离散数学中蕴涵词教学改革研究

【摘要】离散数学是信息类专业的专业必修基础课程，对提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力有重要作用。数理逻辑是离散数学课程的重要分支，本文针对数理逻辑中的蕴涵联结词的定义及相关命题的符号化进行教学改革研究。结合蕴涵词的教学目标，本文给出切实的教学设计，其以守信美德为引入点，重点讲授蕴涵联结词的定义和条件语句的符号化。蕴涵词的重难点是掌握蕴涵式的真值只有当前件为真且后件为假时才为假、区分充分条件和必要条件，通过学生讨论守信问题和思政例题突破重难点，使学生深刻掌握该知识。

【关键词】离散数学  教学改革  思政融合  蕴涵词

【基金项目】国家自然科学基金（No. 61901218），江苏省自然科学基金China（No. BK20190407）。

【中图分类号】O158-4   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）22-0021-02

一、绪论

离散数学是信息类专业的专业必修基础课程，含有数理逻辑、集合论、代数结构和图论四个分支，其在计算机科学理论，计算机系统结构，计算机软件和计算机应用中具有广泛地应用，是它们的数学理论基础，对提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力有重要作用。

数理逻辑与集合论是同构关系，而代数结构和图论都是在集合论的基础上构建出来的，所以学好数理逻辑是掌握离散数学的根本。命题联结词，尤其是蕴涵联结词，是数理逻辑的入门课程，是开启数理逻辑学习历程的钥匙，也是集合论中定义所用的描述语言。学好蕴涵联结词，不仅可以打好推理理论的学习基础，也是学习集合论中关系的性质等重点知识的必备工具。但是学生一般难以理解蕴涵词前件为假的真值，由此无法有效地进行后续课程的学习。因此，如何令学生熟练掌握蕴涵词的真值表和蕴涵词的符号化变得至关重要。

根据***总书记的讲话精神，高校教育要专业能力培养和思想政治工作两手抓，培养有正确思想观念、价值取向和人生态度的优秀专业人才。当今社会金钱主义、消费主义等不良思潮盛行，高校教育更应全方面多维度地开展思政融合改革，以避免学生遭受消极思想影响。离散数学作为大学的先导课程，是培养人工智能、计算机、通讯等未来工程人才的必备课程，是进行思政融合的最佳阵地，是落實立德树人的根本任务的重要抓手。因此，进行离散数学和思政教育的融合研究刻不容缓，势在必行。本文在蕴涵词的教学过程中加入了爱党诚信的思政元素，通过爱党和诚信让学生更深刻地理解蕴涵词，并深受启发。该教学改革可推动离散数学课程和思政教育的融合的研究工作。

二、蕴涵词的教学设计

在蕴涵词的课程任务中，教学的重难点是如何让学生理解并掌握前件为假时蕴涵词的真值，并对生活化的蕴涵语句进行正确地符号化。教学前要做好学情分析，离散数学一般开设在大学伊始，而且数理逻辑部分一般在离散数学的前端，蕴涵词是学好数理逻辑的必备条件。因此，学生在高中数学的基础上开始学习数理逻辑，难免出现不理解不消化的情况，应注意引导学生克服重难点，彻底掌握蕴涵词的重点内容。

本教学设计从学生的学情出发，融合爱党诚信等思政元素，以期突破教学难点，使学生能很好地掌握本节内容。具体的教学设计如下：

（一）复习命题的相关概念

命题既是上节课内容，又是蕴涵词的学习载体，因此，掌握命题的相关概念是学习蕴涵词的必备条件。为了让学生更好地投入到本节课的学习中，应复习命题的相关概念。首先，复习命题的定义：非真即假的陈述句。该陈述句的判断结果称为命题的真值，真值为真或假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。其次，复习命题的表示方法：用小写英文字母p， q， r， s， …，表示命题。最后，强调命题的相关概念是学习蕴涵词所必须的基础知识，通过复习让学生回顾和巩固相关知识，打牢基础。

（二）以“他是一个守信的人么”引发学生讨论

学生学习蕴涵词的重难点在于如何理解前件为假时整个蕴涵式的真值却为真。为了让学生更轻松地掌握该知识点，以学生的生活举例：“××说：如果我的离散数学考年级第一，那么我请所有同学吃冰淇淋”，那如果他没有考年级第一，而且不请所有同学吃冰淇淋，是否表示他仍然是个守信的人呢？以此为主题，引发学生讨论。结合学生讨论的结果，引出结论。按照常理来讲，我们认为××仍然是诚信的人，因为他所要求的条件并未达到。我们以是否诚信作为蕴涵式真值的取值，从而引出蕴涵词的定义和真值表。

（三）蕴涵联结词的相关定义

结合自然语言常见的“如果……那么……”语句，给出蕴涵联结词的定义：设p， q为两个命题，复合命题“如果p， 则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件， →称作蕴涵联结词，读作p蕴含q.规定：p→q为假当且仅当p为真q为假，即蕴涵式的真值情况见下表。

