深入教材，挖掘教材，让问题解决“有法可依”

岑凤鸾

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）42-0125-03

阅读文章[1]《“函数与方程”教学设计的研究》后，深有感触。作者对这节课的教材分析和课堂实施做了深入细致的研究，使得阅读者学有所得，读有所获，收获颇丰。作为新课标在函数中增设的内容，必有很多为师者进行了精心研读、研讨，作为一线教师，笔者也在此对课题的引入、下零点定义时产生的数学思想方法、零点存在性定理作一点思考（附：笔者所在学校用的教材是人教A版），不当之处，敬请同仁们批评指正。

1.课标要求

1.1 模块要求

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。学生将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。因此，我们的教学目标是让学生能利用函数的思想来解决方程的解的问题，即将方程纳入函数系统。

1.2 教学要求

（1）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。（2）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。（第二课时）

2.课题的引入

2.1 教材对比

人教A版：通过学生熟悉的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）引出函数的零点和连续函数零点存在性定理。

人教B版：通过学生熟悉的二次函数y=x2-x-6的图像，分析y=0，y>0，y<0时，自变量x的取值，经对比给出了零点的概念，强调了零点两端的函数值，零点存在性定理不突出。

苏教版：

问题：（1）利用函数图像能求出方程0.84x=0.5的近似解嗎？（2）利用什么方法可求出方程lgx=3-x的近似解？

说明一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为0时自变量x的值，直接引出了零点的定义。零点存在性定理不明显。

北师大版：

实例分析方程x2-x-6=0的解的存在，利用图像说明二次函数与相应的一元二次方程的根的关系，抽象概括出了零点的定义，北师大版利用较大的篇幅强调了数形结合，突出了数形结合的数学思想，指明了确定方程的解可以通过函数的零点来解决，与课标要求相呼应。零点存在性定理不明显。

2.2 课题引入的思考

我们可以看到，不管是哪种教材版本，都是以二次函数的图像和相应的一元二次方程的根之间的关系来抽象概括出零点的定义以及零点存在性定理，可见“三个二次”在中学数学中的地位非同一般。

引入设想：

请同学们以最快的速度解下列方程：

（1）x2-2x-3=0 （2）x2-2x+1=0

（3）x2-2x+3=0 （4）lnx+2x-6=0

在学生整齐的回答中突然一下寂静了下来，同学们发现第（4）题根本无法用公式或自己熟悉的方法来求解。这达到了我们预期的目标，可以切入主题！我们得回到自己熟悉的题目去寻找解答方法。

通过设置题组，从学生熟悉的问题到陌生的问题，从熟悉的环境到陌生的环境，据皮亚杰理论，已有的图式不能应对眼前的问题，这就产生了一种不平衡状态，即已有的经验和现在遇到的问题之间产生了不平衡，学生自然地试图通过某些方式来减少这种不平衡，比如关注引起不平衡的刺激、建立新的图式，或者调整旧的图式等，直至达到一种新的平衡。按照皮亚杰的观点为，学习要依赖于这个过程。只有出现不平衡时，孩子才有机会成长和发展。同伴间的相互作用，尤其是争论和讨论，有助于理清思维，使其更加合乎逻辑。让学生置身于一种与他们已有的世界观相矛盾的活动事件或资料中，这是提升其认知发展的有效方式。

3.求函数零点的方法归纳

在人教A版中，以黑体字强调了

方程f（x）=0有实数根

？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点

？圳函数y=f（x）有零点。

实际上我们还可以优化为：

方程f（x）=0的实数解就是函数y=f（x）的零点，也就是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标。

教材给了我们求函数零点的方法有两种：

（1）解其相应的方程f（x）=0;（2）图像法：作出函数y=f（x）的图像，寻找图像与x轴的交点。[这个方法在学生学完导函数后判断比较复杂的函数的零点个数时会用得上，如（2017年2月广东省江门一模）设函数f（x）=ex-ax，a是常数。（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数。]

拓展：只是讨论零点（方程的解）个数时，图像法的地位显得更加突出：函数y=f（x）的图像与x轴交点即为函数y=f（x）的图像与直线y=0的交点。

如：判断方程lnx+2x-6=0的解的个数。

分析：紧扣两种方法，方程移项得lnx=-2x+6，所以方程的解的个数即为两个函数y=lnx与y=-2x+6的交点个数。

波利亚指出：教师不仅要教给学生知识，并且要教给他们“技能”、思维方法和有条不紊的工作习惯。对教材的思想方法，我们作为老师应该能够挖掘到，而不是空降给学生，要让他们感觉得到数学也是“有法可依，有法必依，执法必严，违法必究”的。

