多维体验 整体勾联 智性思考

周敏

【摘要】平方千米对于五年级的学生来说，抽象而难于直接感知，因此在实际教学中存在着不少问题与教学困惑。在这样的背景下，笔者带领团队，紧扣教材，就地取材，开发了具有鲜明地方特色的主题长线实践活动，利用数学活动生成的鲜活素材进行课堂深度学习，帮助学生进一步梳理活动经验，在面积单位概念的整体勾联中建立观念，发展思维，让平方千米的认识变得多维、厚重，充满儿童的情趣和数学的理趣。

【关键词】平方千米  整体勾联   多维体验    智性思考

日常教学中，“平方千米”难教是老师们深有体会的，而翻阅各类文献，综观各种教研活动，涉及“平方千米”的教学更是少之又少。

一、教学困惑

“公顷”和“平方千米”一般用于测量较大的土地面积，不同于之前学习的三个面积单位（平方米、平方分米和平方厘米），由于无法在课堂上直接感知，生活中也缺少相关的经验积累，学生很难建立起1公顷（1平方千米）实际大小的观念。因此，教材在设计公顷的认识时，编排了“28个同学在操场上手拉手围一个100平方米的正方形”的实践活动，而对于“平方千米”的教学，则主要落实在“认识1平方千米的实际含义，掌握平方千米与公頃、平方米之间的进率”，而不把体会1平方千米的实际大小作为教学要求。

1.学生调研：

在这一单元教学完成之后，我们抽取两个班（共98人）进行了一次短平快的书面检测。

（1）10平方千米= （     ）公顷=（      ）平方米

（2）我国第三大岛崇明岛的面积大约是1040（     ）。

平方米             公顷            平方千米

（3）边长是1英寸（1英寸=2.54厘米）的正方形，它的面积是（      ）。

[ 正确人数 错误率 典型问题 第1题 65 33.67% 学过就忘了：混淆平方米、公顷、平方千米之间的进率。 第2题 37 62.24% 61位学生选了“公顷”，因为感觉1040公顷已经很大了，而1040平方千米大的无法想象，超出了他们已有的经验积累。当面积很大时，公顷和平方千米不能很好地进行区分和选择。 第3题 52 46.94% 不理解面积单位的含义，不能将“面积和对应边长之间的关系”进行迁移和应用。 ]

2.教师访谈：

教师1：我觉得这节课的知识点都是一些规定，记牢就好了，没有什么好探究的！

教师2：这节课内容少，看似简单好教，但教学效果却常常很差强人意。比如进率的教学，明明讲得很清楚了，但到用的时候，面积单位之间，面积单位和长度单位的进率关系就混淆厉害，真不知道问题出在哪了？

教师3：如果是考试，这个内容顶多一个填空或一个选择题，所以并不是重要的知识点。不过，如果要上公开课，还真不知道怎么上，也从来没有听过，感觉挺难上的！

教师4：公顷的教学，因为有一些活动体验，孩子们对其实际大小的观念还是自己的理解，能建立一些典型的参照进行比较、推理和想象;但平方千米的教学，因为没有相应的活动体验，学生学的枯燥，对知识缺少亲近感，不能建立相关的参照系统进行比对。因此，学生只知道大，但有多大呢，没有概念。所以我觉得，这一课教得很空泛。是不是可以尝试改变一下习以为常的教学方式？

……

二、分析与思考

从日常教学、学生调研和教师访谈来看，关于“平方千米”的教学，至少有以下几个方面值得关注：

1.教学过程碎片化，重点状轻整体勾联，缺少灵动

作为面积单位教学的最后一课，教师们更多地关注了这一节课，而缺少“把相关的几节课”进行整体审视的视角。因此，“平方千米”这一课的教学，既要注重延续和发展之前学习面积单位的经验，完善知识结构;又要让学生体会到学习面积单位的新方法和途径，获得新的收获。然而，日常教学中，在教学完“平方千米的含义和相关的进率”之后，教师们就会将大量的新授时间花费在完成练习，尤其是进率的识记以及解决相关的面积计算和单位转化上。碎片化的教学，使得教师只重视知识技能的目标要求，学生学的被动，缺少思考和感悟，教学也因此缺少了一份灵动。