可以发现，该真值表与讨论是否诚信的结论完全一致。在这里，要注意强调p→q 的逻辑关系： q为 p 的必要条件。但是要令学生明白p和q可以是毫无关联的两个命题，这点不同于自然语言。在自然语言中，前件和后件需要满足一定的逻辑关系，但是数理逻辑中，研究更关注的符号和真值情况，而非两者之间的逻辑关系，p和q只要是命题即可。

此外，可简要介绍古代和中世纪蕴涵思想的研究发展历程，并推荐扩展阅读书籍以激发学生的研究兴趣，并培养学生的科研精神。

（四）命题符号化

符号化是指将自然语言符号写为形式语言，方便进行演算和证明，是将自然语言处理成数理逻辑中的语言的有力工具。给出蕴涵式符号化的步骤：找到必要条件，写成蕴涵式的后件;找到充分条件，写成蕴涵式的前件。

此处的教学难点是在有些自然语言中很难区分充分条件和必要条件。具体地讲，如果p发生，那么q必然发生，p是q的充分条件，符号化为p→q;如果p不发生，那么q必然不发生，p是q的必要条件，符号化为q→p。常见的难点是“只要p就q”写成p→q，但是“只有p才q”写成q→p。为了令学生深刻理解两类语句之间的区别，本课给出例句“只有社会主义才能救中国”，“只要中国共产党振臂一呼，人民群众就会跟随响应”，结合共产党建党历史和淮海战役，学生能切实地理解两者之间的区别，并引导学生的爱国爱党思潮。

（五）符号化学生討论的主题和相关例题，给出结论

针对讨论的主题：“××说：如果我的离散数学考年级第一，那么我请所有同学吃冰淇淋”，令p：我的离散数学考年级第一，q： 我请所有同学吃冰淇淋，那么这句话可以符号化p→q。那他没有考年级第一，而且不请所有同学吃冰淇淋意味着p，q同时为假，根据蕴涵式的定义，p→q为真命题，那么在数理逻辑中，认为该句仍是真命题，那么也可以认为他是守信的。

此外，结合复杂的复合命题的例句，通过提问、雨课堂等多样方式考查学生是否掌握。若学生仍不理解，要重申蕴涵词的学习重难点，询问学生的盲点，并在课堂上立即解决疑问，积极推进授课任务的完成。

（六）课堂小结，布置作业

在课程的最后，总结本节内容，尤其强调本课的重难点。通过反复讲授蕴涵词的真值表和符号化方法，以春风化雨般滋养渗透学生，从而让学生更深入全面地掌握本节课的内容。另外，给出作业文档和扩展阅读资料。作业应针对教学重难点设计丰富的内容，并根据学生掌握的程度给出难度分布合理的作业。针对积极钻研的同学，可让其阅读蕴涵词的中内外发展过程，切实体会定义定理从无到有，从有到优的研究过程，从而内化称自己的研究路径，初步掌握科研的基本步骤，为国家输送更高品质的科研人才。

（七）引出等价联结词

通过留疑问：“如果两个条件互为充分必要条件，那应该怎么表示呢”，让学生思考这种情况如何通过蕴涵词表示，从而在下节课时可以顺势引出等价联结词。并让学生寻找生活是否存在等价关系，那是否满足互为充分必要条件。以生活为引，让学生理解离散数学实际遍布生活的各个角落，学好离散数学不仅能用于钻研科研难题，更能回馈在生活中。

三、小结

本文以离散数学的重要内容蕴涵词为研究内容，结合爱党诚信等思政因素，给出了具体的教学设计文稿。本设计首先通过课堂讨论引发学生的激烈讨论，从而活跃课堂，以调动学生的学习热情。其次，本设计通过爱党的思政例题让学生更好地掌握蕴涵式的真值表，并感悟中国在中国共产党的领导下的砥砺前行，繁荣昌盛，从而突破蕴涵词这节内容的重难点，更加深刻地掌握本节内容。最后，本教学设计通过留疑问和增加扩展阅读材料，启发学生自动思考，去钻研生活中的离散数学难题和相关科研难题，从而培养了学生的科研精神，具有很强的操作性，有助于培养具有缜密的逻辑思维能力和高道德品质的专业性人才。本教学改革充分考虑了学生的学情，突破了教学重难点，并结合思政元素以期为国家培养具备爱国爱党的家国情怀的信息类专业人才。

参考文献：

[1]张学锋.离散数学课程思政教育初探[J].教育现代化，2019（6）：98.

[2]杜治娟.“多元融合”的离散数学教学研究[J].计算机教育，2021（7）：121-125.

[3]张清宇.《逻辑哲学九章》[M].江苏人民出版社，2004.

[4]张绵厘.《生活中的逻辑学》[M].中国人民大学出版社，2016.

作者简介：

周玉倩（1989年-）女，汉族，河南新乡人，讲师，研究生（博士），研究方向为离散数学教学改革。