小学数学创新性实验的研究与实践

时间：2024-05-07

陈燕虹黄文韬

【摘要】本文以提高小学生数学素养和实践能力为目的，研究小学数学创新性实验的实践操作策略，提出创新性实验应以拓展性问题为出发点、以学生主动学习为核心指标，在明晰教师应发挥怎样的作用、怎样发挥作用的基础上，结合实践案例，探讨通过制造数学困境推进创新性实验的思路和方法。

【关键词】小学数学创新性实验数学困境

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）07-0016-05

创新是一个国家、一个民族发展进步的动力源泉。党的二十大报告在“新时代新征程中国共产党的使命任务”中明确提出了我国到2035年的总体发展目标，其中“实现高水平科技自立自强，进入创新型国家前列”为目标之一。我们认为，创新型国家建设离不开创新型人才培养。数学作为重要的基础学科，肩负着创新型人才培养的重任。《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次确立了核心素养导向的课程目标，提出“义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养”，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”），发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观。而基于实践能力培养的应用意识和创新意识都是义务教育阶段数学核心素养的具体表现，落实对学生应用意识和创新意识的培养要求对发展学生创新能力具有重要的现实意义。

数学实验指的是用实验的手段探索数学。早期系统论述数学实验（或称数学实验室）的文献可以追溯到1916年Nature介绍的数学实验室丛书。该丛书提出，数学实验是数学教育教学的新模式。教学实践中，大学阶段的数学实验包含了验证性实验、综合性实验和创新性实验三个由低到高的层次；而基础教育义务教育阶段实施的数学实验多数属于验证性实验，创新性实验的探索相对集中在基础教育的高中阶段。

国内关于数学实验的研究，可以追溯到20世纪80年代末和90年代初。紧随大学数学实验的研究和教学，数学实验在中学也开展起来，越来越多的中学数学教师和数学研究工作者开始重视数学实验研究，到了近两年，相关研究文献开始呈几何级数增长。而中学数学实验的研究和教学，在模式上为操作性实验、思维性实验与计算机模拟实验，在层次上则归属验证性实验或综合性实验。小学数学实验主要集中在数学课程内容的实验操作，从本质上来说依然以验证性实验为主，以教师的引导为主：由教师设定实验内容及方法步骤，学生按照设定的内容和步骤进行实验，即在已知知识点的支持下，让小学生动手验证一些知识。因此，小学的数学实验未能充分做到以学生为主体，未能调动学生的主观能动性，未能启发学生探索知识、发展核心素养。根据我们的文献研究，小学数学界目前未见创新性实验研究。

因此，我们提出在小学数学教学中实施以核心素养为导向的创新性实验。这样的创新性实验，必须以学生为主体，学生在教师的引導下，从现实世界或数学世界中发现或提炼问题，用数学的方法和工具进行研究，探索问题的数学规律或者问题解决的方法。在这样的创新性实验中，教师居于辅助地位，重点是引导学生展开实验。这种创新性实验可以丰富学生的概念心像，促进学生感悟数学的思想方法，形成数学认知，发展相关的综合能力。经过长期探索，我们提炼出创新性实验的如下实践操作策略。

一、以拓展性问题为出发点

中国古代教育家孔子说：“疑是思之始，学之端。”古希腊著名哲学家苏格拉底说：“问题是接生婆，它能帮助新思想诞生。”由此可见“问题提出”对于学习的重要意义。这样的问题，可能源自所面对的新情景、新内容，也有可能是对已经解决的问题有了新想法。学习的全过程都可能伴随着问题的提出，关键是谁提出问题、提出怎样的问题。

如果一个问题是学生自己提出来的，那就一定是他困惑或者感兴趣的，那他就一定会有探索这个问题的动力。从教学的角度来看，学生提出的问题也是开展“以学生为主体”的教学的完美入口。为此我们提出如下教学策略。

（一）鼓励学生提出非教材预设的问题

“你能找到什么数学信息？”“根据这些数学信息，你能提出什么数学问题？”这是数学教师在教学中常常提出的两个问题。

部分教师希望学生能尽快找到数学信息，并且尽快提出教材上要解决的问题；部分教师会追问“你还能提出什么别的数学问题？”，然后在学生提出的各种数学问题中，选取教材上的问题展开教学；还有部分教师会回应一下学生提出的非教材预设问题，但会被课堂教学时间不足这个问题所困扰。以教学北师大版二年级上册第一单元第一课时“谁的得分高”为例，不同类型的教师基于同样的引问，落实教与学的过程有可能出现如表1所示的三种情况。

