薛定谔方程与一维势阱问题

王烽

【关键词】薛定谔方程  定态薛定谔方程  一维势阱

【中图分类号】G633.7  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）27-0160-02

1.薛定谔方程的背景

下面是一个典型的教科书问题：你的车已经用完了汽油，你要用多大的力才能把它加速到给定的速度？答案来自牛顿第二运动定律：其中是加速度，是力，是质量，这个完美、直截了当。但牛顿第二运动定律可以描述各种运动，因此至少在理论上可以回答一个物理学家可能要问的关于世界的几乎所有问题。事实真的是这样的吗？当人们第一次开始考虑最小尺度的世界時，例如电子绕原子核旋转，慢慢意识到事情变得非常奇怪，事实上，牛顿定律不再适用。为了描述这个微小的世界，你需要用到迟至二十世纪初才开始发展的量子力学理论。这个理论的核心方程类似于经典力学中的牛顿第二定律，它被称为薛定谔方程。

薛定谔方程是以薛定谔（1887-1961）的名字命名。“在经典力学中，我们使用位置和动量来描述一个物理系统的状态，”例如，假设桌面上有一些运动着的台球，如果你知道了每个球在某个时刻的位置和动量，那么你就知道了该系统在该时刻的一切：这里的一切是指运动的状态和运动的速度。我们会问：“如果我们知道一个系统的初始条件，即我们知道系统在该时间的状态，那么该系统的动态如何演变？”牛顿第二定律可以帮助我们回答此类问题。但是到了微观世界里，经典力学就不再适用，因此量子力学应运而生。

在量子力学建立之初有一个有趣的故事——薛定谔的猫。薛定谔的猫是关于量子理论的一个理想实验。内容是：一只猫被封在一个密室里，密室里有食物，有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放出阿尔法粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，猫必死无疑。原子核的衰变是随机事件，物理学家所能精确知道的只是半衰期——衰变一半所需要的时间。如果一种放射性元素的半衰期是一天，则过一天，该元素就少了一半，再过一天，就少了剩下的一半。物理学家却无法知道，它在什么时候衰变，上午，还是下午。当然，物理学家知道它在上午或下午衰变的几率——也就是猫在上午或者下午死亡的几率。如果我们不揭开密室的盖子，根据我们在日常生活中的经验，可以认定，猫或者死，或者活。这是它的两种本征态。如果我们用薛定谔方程来描述薛定谔猫，则只能说，它处于一种活与不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道猫是死是活。此时，猫构成的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，我们永远也不知道猫是死是活，它将永远处于半死不活的叠加态，可这使微观不确定原理变成了宏观不确定原理，客观规律不以人的意志为转移，猫既活又死违背了逻辑思维。

量子理论是20世纪科学的重大进展之一，由于量子力学对传统观念所带来的巨大冲击，连“量子”的提出者在内的科学家都想尽各种办法拒绝它，或做出各种调和性的解释。事实上，薛定谔就被量子力学的结果弄得心神不安，他不喜欢波粒二象性的二元解释以及波的统计解释，试图建立一个只用波来解释的理论。

埃尔温·薛定谔在20世纪20年代中期创立了现在被称为量子力学分支中的一个方程。后来被称为薛定谔方程。

参考文献：

[1]卢德馨.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.