2.教学方式单一化，重识记轻活动体验，缺少情趣

多媒体技术的发展，使得教师们更愿意采用图片、课件演示等方式来替代学生的亲身体验。那么，平方千米的教学有进行活动体验的必要吗？

首先，让我们回到教学中来分析一下。教材将公顷和平方千米分为两个课时教学，但往往到接下来的练习课时时，学生才会突然间出现大量的错误。究其原因，因为前两课时学生面对的练习都是本节课新学的，他们下意识地就会选择刚学的单位;而练习课是综合性的，需要学生比较、推算、估计和想象，于是学生就会因抽象、缺少生活经验、进率跨度大等困难而辨别不清了。我们的检测题的第2题，也很好地说明了这个问题。

其次，同样是大面积单位，公顷的大和平方千米的大有什么不同，如何帮助学生进行沟通和区别？显然，仅仅依靠死记硬背是不行了。只有让学生亲身经历，体验活动，在此过程中建立起自己熟悉的参照系统，让抽象的概念得到实际直观体验的支撑，学生的学习才会多一份情趣和智慧！

3.思想方法浅表化，重技巧轻思维参与，缺少厚重

教学中，我们常常会遇到这样的尴尬：学生忘记了平方千米与公顷、平方米之间的进率，但又不会回到知识的源头，去重温知识发生、发展的过程，去重新获得结果。或者，描述一个面积单位的大小，常常无从下手。知识从哪里来，到哪里去，教学要始终关注知识背后的数学思考和数学方法。如此，学生在碰到实际问题时，才会主动地运用思想方法灵活解决问题。

三、课堂重建

那么，“平方千米”一课又该如何教学，如何给教师们提供可供参考、学习的实施路径呢？在本学期的卷入式校本教研中，我们进行了如下的教学实践：

（一）开发长线活动课程，带领学生进行多维体验

1.长线实践活动的设计与实施：

以长线浸润的方式开展系列活动体验，能有效延伸课堂教学的时空，整合各种学习资源，拓展学生的学习视野。

为期两周的长线体验活动，我们不仅注重活动形式的多样性，如调查记录、实验体验、知识梳理、网络学习、自主探索等，也力求凸显活动体验的深刻性。通过已知和未知的勾联，线上和线下的互补，课内和课外的切换，家校的密切配合，为学生构建起一个立体式的、生长式的探究空间，引导学生去发现数学规定的内在规律，知识之间的密切联系，数学含义与直观体验的呼应等，把实践、体验和思维三者有效地整合起来。

（二）进行课堂教学研究，探索平方千米的教学密码

【教学实践】

1.着眼整体，在梳理沟通中理解1平方千米的数学含义

师：根据面积单位与它对应边长的关系（图1），你知道比公顷更大一级的面积单位是什么？说说你的想法。

生1：表中相邻边长的进率是10，由此我可以推想出比公顷更大一级的面积单位对应的边长是1千米，边长乘边长，那就是1平方千米。

生2：边长1千米，面积可以用“1000×1000=100 0000平方米”表示，所以平方千米与平方米之间的进率是100 0000。

生3：平方千米和公顷之间的进率是100，因为1平方千米=100 0000平方米，1公顷=10000平方米，100 0000÷10000=100。

生4：我还可以用图（见图2）来说明。边长1千米，用边长100米的正方形去摆，一排正好10个，可以摆10排，也就是10×10=100，所有公顷和平方千米之间的进率也是100，符合面积单位进率是100的规律。

师：这张格子图只能表示平方千米和公顷之间的进率关系？

生：不是的，任何两个相邻面积单位之间的进率都可以用这张图表示……

这一板块的教学，我们着力对接学生已有的学习经验，通过梳理已有的面积单位，引导学生横向观察，找到边长与面积之间的命名规律;纵向观察，发现相邻两个面积单位边长与面积的进率规律;接着，利用规律推想出比公顷更大一级的面积单位是平方千米，并引导学生联系旧知，迁移定义方法，尝试自己来解释1平方千米，构建平方千米与平方米、公顷之间的进率关系;最后，利用几何直观，将相邻面积单位的关系直观化，模型化。通过以上三个层次的教学，让学生经历“观察——推想——验证——模型化”的过程，知识从哪来，到哪去就清清楚楚了。

2.融合实践活动，借助直观体验建立1平方千米的观念

1平方千米究竟有多大呢？对于这个看不见摸不着的概念，我们想到了从前期的实践体验活动来寻求突破。

首先，利用学生手绘地图再现1平方千米的区域，激活前期对1平方千米的直观体验;接着转换视角，利用航拍俯视图强烈的直观冲击力，强化1平方千米直观感受;最后，通过卫星地图，找到1平方千米区域内包含的住宅小区、房屋和居住人口的数据，来再一次体会平方千米的实际大小。

