在解决实际问题的过程中培养学生的建模能力

章 颖

数学建模是数学学习的一种新的学习方式。所谓数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的应用过程。数学建模教学是指通过在课堂中面对有生活背景的实际问题，为学生提供自主学习的空间，让学生交流数学、应用数学、感悟数学、创造数学，在体验综合运用知识与方法解决实际问题的过程中领悟数学思想方法，体现数学在解决实际问题中的价值和作用。本文主要针对如何在解决数学实际问题的教学中。帮助学生建立数学模型，领会数学建模的思想，培养学生初步的建模能力，进行一些基础性的探讨。

一、创设问题情境，渗透建模意识

成功的“数学建模”离不开对现实生活中发生的现象进行细致的观察，运用数学的方法对材料进行加工分析，大胆地猜想和不断地提出问题。以具体形象思维为主的小学生比较难以构建抽象的数学概念与数学方法，只有将数学与现实背景紧密地联系在一起，才能促使学生充分地参与数学活动，帮助学生获得富有生命力的数学理解。

1.利用感性材料突出问题背景

丰富的感性材料是“数学建模”的基本背景，也是创设问题情境、揭示问题本质的前提。如果学生通过对感性材料的阅读、思考、理解，自觉产生强烈应用数学的意识。就会深化对“数学建模”中数学问题的基本背景的再认识，从而激活并展开思维活动。新教材从学生已有的生活经验出发，安排了“游戏”、“运动会”、“植树”、“可爱的校园”、“购物”、“旅游”等现实的、有意义的、富有挑战性的数学感性材料。这些来自于现实生活的感性材料用学生熟悉的语言和思维方式呈现，突出了问题情境，有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，并适时地上升到抽象理论，得出数学概念和规律，然后再把它用之于更广泛的具体内容中去，既使学生得到把实际问题抽象成数学问题的训练，又能使学生领悟到数学的基本思想方法。例如，在教学长方形周长的计算时，教材首先以学生熟悉喜爱的篮球场为题材，指名说说知道了哪些信息，再创设“小明绕篮球场走一圈走了多少米”这一问题情境让各小组讨论研究。学生的情绪十分高涨，纷纷出谋划策。在学生的探讨汇报过程中，教师从数学应用的角度趁势提出研究问题：“你认为计算长方形的周长需要知道什么条件?怎样计算?”学生轻松地理解了长方形的长和宽与周长之间的关系以及几种不同的计算方法，初步建构了长方形周长计算的数学模型。

2.从现实原型中抽象数学问题

培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题。在许多数学实际问题中，由于“事理”往往包含在“事件”中，隐而未露，而小学生的生活经验和对事物间相互联系的认识又比较缺乏，造成学生对某些实际问题中所包含的事件、事理不理解。因此，教学时必须先通过演示、实验等手段，逐步舍弃复杂的生活情节。将实际问题运用数学思想(转化、对应等)抽象、概括为数学问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时渗透了建立数学模型并将数学模型纳入某知识系统去处理的意识。例如：“六年级同学为准备国庆晚会做了三种颜色的绸花，黄花有50朵，红花比黄花多1/10，绿花比黄花少2/5。红花比黄花多多少朵?绿花比黄花少多少朵?”这是求一个数的几分之几是多少的问题的变式，虽然一步计算就能解决问题。但其数量之间的隐含关系比较复杂，学生不易理解。解决这个问题的关键可以在教学中利用表格和条形图相结合的办法呈现出现实原型，把问题中隐含的数量关系显示出来，并通过设问“红花比黄花多多少朵，就是求什么?绿花比黄花少多少朵，也就是求什么”抽象出求一个数的几分之几是多少的数学问题，同时凸显出与要解决的问题密切相关的数量关系“红花比黄花多的朵数=黄花的朵数1/10”，从而简化了解题思路，找到解决问题的方法。这样既提高学生解决实际问题的能力，又渗透了建模意识。

二、自主探索分析，构建数学模型

数学学习是一个再创造、再发现的过程，自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。教学中，教师要为学生提供充分的时间和空间，通过自主探索和合作交流，经历“观察—分析与处理——抽象——检验与修改”的过程，从结构化的现实情境中导出数学模型，在解决实际数学问题中完成对数学模型的解释与应用。

1.全方位、多角度的分析与简化

建立数学模型的目的是运用数学的系统理论导出问题的结果，或对已有的结果提供强而有力的支撑。在运用数学建模思想解决实际问题的过程中，首先要引导学生全方位、多角度地分析题意，将原始问题中的本质特征保留下来，同时尽可能地将题意进行简化。这种简化应基于科学与合理，要根据原来的实际情况仔细考虑，以避免有关的数学定理不能提供实际情形的有效预测，以便得到的数学体系是易处理的，同时，教师在引导学生开展数学建模活动中，要注意通过揭示数学知识的抽象过程，让学生体验到数学的本质及其发展过程，从而掌握“简化”的经验和技巧。

