法理并重，落实运算能力

苗二亮

【摘 要】计算教学由计算原理教学和技能训练两部分组成，算理和算法相辅相成，算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括。计算不应该是单纯的算法演练，教学中要关注已有经验，借助直观模型，给学生留足时空，搭建认知的脚手架，使学生在操作、比较、迁移、类比等活动中，建立算理间关联，加深对算理的理解，搭建算法和算理桥梁，发展学生数学素养。

【关键词】算理 算法 计算教学

一、缘起

笔者曾经参与一节《整数除以分数》研讨课，执教教师通过“创设情境，列出算式—自主探索，交流算法—借助直观，理解算理—抽象概括，形成算法”的线索，使学生掌握计算方法，课堂练习气氛活跃，教学效果看似不错。

随后，听课教师出了一道练习题（图1）对执教班级学生进行后测，调研结果却引发了笔者的思考。全班50個学生中有48个学生能够正确列式计算，但仅有9个学生能够正确画图表示结果。通过访谈得知：有的学生说，3÷的计算结果会算，但怎么表示计算过程不知道;有的学生认为，已经能够正确计算结果，还需要画图表示干什么……当问及学生“整数除以分数为什么可以转化为除数的倒数来解决”时，多数学生的回答是“老师教的”。

1.先画图表示3÷的计算结果，再计算验证。

3÷=

笔者不禁重新审视这节课的教学，调研分析日常教学中暴露的问题：一是算理和算法混淆不清，教师错误地认为，计算中讲清了怎么算也就讲清了算理;二是算法和算理失衡，教师将大量时间用于算法技能的训练，对算理蜻蜓点水，学生缺乏对算理进行自主探索上的体验;三是算理和算法脱节，即算理和算法彼此孤立、形式单一，仅仅通过一个直观模型让学生理解算式的意义和结果，难以达到直观和抽象的有效联结。

二、课堂实践

如何有效避免上述问题，实现算理和算法“比翼双飞”呢？笔者深入思考，找出问题的症结，重组教学流程。

（一）初步探究，激活经验，探索算法

出示问题：把4个同样大的橙子分给小朋友，每人个，可以分给几个人？

师：怎样列式，并说说你是怎么想的？

生：4÷，4是总个数，是每人得到的橙子数，4÷就表示可以分给几个人。

师：4÷的结果是多少呢？能将你的想法清楚地表示出来吗？

（学生独立完成，展示交流）

生1：我是把转化成小数0.5计算的，用4÷= 4÷0.5=8（人）。

生2：我是通过画图（图2）来计算的，1个橙子可以分给2人，4个橙子就可以分给4×2=8（人）。

生3：4÷=4×2=8（人），4×2表示1个橙子分给2人，4个橙子就可以分给4×2=8（人）。

生4：4÷=（4×2）÷（×2）=8÷1=8，我运用商不变的规律，被除数和除数同时乘2，商不变。

【反思】计算教学的新知都是由旧知引出，并以旧知为原点探索新的算法。在新课学习前需唤醒已有经验，将原有经验重组和改造，充分体现个性化、多元化的算法。教师为学生搭建充分探究空间，点燃旧知火把，使学生在原有认知存储上主动将分数化为小数，把除法转化为乘法，将整数的运算规律迁移，通过图形表征、算式表征、文字表征多种方式表达，活跃学生的思维，促进学生的发展，为优化算法、内化算法提供生长点。

（二）再度探究，理解算理，优化算法

出示问题：把4个同样大的橙子分给小朋友，每人个，可以分给几个人？

师：你准备怎样计算呢？

生1：转化成小数是除不尽的，而且运用商不变的规律计算太麻烦了。所以我选择变成乘法计算4÷= 4×3=12。

师：这其中的道理谁来讲一讲？

生2：（指图3）1个橙子平均分成3份，每份是个，正好可以分给3个人，4个橙子中有4个3，所以4×3。

师：把4个同样大的橙子分给小朋友，每人分个，可以分几个人？

生3：4÷=4×4=16（人）。

师：为什么不画图，你就可以直接算出结果了？

生4：1个橙子可以分给4个人，所以4个橙子就可以分给4×4=16（人）。

师：照这样思考，你还能说出一个整数除以几分之一的算式吗？同桌说一说，算一算。

（学生列举计算，归纳概括整数除以几分之一的计算方法）

【反思】算法优化是学生自我反思、自我完善的过程。教学中为防止算法过度多样化，需引导学生在变式中发现问题、找出差距，重构算理，产生优化算法的需求。学生经历对比分析除数是和的计算，进一步加深几何直观对算理理解的认知。学生通过对比优化，保留简洁、共性的算法，有利于沟通算理和算法，初步形成法则并拓展到除数是的计算，形成基本的运算技能。这样，学生经历不断的内省和调控，找到最简洁的方法，初步形成选择策略进行计算的意识，发展正确、合理、灵活进行计算的能力，培养思维的严谨性、深刻性、灵活性，提升思维品质。

