同一核心素养同一内容系列课“鸡兔同笼”主题教研的设计与实施

黎益 林雯

【摘要】本文聚焦小学数学界著名的“鸡兔同笼”问题，结合不同版本教材对“鸡兔同笼”问题在不同学段的教学编排，设计了同一核心素养同一内容系列课“鸡兔同笼”主题教研，从厘清同一内容中所蕴含的同一核心素养的基本内涵、统筹分析相关年级同一内容的教材编排特点、分层推进同一核心素养同一内容系列课教研活动三个层面，逐层深入地探讨同一核心素养同一内容系列课主题教研的设计与实施策略，同时结合课例研究提炼同一核心素养暨模型意识培养在不同学段同中有异、逐层递进，需依次经历探究数学模型、经历建模过程、拓展模型应用三段历程的教学策略。

【关键词】鸡兔同笼 模型意识 分段培养策略

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）19-0052-04

同一核心素养同一内容系列课“鸡兔同笼”主题教研，基于不同版本教材对“鸡兔同笼”在不同年级不同的呈现方式，依据不同学段学生不同的思维特点和认知水平，围绕同一核心素养制定不同的学段目标，使不同学段的学生在教师的教育引导下，达成同一核心素养不同学段不同的表现水平。本文侧重以“鸡兔同笼”系列课主题教研为例，探讨同一核心素养同一内容系列课主题教研的实践策略。

一、厘清同一内容中所蕴含的同一核心素养的基本内涵

“鸡兔同笼”问题源于1 500年前我国古代重要的数学著作《孙子算经》，是一种较为典型的数学模型：该模型不仅可用于解决“鸡兔同笼”问题，而且可用于解决类似的“人马问题”“租船问题”“投篮问题”“自行车和三轮车的轮子问题”“钞票问题”“竞赛积分问题”等。开展“鸡兔同笼”系列课主题教研，旨在发展教师对学生的模型意识培养能力，让教师学会基于同一核心素养暨模型意识的基本内涵，探索学生同一核心素养暨模型意识发展在不同学段该有怎样不同的表现水平、如何在教学中指导学生学会建模，使学生在解决一道题的过程中学会解决一类问题的基本策略和方法，达成相应学段的模型意识培养要求。

模型意识是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022版数学课标》）提出的“会用数学的语言表达现实世界”核心素养在小学阶段的具体表现之一，“主要是指对数学模型普适性的初步感悟”;培养学生的模型意识，旨在让学生“知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径”“能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释”。而所谓“会用数学的语言表达现实世界”，《2022版数学课标》明确指出：“数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。通过数学的语言，可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式;能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题;能够理解数据的意义与价值，会用数据分析结果解释和预测不确定现象，形成合理的判断或决策;形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。”

二、统筹分析相关年级同一内容的教材编排特点

不同版本的小学数学教材将“鸡兔同笼”数学模型安排在如下页表1所示的不同年级，最早的安排在小学二年级下册教材，最迟的安排在小学六年级下册教材，跨度极大。也正因为其跨度极大，同样的内容在不同年级不同版本教材中的呈现方式、提供的解题方法亦各有不同，体现了学生同一核心素養不同的表现水平。

沪教版二年级下册教材中呈现的羊和鸭的问题从属于“鸡兔同笼”这一类问题，解决问题的方法主要是运用列表法枚举出羊和鸭的腿数是22条时羊和鸭可能有多少只的各种情况，让学生初步体会生活中有许多问题就是数学中的“鸡兔同笼”问题。按照《2022版数学课标》的学段划分方法，浙教版和现行人教版教材都把“鸡兔同笼”问题安排在了第二学段，引导学生由“鸡兔同笼”问题过渡到解决“鸡兔同笼”变式题，掌握“鸡兔同笼”这一类问题的解决方法;北师大版、苏教版、青岛版三个版本的教材都把“鸡兔同笼”这一类问题安排在了第三学段，着重引导学生学会构建“鸡兔同笼”问题的数学模型。虽然不同版本的教材所用的例题不同，给出的解题方法也不完全一致，但都用到了列表法，且“画图法与列表法”“列表法与假设法”有机结合，一定程度上关注到了方法之间的融合。

三、分层推进同一核心素养同一内容系列课主题教研

以核心素养为导向，对比各个版本教材的教学内容呈现和学习要求，我们对“鸡兔同笼”问题有了一些新的思考。不同的学段，学生的思维发展水平不同：二年级的学生以形象思维为主，四年级的学生开始由形象思维向抽象思维过渡，六年级的学生初步形成抽象思维。《2022版数学课标》明确规定了不同学段模型意识的表现水平：第一学段，“认识到现实生活中大量的问题都与数学有关”;第二学段，“有意识地用数学概念与方法解释生活中的数学问题”;第三学段，“在现实生活或具体情境中抽象出一类的数学问题”。