4.零点存在性定理

零点存在性定理既是本节的重点，也是难点。重在于判断函数的零点所在的区间要用它，寻找方程的近似解要用它;难在于如何从图像特征、性质转化为数学式子来量化。

4.1 定理的获得

教材通过二次函数的图像分析零点的两端点值，由特殊归纳出一般的结论，集体备课时很多老师都认为这个过渡比较平淡，学生没觉得有什么新的东西，因为二次函数的零点通过解方程就可以解决，得出的定理也没有给学生的心里激起什么大的波澜，还感觉太草率了。其实教材里面还有一句话：同学们可以任意画几个函数图像，观察图像，看看是否能得出同样的结果。课标没有要求严格证明定理，那我们应该多些图形来让学生直观感知。可用几何画板或其他信息技术将我们课题引入时用的函数y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3，y=lnx+2x-6再加上同学们学过的函数如一次函数y=-2x+6，反比例函数y=，对数函数y=log2x，指数函数y=2x一字排开作出其图像，对比分析，可以很清楚地得到定理：

一般地，我们有：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也不是方程f（x）=0的根。

4.2 定理的辨析

定理认知：

条件：（1）函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线;（2）f（a）·f（b）<0。

结论：函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。

很明显，在“函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线”大前提下，“f（a）·f（b）<0”是“函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点”的充分不必要条件。

笔者课堂上在这一环节学生讨论得非常热烈，因为在上述八个函数的图像中，我要求他们除了函数y=lnx+2x-6的图像外，其他全部亲手在草稿纸上作图，再把老师用几何画板作的函数y=lnx+2x-6图像“依葫芦画瓢”画了上去（图略）。

现归纳学生提出的问题：

问题1.连续问题：

对比以上图像，教材第92页习题3.1A组有个函数图像（如右图）也不连续，易知f（3）·f（4）<0，但它有零点x0∈（3，4）。

解析：注意定理条件，函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，此图像中，函数f（x）图像在[3，4]，甚至[1，6]内连续。

问题2.定理中的条件是f（a）·f（b）<0时函数有零点，但在函数y=x2-2x+1图像中，f（0）·f（2）>0，函数也有零点1∈（0，2）。

解析：函数y=x2-2x+3图像中有f（a）·f（b）>0，但函数没有零点，只能说f（a）·f（b）<0条件下保证函数有零点，而f（a）·f（b）>0不能保证，我们要摒弃它。

问题3.有讨论了f（a）·f（b）的值为正、负的情况，那 f（a）·f（b）=0呢？

解析：f（a）·f（b）=0时，x=a或x=b是函数的零点。

问题4.由图可知逆定理不成立（学生未学到充分必要条件）

问题5.结论中：函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。究竟有几个零点？

解析：观察图像可知，当函数在区间[a，b]是单调函数时，函数的零点唯一，否则不唯一。

问题6.条件中给的是闭区间[a，b]，而结论中出现的是開区间（a，b），为什么？

解析：由于条件f（a）·f（b）<0，零点不可能在端点处产生，所以零点c∈（a，b）。

定理是经过数学证明确认其真实性的数学命题，是解决数学问题的基本依据。对教材中的每一个定理，我们都应该引导学生认真剖析其结构（条件、结论）、弄清楚条件与结论及其内在联系。经过课堂上的一轮激烈的讨论、切磋，使得学生对这个定理把握到位，理解得足够透彻，打磨清晰，运用了数形结合思想、转化思想，经历了观察、分析、归纳、概括、特殊到一般的过程，学习能力得到一定的提高。

4.3定理的应用

数学定理的学习是为了应用，零点存在性定理的应用主要是第二课时，用二分法求函数零点的近似值。本次内容可设置如下问题：

例题：（教材第88页例1改编）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数，并指出零点所在的大致区间。

练习：教材第88页练习题。

5.最后寄语

紧扣教材，紧扣课标，我们的教与学、高考备考就有了准确的方向！

参考文献：

[1]林伟民.“函数与方程”教学设计的研究[J].中学数学教学参考（上旬），2016（4）：26-28.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：15