生长教学从关注学生“相异构想”的转变开始

葛敏辉+马均丰+姜荣富

[摘 要]生长教学是突出学生主体意识和自我建构的课堂活动。要使学生在独立思考和互动对话中完成所学知识与已有经验的有效对接，需要从暴露已有经验开始，尤其要关注学生的“相异构想”，让学生在反思和重构中生长知识和智慧，从而形成自己的数学经验。

[关键词]生长教学；相异构想；面积

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0005-03

杜威认为：“教育就是不断生长。”教育要尊重儿童的自然天性，引导儿童独立自主地实现自我。因此，在数学教学中，教师应充分暴露学生已有的知识经验，尤其是“相异构想”——学生偏离概念本质的理解和想法，只有这样才有可能使学生在反思中转变自己的“相异构想”，有效完成所学知识与已有经验的对接，从而实现知识和智慧的生长！

笔者在“千课万人第二届全国小学数学‘学本课堂研讨会”上执教的“什么是面积”一课，就紧紧围绕了学生“相异构想”的转变来演绎生长教学，引导学生借助自身的经验进行数学建构。

【片段一】自主嘗试，激活经验——建立面积表象

师：今天我们一起来研究一个问题（板书：什么是面积），有没有人能够说一说？（部分学生举手）

师：下面请已经知道的同学告诉不知道的同学“什么是面积”，可以通过举例子来说明。

生1（边说边指桌面）：桌子的这块面就是它的面积。

生2（边说边指封面）：数学书周长包围着的里面的这个部分叫作面积。

师：你们说的意思差不多，都认为这些看得见、摸得着的桌面、封面，就叫面积。你们是怎么知道的？

生1：妈妈告诉我的。

生2：从大人那里听来的。

师：这两位同学说的到底对不对呢？到底什么是面积？我们先翻开书本自学。（学生自学课本相关内容）

生3（拿起一纸张，边比划边说）：这张纸的面积就是这部分的大小。

师：生3有两个字加了重音，谁听出来了？

生4：她的意思是面积是指面的大小。

师：这个说法和我们刚开始表达的一样吗？

生5：不一样。一开始我们以为桌面就是面积，封面也是面积，现在知道是桌面的大小才叫作它的面积。

师：你能再举例子来介绍面积吗？（学生举例）

【思考】此环节中开门见山地请学生说一说什么是面积，意在快速激活学生的原有经验，暴露学生头脑中的相异构想。要让学生经历知识“生长”的过程，就要让学生自己找到生长点，打破相异构想，建立起新的认识。教师不应该把学生当成一张白纸，有时学生产生“误解”恰恰是深入理解的开始。在教学中不难发现，学生通过尝试描述、自学课本、交流分享、对比反思等活动，经历了由“线”到“面”的过渡，修正了“面即是面积”的错误认识，初步建立了面积的空间表象。

【片段二】观察比较，感悟意义——理解面积本质

（1）体会面积与周长的区别。

师：请你带着对面积的理解，比一比下面图形的面积哪个大。

生1：①号图形的面积大。

生2：②号图形的面积大一点。

师：现在有两种不同的意见，你认为谁的对？请说说你的理由。

生3：①号大，因为②号少了一块。

师：为什么刚才有人说②号大呢？

生4：他们可能比的是周长。因为②号的周长长一点。

师：面积和周长一样吗？

生5：不一样，周长是指一周的长度。

生6：我们以前学过周长，周长是指图形四周边线的长度。

师：说得真好。那周长是研究什么的？

生6：线的长短。

师：周长是研究线的长短，那面积呢？

生7：面积是研究面的大小。

师：通过刚才的活动，你有什么想说的？

生8：周长大的图形，面积不一定大。

生9：面积是研究面的大小；周长是研究线的长短。

生10：面积不是周长。面积是看大小，周长是比长短。【思考】我们在前测中发现，约53.1%的学生会把面积当成周长。在一个平面图形里，“边”属于强刺激源，“面”属于弱刺激源，加上长度的学习在先，学生掌握的周长概念对认识面积具有较强的负迁移。本环节通过比较两个图形的面积，引导学生展开思考和辩论，意在帮助学生厘清周长和面积的本质区别，转变把周长当作面积的错误观念。

