化曲为直 放飞思维

朱艳

“圆的周长”是人教版小学数学六年级上册的教学内容，教学难点是如何让学生在已经掌握长方形、正方形周长计算方法的基础上推导出圆的周长计算公式。课堂中，笔者从正方形与圆的关系入手进行教学。

教学片断一：

课件出示狗兔赛跑的情景（如图１）：小狗沿着正方形的路线跑，兔子沿着圆的路线跑，结果兔子赢了，小狗觉得不公平。

师：为什么小狗认为不公平呢？想一想，正方形和圆有什么关系？

生１：正方形的边长就是圆的直径。

生２：这个圆是正方形中最大的圆。

师：你能比划出圆的周长吗？圆的周长在哪里？

生３：就是圆一周的长度。

师：图１中，从圆周长和正方形周长的比，你发现了什么？

生４：正方形的周长可以直接测量，而圆的周长不能直接测量。

生５：正方形的周长是边长的４倍，但圆比正方形小，圆的周长不够正方形边长的４倍。

生６：因为圆的直径等于正方形的边长，所以圆的周长不够直径的４倍。

师（出示图２）：圆的周长大小和什么有关？

生７：圆的周长和直径有关。圆的直径越大，周长越大。

师：刚才大家猜测圆的直径不够周长的４倍，那会是几倍？

生８：２倍多。

生９：３倍多。

生１０：超过３倍，但小于４倍。

师（出示图３）：现在我们把圆的周长等分成四条圆弧，半径、圆弧、斜边的大小关系是怎么样的？圆弧大约是半径的几倍？

生１１：斜边大约是半径的一倍多。

生１２：圆弧是斜边的一倍多。

生１３：４个圆弧就是圆周长，是直径的3倍多。

……

反思：为了引发学生自主探究的热情，笔者创设情境，从正方形和圆的关系入手，让学生在比较和类比中思考，得出“圆的周长比直径的４倍少”的结论。这样的引领，使学生有了探究的方向，为下一步验证猜想、催生新知提供了生长点，并渗透了转化的数学思想。

教学片断二：

师：大家认为圆的周长可以怎么测量？

生１：用绳子绕圆一圈，然后测量绳子的长度即可。

生２：在直尺上滚动一周。

师：不错，这叫化曲为直法。现在大家拿出学具，测出圆的周长和直径，并将数据填写在表格中。

■

师：大家观察这个表格中的数据，你发现了什么？

生３：比值都接近３．１４。

生４：圆的周长总是它的直径的３倍多。

生５：任意一个圆的周长都是它的直径的３倍多。

师：你还有什么问题吗？

生６：为什么不是一个固定的数，而是都接近３．１４呢？

师：谁来回答这个问题？

生７：我知道，因为测量的时候存在误差。

师：古代有一个人就像大家一样，在猜测的基础上进行反复的测量计算，最后发现这个比值的结果始终在３．１４１５９２６和３．１４１５９２７之间，这就是祖冲之研究出来的圆周率π（板书公式：■＝圆周率）。你对圆周率有什么认识？

生８：圆周率是固定不变的一个数。

生９：圆周率是圆周长与直径的比值。

师：有了圆周率，你怎么计算周长？如果周长用Ｃ表示，直径用ｄ表示，怎么表示圆的周长计算公式？

生１０：就是Ｃ＝πｄ或者Ｃ＝２πｒ。

师：现在大家想想，小狗和兔子赛跑，为什么不公平？

生１１：小狗跑的是边长的４倍，兔子跑的是边长的３．１４倍，肯定小狗跑的路多了。

师：如果要你测量校门前香樟树的直径，你怎么算？

生１２：先用绳子测量香樟树一圈的周长，然后根据圆的周长计算公式算出直径。

……

反思：学生的数学学习，是以基本的认知经验为基础自主建构的过程。学生根据自己的生活经验和思考来实践操作，并逐步验证自己的猜测，这就是学生学习的自主建构过程。教师引导学生通过归纳、演绎、推理等数学化的思维过程，将新旧知识互相渗透，这样就形成了新的知识系统，发展了学生的思维。从上述教学中可以看出，学生化曲为直的转化思想在课尾又获得了发展。无疑，这是学生数学思维得到拓展的有力证明。