（三）深度探究，积累经验，内化算法

出示问题：把4个同样大的橙子分给小朋友，每人分个，可以分给几个人？

师：现在你还能画图，表示出计算过程和结果吗？

生1：（如图4）4÷=4×3÷2=6。表示把1个圆平均分成3份，4个圆就是4×3=12份，每人取其中的2份就可以分给12÷2=6（人）。

生2：我们组想法和生1的差不多，因为3÷2=，因此4÷=4×3÷2=4×=6（人）。

生3：我们利用4÷=4×3的结论，和互为倒数，所以我们推出4÷=4×=6（人）。

师：（追问）现在如果让你选择你最喜欢的算法，你会选择哪种算法？

生：我喜欢生3的做法，因为很简便。

师：是的，计算时我们一般会选择比较简洁的方法。但是，我们不仅要会算，还要知道为什么这样算。如果用一条直条图（图5），你能画图表示出4÷计算过程和结果吗？

（生画图，交流分享计算和思考过程）

生：4÷=4×=6（人）。

师：如果把直条图抽象成线段图，还能表达出来吗？

师：选择你喜欢的图形，如圆形、直条、线段等，表达出4÷的结果。

师：（小结）回顾刚才的过程，我们可以把橙子图想象成圆形，然后抽象成直条图、线段图，都可以直观地解释除法转化成乘法计算的合理性。

师：不画图你能计算出4÷的结果吗？5÷呢？

师：你能用一句话概括出整数除以几分之几怎样计算吗？

生：整数除以分数就乘原来分数的倒数，不管分数是几分之一还是几分之几都可以这样计算。

【反思】算法是算理的提炼、概括和总结，简化了复杂的思维过程，添加了程序化操作步骤，形成更具一般性的运算法则。从除以几分之一过渡到几分之几，六年级的学生已具备自主迁移的能力和经验，算法迁移须基于理解进行，学生能正确计算并不代表学生完成了知识的迁移，学生需要再次在现实情境下理解除以一个数等于乘这个数倒数的道理，通过合理选择练习内容，提高练习要求，经历直观到抽象的提升，丰富感性体验和理性认知，渐次完成对知识的完整建构。此时学生获得的认知不再是单一的、孤立的认知，而是更具一般性、普适性、关联性的有意义的建构，真正达到知识的内化。

三、教后思考

让学生“探究方法—表征算法—明晰算理—形成算法的过程”是本节课教学的主要特征，本节课借助直观图形沟通算法联系，帮助学生理解整数除以分数的笔算方法，感悟数形结合、转化、推理等数学思想方法，使运算教学循法明理、法理兼备，逐步提升学生的运算能力。

（一）加强直观，减缓学生认知坡度

几何直观主要是指利用图形简明、形象地描述和分析问题。几何直观是计算教学中促进学生理解算理的手段，也是发展学生数学思考的必要途径。教学中，教师借助实物图、圆形图、直条图、线段图等，使学生在不同情境下丰富对算理的认知，加深对算理的理解，在注重发展学生思维能力的基础上，借助几何直观建构整数除以分数的计算模型，深入理解运算的本质。这样的活动使学生经历了动作思维—表象思维—抽象思维过程，减缓了认知的难度，完成直观到抽象的过渡，有利于在算法直观和算法抽象之间建立有效的桥梁，为概括算法不断丰富体验;有利于在直观认知中，呈现不同思维水平、不同角度思考解决问题的全过程，贯穿“数形结合”“转化”“推理”等数学思想方法，实现了除法转化成乘法、除数转化为倒数的合理性、普适性、简便性;有利于提升解决问题的能力，培养问题意识及数学问题的敏感性，最终促进思维能力的发展。

（二）注重关联，构建完整认知结构

数学是一门抽象性、逻辑性、结构性很强的学科，数学知识之间有很强的关联性，有效关联有助于知识理解、内化、运用。从整数除以几分之一过渡到整数除以几分之几，学生经历了从特殊到一般的过程，在理解算理形成算法的过程中经历了算法多样化的建构、算法优化的解构和算法一般化的重构，这样系列的活动建立在关联上。首先，在旧知和新知中建立关联。在初步接触整数除以分数时，学生能主动调动已有的认知经验进行创造加工，如将转化成0.5、画示意图、列算式、运用商不变规律的自主迁移，将新知转化成旧知，在多样化算法中，寻求共性特征，优化算法，有效解决问题。其次，在直观操作和算法抽象间建立关联。在学生交流多样化算法的基础上，教师有意识地引导学生思考算法之间的关系。例如：在计算4÷时，对比画图和算式两种方法的相同和不同的地方;计算4÷时，对比上面三种算法的异同。最后，在形式单一和多元表征中建立关联。借助不同的直观模型，即实物模型—圆形—直条—线段，逐步完成对算理理解和表征。变换不同除数，即除数是几分之一到几分之几的变换，学生自然会推想出虽除数不同，但都可以将除号变乘号，除数变倒数，实现知识互联，举一反三。因此，通過不同算法间建立关联，学生在“散中求联”形成结构化思维，在“异中求同”理解运算本质，在“多中见优”实现深度学习，逐步提高数学思维能力。

（三）留足时空，体验完整认知历程

数学教学是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，这一系列的活动必须建立在充分的时间和空间上。分数除法教学中，教师留足空间引导学生呈现多样化的算法，在不同算法和算式间建立关联，架构算法抽象和算理直观之间的桥梁，进而形成表象，逐步抽象成一般算法，力求让探索过程“慢”一些。经历除数是，，的变化，学生在变化中寻不变，在变化中寻求运算的本质，借助运算模型反向加深算理的理解，弥补只会算却说不清为什么这么算的缺陷，力求让运算理解“透”一些。在新授和练习的设计上，教师借助直观模型探索算法、概括算法，利用运算法则得到运算结果后，反向解释每一步为什么这么算的合理性，让学生的认知方式“耐扛”一些。因此，法理并重需要给学生充分的探究空间，使学生历经合理的、简洁的滤化过程，真正实现计算技能向运算能力的转化，培养数学思维。