正确的数学概念。因此教学之前，教师要对概念的意义了然于胸，能够客观认识概念的表述方式和立意角度。“比的意义”是“数与代数”单元的重点课程。笔者通过对照各版本的教材，对比的概念的教学有了一些心得体会。

一、对比新旧教材，比与除法大有不同

2011年版的数学课程标准中明确定义了数感，在其表述中，数感与数量关系有莫大关联。比较数量关系，惯用两种方法：一种是求差值；另一种是求倍率，其结果称为“比”。比的概念反映出数量间几何级的大小差距，因此比例教学有助于培养学生的数感。

旧课程标准指出，教学比例时要应用比例分配。而修改后的则没有提出这一要求。各版教材都是通过实例引出比的概念的，这反映了比是从生活中提炼出的数学知识。但是不同版本的教科书对比的定义表述不尽相同，大部分将比和除法等同起来。那比和除法有什么区别呢？

虽然比的前项和后项之间也存在着相除的关系，比与除法异曲同工，但能否据此就将比和除法画上等号呢？显然不行。因为除法算式重在运算，有着强烈的结果指向，而比只是展现一种大小倍率关系，不重结果。

从除法的意义来看，若用除法定义“比”，则会出现以下两点悖论：两个数相除，如果平均分，就不涉及两个同类量的比较，只是将一个量分散了，这扩大了概念的内涵；两个数相除，如果是求一个数含有多少个另一个数，比的前项刚好是后项的整倍数，那么两个数量的大小均未发生变化，因此缩小了比的定义。

那么，比的意义和本质究竟是什么呢？

二、考证其本质，与度量大有关联

《文子自然》一书中记载，老子曰：“朴至大者无形状，道至大者无度量。故天圆不中规，地方不中矩。”度量应用十分广泛，凡事需要预算的地方就要度量。比的来源就与度量有关。度量过程可分两类，一种是同类量之间的度量，另一种是非同类量之间的度量。如圆周率是长度和长度的比值，溶液的浓度是质量和质量的比值，故它们属于同类量比值度量；而速度是距离和时间的比值，密度是质量和体积的比值，因此属于非同类量比值度量。可见，比是通过比值来进行度量的。

有观点认为，比可用可度量的长度、面积、体积、质量等来间接定义不可度量的颜色、形状、质地等不可量化值。例如，甜度无法直接测量，但是通过计算糖和水的质量比就可以间接定义甜度。台湾数学教材中就认为“比是两个量的对等关系”。所谓“对等关系”其实就是，两个数量之间由于客观需要产生的一种混搭分配。根据求比的两个量的不同属性，可将比例划分为“分配”“包含”“互换”“密度”等四种比型。而为了方便比较和运算，将运算结果称为“比值”。

比值用商定义的缺陷。教学“比的意义”时，区分比和比值是难点。大部分教材都是用两项相除的商数来定义比值，比值一般用分數表示。如果用商来定义比值，则直接越过了两个数量之间的包含或等分关系，直抵对等关系。例如，120瓶白酒是12瓶的10倍，若将12瓶白酒勾兑为一缸酒，那么120瓶白酒可以勾兑多少缸？此处应指点学生，当12瓶变为1缸时，120瓶则变为10缸，这样既印证了对等关系，也巩固了学生对概念的理解。

某些教材里，将两数A和B的比化为[A：B=AB∶1]，在这种形势下，令后项=1，[AB]就彻底成为[A∶B]的比值。按照度量理论，后项化为1后，比的前项[AB]其实就是用B度量A的值。因此求比值本身就是一个度量的过程。故将比例后项处理为1时，[AB]就变成了比值，这种方式能很好地揭示比例的真义。

三、比值与分数，需细细分辨

分数具有多重意义，其中一个义项为两数的比值。人教版教材将“比的意义”置于分数除法单元中，分数与比的紧密联系可见一斑，但比值的重要性被掩盖和削弱了。

通过上面的研讨，发现比值需要用分数来记录，但是，二者又有着本质区别——比是一种数量关系，分数是一个数值，比值则成为沟通比和分数的桥梁。

综上所述，要想让学生正确无误地理解掌握比的概念，必须追溯历史，正本清源，从源头上澄清比的出现与发展过程，并且和相关知识进行认真辨析，从而为学生学习比建立一个稳固清晰的认知。

（责编 罗 艳）