（责编杜华）

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“圆的周长”是人教版小学数学六年级上册的教学内容，教学难点是如何让学生在已经掌握长方形、正方形周长计算方法的基础上推导出圆的周长计算公式。课堂中，笔者从正方形与圆的关系入手进行教学。

教学片断一：

课件出示狗兔赛跑的情景（如图１）：小狗沿着正方形的路线跑，兔子沿着圆的路线跑，结果兔子赢了，小狗觉得不公平。

师：为什么小狗认为不公平呢？想一想，正方形和圆有什么关系？

生１：正方形的边长就是圆的直径。

生２：这个圆是正方形中最大的圆。

师：你能比划出圆的周长吗？圆的周长在哪里？

生３：就是圆一周的长度。

师：图１中，从圆周长和正方形周长的比，你发现了什么？

生４：正方形的周长可以直接测量，而圆的周长不能直接测量。

生５：正方形的周长是边长的４倍，但圆比正方形小，圆的周长不够正方形边长的４倍。

生６：因为圆的直径等于正方形的边长，所以圆的周长不够直径的４倍。

师（出示图２）：圆的周长大小和什么有关？

生７：圆的周长和直径有关。圆的直径越大，周长越大。

师：刚才大家猜测圆的直径不够周长的４倍，那会是几倍？

生８：２倍多。

生９：３倍多。

生１０：超过３倍，但小于４倍。

师（出示图３）：现在我们把圆的周长等分成四条圆弧，半径、圆弧、斜边的大小关系是怎么样的？圆弧大约是半径的几倍？

生１１：斜边大约是半径的一倍多。

生１２：圆弧是斜边的一倍多。

生１３：４个圆弧就是圆周长，是直径的3倍多。

……

反思：为了引发学生自主探究的热情，笔者创设情境，从正方形和圆的关系入手，让学生在比较和类比中思考，得出“圆的周长比直径的４倍少”的结论。这样的引领，使学生有了探究的方向，为下一步验证猜想、催生新知提供了生长点，并渗透了转化的数学思想。

教学片断二：

师：大家认为圆的周长可以怎么测量？

生１：用绳子绕圆一圈，然后测量绳子的长度即可。

生２：在直尺上滚动一周。

师：不错，这叫化曲为直法。现在大家拿出学具，测出圆的周长和直径，并将数据填写在表格中。

■

师：大家观察这个表格中的数据，你发现了什么？

生３：比值都接近３．１４。

生４：圆的周长总是它的直径的３倍多。

生５：任意一个圆的周长都是它的直径的３倍多。

师：你还有什么问题吗？

生６：为什么不是一个固定的数，而是都接近３．１４呢？

师：谁来回答这个问题？

生７：我知道，因为测量的时候存在误差。

师：古代有一个人就像大家一样，在猜测的基础上进行反复的测量计算，最后发现这个比值的结果始终在３．１４１５９２６和３．１４１５９２７之间，这就是祖冲之研究出来的圆周率π（板书公式：■＝圆周率）。你对圆周率有什么认识？

生８：圆周率是固定不变的一个数。

生９：圆周率是圆周长与直径的比值。

师：有了圆周率，你怎么计算周长？如果周长用Ｃ表示，直径用ｄ表示，怎么表示圆的周长计算公式？

生１０：就是Ｃ＝πｄ或者Ｃ＝２πｒ。

师：现在大家想想，小狗和兔子赛跑，为什么不公平？

生１１：小狗跑的是边长的４倍，兔子跑的是边长的３．１４倍，肯定小狗跑的路多了。

师：如果要你测量校门前香樟树的直径，你怎么算？

生１２：先用绳子测量香樟树一圈的周长，然后根据圆的周长计算公式算出直径。

……

反思：学生的数学学习，是以基本的认知经验为基础自主建构的过程。学生根据自己的生活经验和思考来实践操作，并逐步验证自己的猜测，这就是学生学习的自主建构过程。教师引导学生通过归纳、演绎、推理等数学化的思维过程，将新旧知识互相渗透，这样就形成了新的知识系统，发展了学生的思维。从上述教学中可以看出，学生化曲为直的转化思想在课尾又获得了发展。无疑，这是学生数学思维得到拓展的有力证明。