A类教师的学生基本上没有问题意识，也不具备提出非教材预设的数学问题的能力；B类教师的学生有一定的提出各种数学问题的能力，但因为教师并不回应学生的问题，长此以往，学生会慢慢明白教师的期待并开始迎合教师的期待——提出和教材一致的问题，随之提出问题的能力会逐渐下降，最终变成和A类教师的学生一样的学生；C类教师的学生有提出数学问题的能力，对C类教师的教学挑战很大，初期阶段，如果测评其学生的知识掌握程度，结果常常不尽如人意，表现为不如A类教师和B类教师的学生知识掌握程度高。面对挑战，有些C类教师会逐渐变成B类教师或A类教师，他们的学生也会逐渐变为A类教师那般的学生。而如果学生提出的问题总是教材中的问题，那么，教师设置“问题提出”环节的意义便单纯是为了推进教学，而不是基于学生真实的困惑实施教学了：不能基于学生真实的困惑实施教学，学生没有学习动力的情况会随之出现，学生主动学习的状态便很难发生，创新意识和实践能力的培养便无从谈起。

因此，我们建议：教师要扛住初期的压力，不惧挑战，鼓励学生提出各种与数学有关的问题，让学生感受到教师对“问题提出”的重视，向学生传递出一种鼓励积极思考的信号，培植学生的学习信念。

（二）将拓展性问题转变为创新性实验项目

只要教师积极回应学生提出来的问题，学生就会逐渐养成提问的习惯，学生的好问题也会喷涌而出。仔细甄别学生提出的问题，大体可分为三类。第一类为无效问题。无效问题指与学习内容无关的问题，不论其问域是大还是小，探索该问题的历程对增长知识、培养能力都没有多大的作用。如：“可以用蓝色的笔来画分析图吗？”“为什么单位要用括号括起来？”“机灵狗（新世纪版教材内人物）能换件衣服吗？”“为什么观察的时候，眼睛会痒？”“我可以用茶壶装花生吗？”第二类为理解性问题。理解性问题一般与学习内容紧密相关，其问域小，指向明确，答案唯一，开放度不高。如：“乘法和加法有什么关系？”“可以画图表示出谁是谁的几倍吗？”“为什么正方形是特殊的长方形？”“所有正方形的面积都和三角形面积有关系吗？”第三类为拓展性问题。拓展性问题不仅与学习内容相关，而且问域大、开放度高、答案不唯一或答案不局限在数学学科。如：“什么是九九歌？它是和节气有关，还是和乘法有关？”“把观察到的图形合并起来，能不能合成被观察的物体？”“三角形的外面有角吗？如果有，外面的角加起来会是多少？”“是否可以制作出方形泡泡？”“车轮可以有别的形状吗？”其中，“三角形外角和”属于初中数学的学习内容，而“车轮可以有别的形状吗？”“是否可以制作出方形泡泡？”等问题不属于任何一个学段的学习内容。对于这些不属于本学段甚至不属于任何学段学习内容的问题，教师该如何做出回应呢？是冷落学生、不置可否？还是告诉学生这个问题不是现在学习的内容，然后不予理会？还是有别的什么选项？

由于拓展性问题的问域较大、开放度较高，将其融入课堂教学加以解决往往是不现实的。有些C类教师正是因为将一些不可能当堂解决的拓展性问题放在了同一节课中加以解决，这才导致了课堂教学不够聚焦、学生的学习效果不够理想，并因为受到教学质量评价的压力最终只能因噎废食变成B类教师或A类教师。

课堂教学中，学生提出的问题不可能完全符合教材的知识体系。因此，教师需要对学生提出的问题进行精确的研判——确定学生的问题究竟属于哪一个类型的问题，然后根据课程标准的教学指向建立问题库，将理解性问题融入课堂教学，将拓展性问题作为多学时长程学习的创新性实验项目，以主题式学习的方式另外组织学生展开实验探究，对学生的“问题提出”做出正面的回应。以学生提出的问题“车轮可以有别的形状吗？”“是否可以制作出方形泡泡？”为例，教师便可以另外设计出一些如表2所示的创新性实验项目，对课程实施进行多学时长程设计。