为了打通三个不同学段学生“对数学模型普适性的初步感悟”的度的序列，引导学生学会解决“鸡兔同笼”这一类问题的基本思想方法，我们基于同一核心素养的培养策略，为模型意识的培养建构了基本的教学模型和学生习得同一核心素养的度的模型，使“鸡兔同笼”系列课的教学研究基于核心素养的学段递升要求而呈现出教学层次上的螺旋上升态势。我们决定以《2022版数学课标》所厘定的各学段模型意识表现水平为本次主题教研各学段核心素养的培养标准，课程内容建构基于教材而又不因循教材，可以由教师自主发挥，只是规定了各学段的教学层次要求：二年级的课例研究侧重用画图法解决简单的“鸡兔同笼”问题;四年级的课例研究侧重用列表法和假设法落实“鸡兔同笼”问题解决的思想方法，同时引导学生借助画图法理解假设法中每一步所表示的具体意义;六年级的课例研究综合列举法、列表法、假设法、方程法，并侧重用方程法解决“鸡兔同笼”的数学建模。

（一）创设问题情境，探究教学模型

数学模型是对现实问题的数学化，可以用来解决现实生活中的一类问题，是数学应用的基本途径。王永春教授认为，数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。教学过程中，教师创设与学生的生活环境和知识背景密切相关的问题情境，有利于激发学生用数学的方式关注现实世界并开展探究式学习的兴趣，使学生更加乐于积极主动地投入到解决现实问题、建构相关问题解决模型的数学活动当中。

我们在推进三个年级主题课例研究的过程中，都十分注重创设生活化的问题情境，引发学生探究相关数学模型的欲望。例如，二年级的课例直接为学生创设了一个“鸡兔同笼”的问题情境：“鸡和兔关在同一个笼子里，数它们的头共有5个，数它们的腿共有14条，有几只鸡？有几只兔？”四年级和六年级的课例都由《孙子算经》中的趣题“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何”导入，激发学生的探究兴趣，引发学生的数学思考，让学生在思考中感悟数学文化的魅力。

（二）经历建模过程，形成数学模型

数学建模是数学与现实联系的基本途径，需要从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。课堂教学中，教师改变以往按不同题型把知识“注入”学生大脑的灌输式教学模式，通过创设生活化的问题情境，引导学生经历观察思考、整合已有知识经验、抽象归纳、自主探究问题解决方法、建构相关数学模型的完整过程，使学生可以逐步形成“对数学模型普适性的初步感悟”，发展模型意识。

“鸡兔同笼”出现在不同年级的教材当中，可以让不同年级的学生用适合他们的思维方式和方法思考和解决现实生活中的问题，实现解题方法的多样化。但是，再多样的解题方法，都离不开一个基本的数学思想方法，那便是假设的思想方法。

二年级重在运用画图法解决问题，同时将假设的思想方法渗透在画图方法之中。假设的思想方法是根据题目中的条件进行适当的假设，然后经由推理调整假设，最后得出正确答案的思想方法。在之前的学习中，学生虽然没有接触过假设的思想方法，但日常生活中却不乏“假设”经验，如把A假设为B进行角色扮演等。将假设的思想方法渗透在画图法当中，可以让画出的某个图示先全部假设为鸡或兔，再根据题意进行分析，从“是否符合题意”的角度对图示进行局部调整，使图示由“鸡”变“兔”或由“兔”变“鸡”，最终实现问题的解决。因为画图是以假设为前提的，学生既可以假设笼中全是鸡，也可以假设笼中全是兔。假设笼中全是鸡：因为“数它们的头共有5个”，所以可以先画5只鸡，根据生活经验给每只鸡画2条腿，如图1（1）所示，于是有10条腿;因为“数它们的腿共有14条”，所以可知少画了4条腿，根据生活经验把这4条腿平均分后分别添在2只假想鸡的身上，使2只鸡变成2只兔，这样便可得出符合条件的结论即3只鸡、2只兔。假设笼中全是兔：因为“数它们的头共有5个”，所以可以先画5只兔，根据生活经验给每只兔画4条腿，如图1（2）所示，于是有20条腿;因为“数它们的腿共有14条”，所以可知多画了6条腿，根据生活经验给3只假想兔分别去掉2条腿，这样就去掉了6条腿，将3只兔变成了3只鸡，于是可得出符合条件的结论即2只兔、3只鸡。