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“圆的周长”是人教版小学数学六年级上册的教学内容，教学难点是如何让学生在已经掌握长方形、正方形周长计算方法的基础上推导出圆的周长计算公式。课堂中，笔者从正方形与圆的关系入手进行教学。

教学片断一：

课件出示狗兔赛跑的情景（如图１）：小狗沿着正方形的路线跑，兔子沿着圆的路线跑，结果兔子赢了，小狗觉得不公平。

师：为什么小狗认为不公平呢？想一想，正方形和圆有什么关系？

生１：正方形的边长就是圆的直径。

生２：这个圆是正方形中最大的圆。

师：你能比划出圆的周长吗？圆的周长在哪里？

生３：就是圆一周的长度。

师：图１中，从圆周长和正方形周长的比，你发现了什么？

生４：正方形的周长可以直接测量，而圆的周长不能直接测量。

生５：正方形的周长是边长的４倍，但圆比正方形小，圆的周长不够正方形边长的４倍。

生６：因为圆的直径等于正方形的边长，所以圆的周长不够直径的４倍。

师（出示图２）：圆的周长大小和什么有关？

生７：圆的周长和直径有关。圆的直径越大，周长越大。

师：刚才大家猜测圆的直径不够周长的４倍，那会是几倍？

生８：２倍多。

生９：３倍多。

生１０：超过３倍，但小于４倍。

师（出示图３）：现在我们把圆的周长等分成四条圆弧，半径、圆弧、斜边的大小关系是怎么样的？圆弧大约是半径的几倍？

生１１：斜边大约是半径的一倍多。

生１２：圆弧是斜边的一倍多。

生１３：４个圆弧就是圆周长，是直径的3倍多。

……

反思：为了引发学生自主探究的热情，笔者创设情境，从正方形和圆的关系入手，让学生在比较和类比中思考，得出“圆的周长比直径的４倍少”的结论。这样的引领，使学生有了探究的方向，为下一步验证猜想、催生新知提供了生长点，并渗透了转化的数学思想。

教学片断二：

师：大家认为圆的周长可以怎么测量？

生１：用绳子绕圆一圈，然后测量绳子的长度即可。

生２：在直尺上滚动一周。

师：不错，这叫化曲为直法。现在大家拿出学具，测出圆的周长和直径，并将数据填写在表格中。

■

师：大家观察这个表格中的数据，你发现了什么？

生３：比值都接近３．１４。

生４：圆的周长总是它的直径的３倍多。

生５：任意一个圆的周长都是它的直径的３倍多。

师：你还有什么问题吗？

生６：为什么不是一个固定的数，而是都接近３．１４呢？

师：谁来回答这个问题？

生７：我知道，因为测量的时候存在误差。

师：古代有一个人就像大家一样，在猜测的基础上进行反复的测量计算，最后发现这个比值的结果始终在３．１４１５９２６和３．１４１５９２７之间，这就是祖冲之研究出来的圆周率π（板书公式：■＝圆周率）。你对圆周率有什么认识？

生８：圆周率是固定不变的一个数。

生９：圆周率是圆周长与直径的比值。

师：有了圆周率，你怎么计算周长？如果周长用Ｃ表示，直径用ｄ表示，怎么表示圆的周长计算公式？

生１０：就是Ｃ＝πｄ或者Ｃ＝２πｒ。

师：现在大家想想，小狗和兔子赛跑，为什么不公平？

生１１：小狗跑的是边长的４倍，兔子跑的是边长的３．１４倍，肯定小狗跑的路多了。

师：如果要你测量校门前香樟树的直径，你怎么算？

生１２：先用绳子测量香樟树一圈的周长，然后根据圆的周长计算公式算出直径。

……

反思：学生的数学学习，是以基本的认知经验为基础自主建构的过程。学生根据自己的生活经验和思考来实践操作，并逐步验证自己的猜测，这就是学生学习的自主建构过程。教师引导学生通过归纳、演绎、推理等数学化的思维过程，将新旧知识互相渗透，这样就形成了新的知识系统，发展了学生的思维。从上述教学中可以看出，学生化曲为直的转化思想在课尾又获得了发展。无疑，这是学生数学思维得到拓展的有力证明。

（责编杜华）

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