小学数学教材“式与方程”例题的比较研究

陈雨 梁宇

【摘要】本文立足小学数学教材“一标多本”、各版本教材各有独特之处的现实，以及“式与方程”教学内容在小学数学教学内容中的独特地位，对小学数学人教版教材和北师大版教材“式与方程”中的例题，从编排结构、选材背景、呈现方式三个不同的角度展开比较研究，以此丰富教师对“式与方程”教学内容的认识，为教师提高课堂教学效益提供参考。

【关键词】小学数学式与方程 例题 比较研究

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）22-0053-04

“式与方程”既是小学生数学学习的重要内容之一，也是小学生数学学习的一个重要转折点：这是小学生第一次接触代数领域的知识，并将由此开启数学学习从具体思维向抽象思维的过渡。因此，“式与方程”的教学内容应该引起小学数学教师的重视，在进入课堂实施教学之前务必做好充分的准备。

教材是重要的课程资源。当前，全国各地小学数学教材呈现“一标多本”格局。每个版本教材依照课程标准的要求彰显学科本质，同时在编写上各有其独到之处。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在内容标准部分，对“式与方程”明确了四点要求：在具体情境中能用字母表示数;结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示;能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用;了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。鉴于“式与方程”内容的重要性，为丰富教师对“式与方程”的认识，本文将聚焦“式与方程”中的例题，从例题的编排结构、选材背景、呈现方式三个不同的角度，对人教版（人民教育出版社出版的简称）教材和北师大版（北京师范大学出版社出版的简称）教材进行比较研究。

一、例题的编排结构比较

“式与方程”的内容在人教版和北师大版小学数学教材中的编排情况既有相同也有差异，具体表现在编排册次和内容特点两个方面，如表1所示。

（一）从编排册次及单元归类看，两个版本教材的编排明显不同

整体上看，人教版教材和北师大版教材关于“式与方程”的例题内容，所呈现的知识点基本相同，只是编排在了不同的冊次，且单元归类不同。人教版教材的编排相对集中，统一安排在五年级上册的第五单元，并将单元命名为“简易方程”，例题中涉及的知识点主要包括用字母表示数、理解方程的意义、了解等式的性质、解方程、用方程解决实际问题等，内容系统、全面，知识难度层层递进，符合学生的认知规律，容易被学生接受;北师大版教材将“式与方程”分成了两个部分，分别安排在四年级下册和五年级下册，四年级下册第五单元“认识方程”通过趣味性的儿歌激发学生对a只青蛙嘴、眼、腿数量的思考，编排的知识点包括用字母表示数、通过天平引出等量关系、用方程表示等量关系等，五年级下册第七单元“用方程解决问题”主要是将解方程和实际问题相结合。

（二）从内容特点看，两个版本教材编排的例题内容各有千秋、同中有异

首先，两个版本的教材都重视知识点“用字母表示数”。用字母表示数是“式与方程”整个内容的基础，学生能够灵活运用字母表示数才可以思路清晰地解决实际生活中的方程问题，因此，两个版本都将知识点“（用）字母表示数”独立编排在了第一节。人教版教材较重视学生学习的实际情况，考虑到了学生在日常生活中已经接触了字母知识，所以教材直接用含有字母的式子展开教学，引导学生在具体的生活情境中用字母表示数、结合所学运算定律和具体的生活情境用含有字母的式子表示简单的数量关系。北师大版教材更加重视提供生动、有趣的学习情境，引导学生结合具体情境，通过找规律探索例题中a只青蛙嘴、眼、腿的数量，体会用字母表示数的必要性和优越性，促进学生对用字母表示数的理解。

其次，两个版本的教材都强调以等式的性质为依据，直观地呈现方程。等式的性质是解决方程问题的重要途径，两个版本的教材都是通过引导学生观察天平左右两边物体的重量关系，帮助学生直观地认识方程两边同时加上或减去同一个数、乘同一个数或除以同一个不为0的数，方程仍然相等。人教版教材更加注重引导学生从整体上理解方程的意义和等量关系，逐步感悟方程的实质及其中所蕴含的等价思想、建模思想，突显利用等式性质解方程的优势。如：解方程x-a=b，可以在等式两边同时加上一个a，即x-a+a=b+a，再用x=a+b表示结果，清晰地表现出用方程解题的便捷。北师大版教材更加注重结合学生的经验，采用多种方式帮助学生抽象等式的性质，使学生更深刻地理解方程的概念和本质。

最后，两个版本的教材都关注用方程表示简单情境中的等量关系和用方程解决问题。列方程解决实际问题通常包括三个关键的步骤：一是根据题意找出等量关系;二是根据等量关系列出方程;三是通过计算求出方程的解，找到问题解决的正确答案。在列方程解决实际问题时，学生可以通过以上三个步骤清楚地理解实际问题中每个量之间的关系，认识到方程可以快速解决问题，从而感受到方程的便捷。人教版教材编排知识点“列方程解决实际问题”时，充分借助了实物直观、几何直观，发挥数形结合的优势，将知识点抽离，适当分散了难点，提高了教学效率，对学生加强了数学应用意识的培养。北师大版教材编排知识点“列方程解决实际问题”时，更加重视从学生已有的知识和经验出发，使学生实现自主理解，掌握相关解题技能，并借助不同的直观模型帮助学生分析问题、解决问题，从而发展学生的模型意识和数学思维。

