数列极限中部分性质和定理的推广与拓展

杨一琦

【摘要】极限是当代数学理论中的一个基本概念，也是现代数学的基石之一，而其中数列极限又是极限理论的基础。数列极限具有诸多的性质，从整体上把握和厘清这些性质对理解数列极限的含义有着至关重要的作用。本文从数列极限几个常见的性质和定理出发，研究了这些性质和定理的条件，并对这些性质和定理的推广和拓展进行了讨论。

【关键词】极限 数列 收敛准则

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）07-0135-02

1.引言

极限的思想从古就有，比如中国古代大数学家刘徽就这样描述他的割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣[1]。如今，经历了上百年的发展，极限的概念和思想业已成为现代数学大厦的基石，理解好极限的概念对学习微积分、概率论等课程至关重要。无论是要在数学领域进行相关研究，还是只需使用数学工具解决各类问题，极限的概念都是首先需要掌握的。本文从数列极限的性质和收敛判别准则出发，研究了这些性质和定理的条件，并在此基础上给出了其中部分性质和定理的推广。

2.数列极限及其基本性质

2.1数列极限的定义

我们首先给出数列极限的定义。

定理5把闭区间套换成了满足端点严格单调性的任意一簇区间。这簇区间可以包含任意种类的区间，且不要求它们都是同一类区间。这从一定程度上减弱了定理2的条件要求，是定理2的推广。

3.3数列及其子列的收斂性

定理8有如下的一个推论：

推论2 一个数列收敛到常数A当且仅当其奇数项和偶数项构成的子列均收敛到常数A。

定理8和推论2在证明数列收敛时很有用。例如根据推论2，我们只需证明一个数列的奇数项和偶数项都收敛，且收敛到同一个极限，就可以证明原数列的收敛性。这比使用一个数列收敛当且仅当其任意子列收敛这一结论证明收敛性要方便得多。

4.结语

本文总结了数列极限的一些常用性质和定理，并在此基础上给出了部分性质和定理的推广与扩展。推广的结论不仅对理解极限的定义至关重要，也进一步丰富了极限的相关理论，具有一定的理论和应用价值。

参考文献：

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[2]唐海波.数列极限与函数极限的统一[J].河池学院学报，2017（5）：70-75.