其次，利用前期实践活动中建立的参照，进行比较、推算和想象，把抽象的概念具体化、量化和可感化。

以上两个层次的教学，先立足于整体的、宏观的感知;再利用学生熟悉的参照进行比较、推算和想象。虽然教材并未有“体验1平方千米”的教学要求，但要突破抽象面积单位的“大小”，将“大”具体化、直观化和层次化，需要学生有实实在在的直观体验的支撑。因此，前期开展的长线实践活动不仅必要，而且值得鼓励。在核心素养理念下，发挥师生的创造性，对教材做必要的补充和丰盈，是用课程超越课堂的具体体现。

3.综合运用，体会平方千米在生活中的应用价值

（1）结合学生熟悉的家乡本土素材，体会面积单位的适用性和选用合适单位表达信息的简洁性。

尚湖湿地公园，位于常熟城西，虞山之南，水域面积大约800 0000平方米，总占地面积大約2300 0000平方米。

800 0000平方米=8km2

2300 0000平方米=23km2

（2）交流课前查阅资料，了解学生所在省、市及国家的土地面积，发展用数学的眼光去观察去思考的素养;同时，利用不断变化的参照，去比较和估算，感受平方千米应用和价值。

（3）利用常熟第一条三环高速所圈出的核心生活休闲区域，用所学知识解决实际问题，了解家乡的建设成就，感受数学与生活的密切联系。

通过以上三个递进的练习应用，我们充分发挥了本土素材的鲜活元素，让学生在学以致用的过程中，拓展视野，增长知识，落实数学素养。

【教学反思】

1.整体勾联，在知识体系中凸显单位的个性特征

数学知识是整体的，也是有结构的，面积单位也不例外。每个面积单位都有各自适用的“领地”，也有与其他单位乃至整个单位系统的关联。这种独特性与融汇性，构成了每个面积单位的属性。平方千米的教学是面积单位教学的结束，一方面通过类化与沟通，从不同处抓类化，从相同处抓沟通，让原本孤立的面积单位“拉帮结派”，展现网络样态，有效扩张学生的认知视界;另一方面，由此及彼、由表及里的建构过程，反过来又促进了学生对平方千米的认识，凸显出平方千米的属性特征，让学生对数学的感知更加清晰、丰富、饱满。

2.调整思路，开发长线实践活动促进学生的多维体验

“平方千米”是比“公顷”更大的面积单位，在头脑中建立“1平方千米”的概念实属不易。为了帮助学生建立这样的概念，必须要给学生寻找可供想象的“参照物”，以“实”才能构建“实”。开发长线活动课程，为学生提供学习、创新和实践的机会，变教材的“一”为学材的“多”，变教材的“远”为学材的“近”，变教材的“静”为学材的“动”，变教材的“他”为学材的“我”。多维体验，为概念的深度理解，提供了更为鲜活、厚实的学习背景。

3.智性思考，凸显本质，让学习由知识走向智慧

郑毓信教授认为：“从数学教学或数学教育过程来看，应通过数学帮助学生学会思维。”思维的根基越是牢固强大，数学学习就越有“生长”的力量。对于面积单位的认识，我们认为，以下三点需要引起注意：其一，不能仅仅停留于形成表象，还要能够理解每一个面积单位的核心意义，即：边长是单位长度的正方形。面积单位的命名方式里面蕴藏着数学运算，学生只有理解了面积单位名称里面蕴藏的数学运算，才能够形成对面积单位的抽象理解。其二，学生对面积单位的进率不能仅仅靠记忆，而应该基于理解去把握得到相关进率的过程，并最终创造出表达进率的模型;其三，计量单位教学的目标要关注思维的发展。随着人们对客观世界认识的不断深入和生产生活的需要，有些更大或更小的单位是无法通过实践来体验的，但人们可以通过思维去把握。从已知认识未知，通过有限认识来探索无限，这些思想方法必须通过数学教学向学生渗透。唯有如此，儿童数学才能走出狭隘、封闭，走向深刻、理性。

对“认识平方千米”一课的研究虽然暂且告一段落，但如何在核心素养引领下，突破单一的传统学习方式，落实素养培养，还需要我们不断努力和尝试。

（作者地址：江苏省常熟市世茂实验小学）