2.合理的、渐进的推理与归纳

教学让学生仅悟到把问题简单化是远远不够的，需要从简化的问题出发，探寻出解决问题有效的规律，再用发现的规律帮助解决复杂问题。这发现规律的过程，实质上是学生的推理过程。从个别的、简单的例子出发。逐步过渡到复杂的、更一般的情境中，是数学常用的推理方法，渗透了归纳的思想方法，使学生自主完成了对“复杂问题——简单问题——发现规律——解决问题”的解题策略的构建。例如，在解决事物搭配的实际问题活动中，由于要探索的规律比较抽象，教师首先设计了“营养早餐”这一生活中常见的搭配问题，让学生通过摆一摆、画一画、连一连等操作活动，从实物、图形逐步过渡到符号，接着思考：(1)怎样选择才能做到既不重复又不遗漏?(2)饮料的种数和点心的种数，与多少种搭配有什么关系?学生通过交流，不断完善自己的想法，并把获得的具体、感性的认识逐步上升为数学思考，初步感受有关的简单数学模型。然后让学生存生活中寻找类似的例子，进一步运用规律打开思路。最后通过几组数的排列组合，将研究的结果绘制成表。对原有的解题策略进行了一次全新的扩充，构建了搭配规律的模型。在探索过程中，学生掌握从局部观察找规律到推及整体事物和从实物、图形到推及符号、数学模型的方法，不仅发展了学生的策略性知识，同时学生的思维经历了“一波三折”的过程，加深了对解题方法的理解。

3.生活化、实践化的检验与修改

成功的“数学建模”既要重视对数学模型的构建过程，又要重视数学模型的应用过程，让数学模型回到生活实践中去接受检验。在这一过程中，不断地发现和提出新问题，并将各种情况进行比较，以此来验证模型的准确性。同时运用数学的方法对已建立的模型进行不

断拓宽和发展，不断地修正和完善原先的结论。例如，在解决铺地砖的实际问题时，学生通过自主探索，经历了数与形的转化，获得解决问题的基本模型——房间面积÷每块地砖的面积=地砖的块数。在拓展练习时，有这样一道题：王阿姨用一块长3.2米、宽1.5米的长方形白布制作餐巾，最多可以裁成边长是2分米的正方形餐巾多少块?学生们在进行长度和面积的转换后，根据大面积÷小面积=餐巾的块数，很快列出了算式(32×15)÷(2.2)=120(块)。这时我在旁边提出了质疑：“想一想，结果正确吗?”引导学生联系生活实际进行分析与讨论。有学生提出长为3，2米可以裁出16个2分米(32÷2=16)；宽为1，5米，只能剪出7个2分米(15÷2=7……1)，总共只能裁出16×7=112(块)，还有32×1平方分米的长方形布条剩余，而生活中餐巾是不可以进行拼接的，这块剩余的长方形实际上是无法裁成正方形餐巾的。此时我又提出：“如果是一块长为3.2米、宽为1.6米的长方形白布，用这种思路解答可以吗?”学生们通过验证，认为在长和宽都刚好够剪的情况下用‘大面积÷小面积是适用的。

三、呈现变换思想，深化数学模型

在教学中，当学生通过自主实践初步建立了简单的数学模型后，教师可以根据现实生活，灵活变换背景、条件，使实际问题得到进一步复杂化，形成不同类型而又相互链接的题组结构，从而推进数学模型的深化，激发学生的探求欲望，提高学生的解题能力和创新能力，培养发散、变式与求异的思维习惯，促使学生学会触类旁通。

间隔现象在生活中普遍存在。植树问题在现实中也有着广泛的应用价值。在教学中，利用生活中的植树问题(两端都栽的)为载体，首先引导学生进一步体会间隔现象的普遍规律，直观认识并总结出间隔和点数的关系，发现栽树的棵数要比段数(间隔数)多1，从而建立起数学模型：总长÷间距+1=棵数(两端都栽)。在此基础上安排学生自主完成已知总长与间距求棵数、已知棵数和间距求总长的练习，让学生从正、反两个方面出发，直接应用模型解决简单的实际问题，训练学生双向可逆思维的能力。接着提问：“如果你是园林工人，你还可以怎么种?”让学生自主探索出在一条路上植树时，有3种不同的情况：“两端都种”、“两端都不种”、“只种一端”。这样，使让学生体会与间隔现象有关的实际问题是多样的，通过问题和条件等变换手段，形成系列植树题串，呈现题型的可能变化，让学生进一步深化该数学模型。同时把学生熟悉的学习生活情境，如挂彩灯、锯木头、爬楼梯、排队做操等与植树问题相似的现象呈现出来，让学生进一步体会现实生活中含有许多与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决。这样把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点，既加强了该模型的拓展应用，让学生感悟到数学建模的重要意义，同时又使该数学模型得到进一步深化。

数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。在解决数学实际问题的过程中，只有让学生逐步领悟建模思想，真正发挥自主探索的能力和敢于创新的精神，建模能力就能得到有效的培养。