（2） 体会面积的度量属性。

师（出示课件）：比较①和②的面积大小。

生1：①号图形的面积大一些。

生2：一样大。

师：谁能说清楚道理？

生3：用砖块把它们铺满的话，都需要5块小方砖。（课件演示）

师：你们听懂他的意思了吗？

生4：用小方块来铺一铺这两个图形，铺满后数一数谁需要的块数多谁的面积就大。因为它们需要的小方块数量一样多，所以它们的面积一样大。

【思考】学生对面积的认识是一个渐进的过程，是一个不断完善与丰富的过程。面积学习的重点不应在定义上，而应在比较大小中。因为通过比较大小才能更好地帮助学生准确理解面积的本质属性——面积是有大小，可以进行度量的。在这个环节中，通过引导学生发现“可以通过用统一的砖块铺满两个形状不同的图形进行大小比较”，不仅转变了学生的相异构想，让学生明白形状不同的图形面积可以相等，学生在自我否定和自我创造中也体会到了比较面积大小的多种方法，积累了数学活动经验，为后续的学习与创造奠定了基础。

【片段三】应用提升，拓展理解——深化面积意义

师（出示课件）：你能比出这两个图形的面积大小吗？

生1：两个一样大。

生2：②号图形的面积大。

师：你同意谁的观点？请说说你的理由。

生3：我认为②号图形的面积大。（很多学生都点头认可）

师：你们都是支持②号的亲友团？请说出道理来，让大家心服口服才行。

生4：因为这里每4个点可以组成一个方格，②号图形有11个方格，①号图形只有9个方格，所以②号图形的面积大。

师：还有谁也是这样想的？

生5：将每4个点想象成一个正方形，数出正方形的个数就行了。②号图形面积有11个正方形那么大，①号图形的面积有9个正方形那么大。11比9大。

师：大家都同意吗？这个办法好不好？好在哪？

生6：把面积大小的比较转化为了数的大小的比较，我们比较容易理解。

师：通过刚才的活动，你对面积有了什么新的认识？

生7：我知道了什么是面积。面积就是表面的大小。

生8：面积可以用圖形铺满后再把它数出来。

生9：比较面积的大小可以通过铺图形转化为比较数的大小。

【思考】学习面积的难点是理解定量刻画“面的大小”，因为学生对面积概念的理解往往是物化的、表面的。基于此，教师呈现了点子图，引导学生想到用四个点围成的正方形来度量图形的面积大小，培养了学生的抽象性思维。学生在这个活动中不仅深刻体会到“一块区域的大小”就是它的面积，而且感悟到用统一标准的图形可以度量和比较面积的大小，更重要的是还经历了用“数”刻画“形”的学习过程，体会了面积的本质意义。

根据过程与结果的关系论，让学生经历知识“生长”的过程，能很好地保证学生最终的学习质量：对数学知识、技能、思想方法的深刻理解。因此，教师只有真正关注学生相异构想的转变，才能走进学生、读懂学生，促进学生的自我生长！

【评析】

一、立足学生，紧扣本质

小学数学教材一般把面积定义为“物体表面或平面图形的大小”。面积是平面图形的度量属性，由于物体表面可以抽象成几何图形，因此，数学其实更多的是研究平面图形的大小，而求物体表面的大小，可以视作求平面图形大小的具体应用。这样，我们就可以把面积概念统一为“多边形或平面封闭图形所围的平面部分的大小，叫作这个图形的面积。”