二、以学生主动学习为核心指标

创新性实验的基本流程包括实验主题（项目）的选择和确定、实验器材准备、实验设计、实验猜想、实验过程、实验初发现、实验调整、实验再发现和实验结论的提炼等。与以往的小学数学实验相比较，创新性实验不再是由教师设定好一切后，学生再按照教师设定的步骤进行操作验证，而是从头到尾都真正交给了学生，由教师主导实验转变为教师助推实验，确立学生的学习主体地位，使学生成为真正的学习者、探索者、研究者。

（一）学生是创新性实验的主体

创新性实验需要围绕实验主题（项目），自主考虑要探索该问题时需要准备哪些材料即实验器材。实验器材由研究者（学生）或研究小组自行决定，以下我们把他们统称为研究者。

研究者主动思考、独立学习，从“到底要准备什么实验器材才能帮助我进行探究”开始。例如，要探索“圆形井盖的优势”，学生A决定使用的实验器材是不同大小的纸筒、白卡纸、不同大小的圆形纸片和自己设计的记录单，学生B决定使用的实验器材是不同尺寸的硬币（模拟圆形井盖）、不同尺寸的平面图形、直尺、白纸。不同的实验器材，将匹配不一样的实验步骤。个体之间丰富的数学活动体验将带来不同角度的学习交流。

研究者自己拟定研究步骤，即自己设定研究时先做什么、再做什么、最后做什么，也就是自主进行实验设计。如学生A设计的实验步骤有三个：第一步，用纸筒在白卡纸上拓印出圆形并剪出圆形纸片；第二步，將圆形纸片盖在纸筒上，模拟井盖；第三步，测量出“井盖”的面积和周长。学生B的实验步骤也有三个：第一步，用白纸围硬币一周，确定管道的大小；第二步，根据圆形管道的直径，制作出大小合适的正方形井盖、长方形井盖、梯形井盖；第三步，比较不同形状的井盖，从用料、稳固性上进行对比。步骤不同，感悟和思考也会不同：学生A会关注并思考圆形的特征，学生B会聚焦图形特征与圆柱管道的关系。他们之间的交流，能达成互相启发的效果。

研究者根据自己拟定的步骤，结合原有的经验，对探究结果进行预判，即进行实验猜测。如学生A猜测“圆形井盖的优势是圆形的面积，因为‘一中同长”；学生B猜测“井盖的面积和放置井盖的管道的面积有关系，都是圆形的，契合度好，优势是正好可以卡在管道上”。然后，研究者运用文字、图示等方式，客观记录实验的步骤以及过程中的关键信息，产生新的认知。对小学阶段的学生来说，新认知可以是数学知识上的认知，也可以是数学方法、实验设计上的发现。

学生起初的发现一般都是粗线条的，教师需要引导学生在初次探索实践的基础上，在积累活动经验的过程中，围绕问题解决再次进行实验探索。通过与原有的想法进行比较，学生一定会有所发现：新想法可能更有利于问题解决，也可能更不利于问题解决。也就是说，创新性实验是一个或迂回或起伏的较长的过程，直至学生有了数学化程度较高的新发现。

（二）制造数学困境

根据“历史相似性原理”，个体的发育史总会重蹈其种族的发展史。学生在学习数学时，其思维发展的过程和数学史发展的过程也是非常相似的。正因为如此，数学教师只要了解某个数学事实或概念的发现过程，就能对学生即将经历的思维发展进行预判，从而有针对性地对学生学习某一知识时所遇到的障碍进行优化设计。在当下的小学数学教学中，大量的验证性实验都进行了这样的优化设计——教师设置好实验过程，最大限度地降低学生可能遇到的困难，带着学生顺利经历知识建构的过程，获得数学上的“新发现”。

与尽快解决或者走出数学困境相反，我们所研究的创新性实验首次提出了先制造数学困境再走出数学困境的思路和方法。

1.只给出关键线索

只给出关键线索而不给出具体的实验步骤是为了发展学生的创新性思维。如教师为“制作多边形泡泡”的创新性实验项目设计了4个实验主题。主题一是制作正方体。教师给出的关键线索是“用小棒或者牙签制作一个正方体”。为什么这里只是提供“线索”，而不是实验“步骤”？如图1所示，对于小学生来说，她们所能看到的正方体是含有面的实体，而不是显示正方体局部特征的透视图；现在要做的是正方体的框架，即只需了解正方体的局部特征。这对小学生来说，无疑是抽象的，有思维难度的。