四年级学生重点学会用假设法解决问题，同时沟通画图法、列表法和假设法之间的内在联系。课堂中，教师先让学生尝试自主解决问题。学生根据以往的学习经验，呈现了画图法、列表法和假设法三种方法，如图2所示。教师通过师生交互、生生质疑的方式，组织大家逐一理解三种方法：先由学生介绍自己的方法，再组织课堂互动。画图法与之前二年级学生所学的方法一样，学生不存在理解和解题困难，且用假设的思想方法解决“鸡兔同笼”问题的思路非常清晰：“我先画8个圆表示8个头，假设全是鸡，每个圆下面就画2只脚，这样就有了16只脚。因为一共有26只脚，这样就还差10只脚，将这10只脚分别添加在5个头下，使5只鸡变成5只兔，这样就得出了3只鸡、5只兔。”列表法的学生，所列表格充分体现了“猜测+有顺序地调整”的列表思想：“先猜有8只鸡和0只兔，于是有16只脚;与实际比较，脚少了，保持头数不变，于是调整为7只鸡和1只兔，有18只脚……按照鸡数减1、兔数加1的方法依次调整下去，最终便可得出正确的结果。”随着学生的讲述，教师适时引导学生观察表中数据的变化，发现如下规律：“在鸡和兔的总头数不变的情况下，每减少1只鸡、相应增加1只兔，脚的总条数便相应增加2;反之，每增加1只鸡、相应减少1只兔，腳的总条数便相应减少2。”列表法为接下来用假设法解决“鸡兔同笼”问题做好了孕伏。假设法是对画图法和列表法的抽象和提升，是学生最不容易理解的解题方法。假设法要先对题目中的已知条件或问题做出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，基于数据之间的矛盾适当调整数据的变化，直至找出正确答案。该方法的解题核心是“由假找矛”，即从假设中找到条件给出的数量关系之间的矛盾。教学时，教师可以结合画图法，帮助学生理解假设法的应用：“假设笼子里全是鸡，就有2×8=16只脚，而笼子里实际有26只脚，这样就多出了26-16=10只脚，而1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，给每只鸡添上2只脚，这样就需要给10÷2=5只鸡各添上2只脚，5只鸡就变成了5只兔，那么鸡的只数就是8-5=3只了。”

作为小学阶段的最高年级，六年级的“鸡兔同笼”教学侧重引导学生沟通画图法、列表法、假设法、方程法之间的联系，感受方程法的优势，同时与中学学习做好衔接。方程法是把未知量设为字母x，然后把字母x作为已知量参与计算，根据等量关系列出等式求解的方法。该课教学，教师可以不限方法先让学生在课前自主解决《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题;基于学生给出的方法，在课中引导学生对比画图法、列表法、假设法三种方法，发现这三种方法的异同，发现三种方法都是“依据‘上有三十五头，先假设35只全是雉，这样就有70足，再把70足与总数94足进行比较，小了就调大、大了再调小”，而这正是解决这一类问题的必经过程“假设—比较—调整”的过程;最后组织学生将假设法与方程法进行比较，“假设法里的35×2在方程法里有没有”“假设法和方程法里都有‘94-70，它算的是什么”“方程法里的4x-2x表示的是什么？”，通过比较找出两种方法之间的内在联系，体会方程法直接、简单的优势。

三个年级的“鸡兔同笼”教学都教给了学生解决此类问题的基本策略和方法，并将假设的思想方法渗透其中，使学生学会了用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界，通过收集、整理、加工现实世界中的数学信息，经历了建立数量关系模型的过程，发展了数学思维，学会了运用不同的解题方法正确解决现实生活中的同一类问题，体验到了提炼和运用策略进行数学学习的成就感。从三年级至六年级，教师一步步引导学生对各种解题方法进行比较、反思，让学生从中找出正确的解题思路和最优的解题方法，不断完善相关数学模型，不断提高解决问题的能力。

（三）结合生活实际，拓展数学模型

新的模型通过解释、评价，将自然地纳入学生已有的认知结构，并化为学生自身的解题能力，使学生实现认识上的飞跃、能力上的提升。学生运用新的数学模型解答现实生活中的一类实际问题，从中体会到数学模型应用的价值。

在课堂教学中，我们为每个年级都安排了基于模型应用的适合该年龄段学生实际的如图3所示的变式练习题。二年级通过“自行车和三轮车的轮子问题”，四年级通过“龟鹤问题”“租船问题”，六年级通过“购物数量问题”等不同的变式呈现，使学生进一步体会到“鸡兔同笼”数学模型的应用价值：虽然问题的情境在变，但问题的本质——数量之间的关系不变。学生在解决这些问题的过程中，会逐渐体会到“鸡兔同笼”数学模型的典型意义，促进其对模型的内化，最终完成模型的意义建构与灵活运用。

众所周知，人的认识过程是不断由感性到理性再回到感性的循环往复、螺旋上升的过程。在经历了从具体问题中抽象和构建相应的数学模型以后，教师还应组织学生对所学的数学模型进行适度拓展，乃至进行更高层面的重塑，进一步促进学生核心素养的形成和认知水平的发展。数学学科原本就是在抽象、概括、模式化的过程中逐渐丰富和发展起来的一门课程，数学学习只有深入到“模型”“建模”的程度才能触及数学学习的本质，才能真正有助于学生数学核心素养的培育和发展。我们聚焦同一核心素养同一内容系列课主题教研，旨在通过同一内容在不同年级的教学实施，打通学生对数学思想方法理解和感悟的不同层次，不断提升学生的问题解决能力，发展学生的数学核心素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]王永春.小学数学核心素养教学论[M].上海：華东师范大学出版社，2019.

[3]李光华，李双娥.小学数学“数学广角”内容分析及教学策略[J].教学与管理，2019（1）：45-47.

[4]刘东旭.数学模型思想的渗透：以“鸡兔同笼”问题教学为例[J].教学月刊，2015（4）：41-42.

作者简介：黎益（1971— ），广西苍梧人，广西特级教师，高级教师，主要研究方向为学校管理及小学数学教学;林雯（1979— ），广西柳州人，一级教师，主要研究方向为小学数学教学。

（责编 白聪敏）