学生对面积概念的初步认识可能更多的来自于物体表面。因此，在学习“什么是面积”这一课之前，大多数学生认为面积就是物体的表面。事实上，面积的概念蕴含了积分的思想，重点是“积”而不是“面”。学生原有的理解中，往往忽视了面积概念的本质属性，即它的“大小”。葛老师的教学，以学生普遍存在的模糊认知作为教学起点，让学生经历了概念从模糊到清晰的学习过程。

从数学科学的角度来定义面积的概念是重要的，因为有了清晰的定义才能对它进行研究。但是从学生学习的角度，比定义概念更重要的是度量面积的方法。数学家设计了面积单位，并用这些面积单位把图形的大小用数量来刻画。葛老师通过引导学生用不同的方法比较图形的面积，让学生经历从直觉判断到数量刻画的过程，从而积累比较图形大小的基本活动经验，掌握的比较方法也从粗漏逐步走向精致。

二、由浅入深，循序渐进

从模糊到清晰。在上课之前，有的学生知道了长方形面积的计算方法，有的学生说桌面是它的面积，但他们对面积的认识是模糊的，甚至可以说是错误的。大多数学生认为，物体的表面就是它的面积，这样的认识忽视了面积的本质——它是有大小的。如果说学生的描述中还有其合理性的话，那么他们所说的其实是面积的物体属性，而不是面积的数学属性。葛老师的教学，充分尊重并暴露学生已有的认知，在学生解释了自己对面积的理解之后，他并不是马上否定或纠正，而是让学生阅读课本，并通过举例，进一步帮助学生认识面积的本质是大小。

在教学中，葛老师通过比较一个长方形和一个“凹”字形的大小，引导学生区分图形的周长与面积，并学习浅显的比较方法——直觉判断，又引导学生辨析并及时反思：“通过刚才的活动，你有什么想说的？”通过比较图形的周长与面积，学生的认知由模糊转为清晰，真正地建立起对面积概念的真实理解。其中，举出具体的例子与周长的概念进行比较，是推动学生深入理解的有效手段。

三、巧设活动，自主建构

从粗漏到精致。为了进一步理解意义，葛老师巧设了几个活动。先是让学生比较两块墙洞的大小，它们的形状完全不相同，但大小却是一样的，都是5块砖的大小。这时，砖块成了临时的度量单位，比较面积大小的方法库又得到了扩充——用相同形状与大小的实物（图形）来计数（度量）。

真正体现精致的是葛老师设计的第三个图—— 一个长方形，从相对的两个顶点以折线分成两部分，让学生比较这两部分面积的大小。学生很自觉地引用了图形中隐含的正方形（其实是格点图），借用这个度量单位，把图形面积的大小比较转化为数量的大小比较，再次“感受面积是可以通过标准图形来进行测量的”。这时，学生对面积的度量意义已经迈向了精致，与进一步学习面积单位只有一步之遥了。

为了度量一个图形的面积，首先要选定一个面积单位，通常选取边长为一个长度单位（如1厘米）的正方形作为面积的度量单位，这个正方形叫作单位正方形，它的面积叫作面积单位。但是，人们往往并不直接用单位正方形去度量图形含有多少个面积单位，而是采用间接的方法，先量出图形中某些线段的长度，再由这些线段的长度计算出图形的面积，这其实就是一种间接测量的方法。

最后，笔者认为，相对于面积的定义来说，教师更应当关注比较面积大小的方法。数学概念的定义是人为的，一个数学概念的定义要符合数学内部的逻辑，而这种逻辑往往十分隐秘，难以被小学生所理解。笔者建议，像面积这样的概念教学可以淡化一些，或许学习了长方形等其他平面几何图形的面积计算之后，学生对面积的认识可能会慢慢地清晰起来。换句话说，对于面积的教学来说，重要的是度量而不是定义。进一步的教学，建议要重视让学生经历面积单位再创造的思考过程，其中对两个问题的思考十分关键：一是为什么选择正方形，二是为什么所选的正方形边长是1。要让学生体会到“以边长为1的正方形作为面积单位”是人类长期探索的结果，是数学家智慧的结晶。

（责编 童 夏）