根据教师提供的线索，学生的主动思考包括：“为什么是用小棒或者牙签搭？”“小棒、牙签都使用行不行？”“我需要什么样子的小棒来搭？”“我需要多少根小棒来搭？”“用小棒怎么搭？”……学生沿着线索自主思考，自主选择和准备搭建正方体的其他工具。

由于只给出线索，并没有告诉学生需要准备12根小棒，并且12根小棒的长度应该相等；也没有告诉学生12根小棒需要通过“点”来连接；“点”的材料对学生来说也是个未知概念。这就给学生制造了这样一个数学困境：当准备的小棒数量小于12时，学生会发现搭不成正方体；当准备的小棒数量大于12时，会发现有剩余，于是可得出“需要且只需要12根”的活动经验；如果准备的小棒长度不一致，学生会发现搭出来的“正方体”东倒西歪，由此感悟到小棒需要长度一样才能“正”；当连接小棒时，又会发现一个“点”需要联结3根小棒这个事实……学生在不断碰壁的困境中展开思考和实践，不断积累数学活动经验，而这些经验可以为学生自主发现和认识正方体的特征奠定坚实的基础。

正方体做好以后，要想做出方形泡泡，需要使用细绳子拴住这个正方体，将其浸没在泡泡水中，再提起来。然而，这些仍旧是关键线索，而不是具体步骤：如果给出详细的图文结构，学生一看就知道自己应该用什么工具去做什么，那就是具体的操作步骤了。但是，这样的步骤虽然能够让学生毫无阻碍地得到“方形泡泡”，但学生是在依葫芦画瓢，根据实际情况进行合理调整的主动思考就不可能被真正触发，问题意识和创新意识就无法被真正激活。那么，在这里，教师究竟没有告诉学生什么呢？是绳子的粗细、长度、栓正方体的方式以及泡泡水的比例。

有些学生会发现自己准备的绳子不够长，无法将整个正方体悬吊后完全浸没在泡泡水中，于是意识到自己需要考虑绳子的长度、绳子加上正方体的长度以及容器的高度、宽度等，这本质上是在具体情境中的“估测”或“测量”。“量感”核心素养在这个真实的具体情境中开始萌芽。

有些学生在栓正方体的时候，会发现自己刚刚做好的正方体“弱不禁风”，一下子就歪歪扭扭变了形，还需要想办法加固正方体的每一条棱。这让学生有机会发现角度也是正方体的特征（由正方形构成，正方形的角是直角）……走出数学困境的过程，永远伴随着新的非预设问题的出现。

创新性实验只给出关键线索。关键线索给学生留下了自主探索的空间，让学生在这个空间里可能会遭遇点什么、发生点什么。以只给出关键线索的方式打造出来的数学困境，让学生不仅发现和感悟到了数学现象和概念，还让学生在一次又一次的失败和调整中，锤炼出了“不怕困难、坚持不懈”的学习品质和科学精神。经过不断尝试，学生终于发现小块橡皮擦可以不受泡泡水的影响，是理想的连接点材料，如下页图3所示。

2.只在要点上引导

在数学困境中的探索性学习是主动、有意义、鲜活的学习，它始终在动态发展。由于创新性实验探究的时间较长，学生从中积累的经验、得到的或正确或错误的认知也会比较多、围绕问题进行的调整也会有多次，然而，学生每一次的调整都是对其原有认知的搅动。因此，在学生进行实验探究的全过程中，教师及时、正确的引导显得极为重要，比如：正方体有多少条棱、棱的特点是什么？有多少个顶点、顶点与棱的关系是怎样的？有多少个面、这些面是如何构成的？正方体上点、线、面的关系如何？等等。

需要说明的是，教师的引导应着眼于学生核心素养的发展，不能随着实验有了某种新发现而戛然而止。由“制作正方体”的过程帮助学生发展“数学的眼光”“数学的思维”和“数学的语言”等核心素养，之后教师可引导学生进一步思考：如果正方体可以做出方形泡泡，那么其他的立体图形呢？教师的引导，可助推学生进入无止境的探索。图4和图5是学生用三棱锥和五棱柱做出的三角形泡泡、五边形泡泡。

今天的教育，需要将学生作为未来人培养，需要帮助学生主动探寻数学问题的背景并善于抓住数学问题的本质，用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思考。面对各种现实问题，教师应教会学生运用数学的理性思维，从多角度思考解决问题的方法，并对解决问题的过程进行合理的简化和量化，从而有效发展模型意识。创新性实验是实现这一愿景，帮助学生成为具有数学素养的未来人的有效途径。

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