二、例题的选材背景比较

例题的背景选择应适合学生的认知发展水平，情境创设应注重联系现实生活，激发学生的学习兴趣。本文将“式与方程”例题的背景来源分为三类，即真实情境、虚设情境和纯数学情境。所谓真实情境，指的是结合现实生活引导学生进行学习的情境;所谓虚设情境，指的是贴近现实生活、相对理想化的虚构场景;所谓纯数学情境，指的是用纯粹的数字、符号等相对抽象的数学语言所创设的学习情境。两个版本教材中例题的选材背景分布情况，如图1所示。

由表1、图1可知，人教版教材中例题的数量较多，知识点较细，且三種情境均有涉及，并在“用字母表示数”“解方程”“实际问题与方程”三处安排了较多的例题，适合大部分学生的学习需求;北师大版教材中例题的数量相对较少，基本每个知识点安排1个例题，虽然每个例题都设计了多彩的插图，没有出现纯数学情境，学生的数学学习更富于趣味性，但是因为例题的数量较少致使内容的跳跃性较大，部分学生的思维能力可能会跟不上。展开来说，两个版本教材在选材背景上的异同主要体现在三个方面。

首先，两个版本教材中的例题均有真实情境，且人教版教材中真实情境例题的数量更多。真实情境例题通过引导学生用数学的眼光观察现实世界，加深学生对生活的体悟。例如，人教版五年级上册第五单元第一节“用字母表示数”中的例2，创设的真实情境是“在月球上，人能举起物体的质量是地球上的6倍”，该情境中既包含了方程思想中的数量关系，又蕴含了一些对学生来说相对新颖的科学知识，可以使学生对现实生活产生更为深刻而独特的感受。

其次，两个版本教材中的例题均有虚设情境，且北师大版教材中一半的例题都采用了虚设情境。虚设情境通常以趣味性见长。例如，北师大版教材四年级下册第五单元例2中的虚设情境是“原来这只鹅的质量相当于2只鸭子和1只鸡的质量”，并用图片展示了这种情境下天平保持平衡状态的样子，为学生学习等量关系做好了铺垫。编者用日常生活中随处可见的鸡鸭鹅作“道具”并把它们分别放在天平的两边展开相应的数学学习，虽然未必合乎生活常理，但情境设置富于趣味。更重要的是，这样的虚设情境以实物的方式直观呈现，更有利于强化学生对数量关系的直观感受。

最后，北师大版教材中没有安排纯数学情境的例题，人教版教材中有3道例题涉及纯数学情境。显然，纯数学情境的抽象程度相对较高，对学生的数学认知水平的要求也相对较高。例如，人教版五年级上册第五单元例3的第1小题，通过用字母表示四年级下册第三单元已学的运算定律，让学生逐渐走近“式与方程”。

三、例题的呈现方式比较

两个版本教材例题的呈现方式有所不同，具体表现在知识的引入、问题的设置和插图的设计三个方面。

（一）两个版本教材例题中知识点“用字母表示数”的引入都采用了由个别到一般的思路

人教版教材中的例1用列表的方式表示了当小红1岁、2岁、3岁……时爸爸的年龄，并提出问题“你能用一个式子简明地表示出任何一年爸爸的年龄吗？”启发学生进行思考和尝试。接下来，教师可以将学生的不同方法板书出来进行比较，使学生从中感受“用字母表示数”的优越性。

北师大版教材中的例1用儿歌的形式数出1只、2只、3只……青蛙的腿数，然后设计问题1，让学生“用a表示青蛙的只数，用字母表示淘气说的儿歌”，使学生对有趣的儿歌进行深度思考，体会“字母表示数”的必要性。

（二）两个版本教材例题中的问题设置在数量上基本相同，但设计意图有所不同

两个版本教材例题中的问题设置在数量上基本相同，如人教版教材中每个例题包含了2—3个问题，北师大版教材中每个例题包含了3—4个问题。但两个版本教材例题中问题的设计意图明显不同。

人教版教材例题中设置的问题注重引导学生基于思考解决问题并进行小结。例如，人教版教材中的例4以倒果汁为背景，在例1至例3学习的基础上，直接给出已知条件和3个问题。问题1要求学生“用含有字母的式子表示大杯果汁还剩多少千克”，目的在于引导学生理解题目的含义，尝试独立表示出题目中的数量关系——对于这个问题，学生一般都会感到相对容易。问题2要求学生代入数据得出两级运算的值，使学生从中感受数学知识的实用价值——这对学生来说难度不大。到了问题3“想一想：式子中的字母可以表示哪些数？”，开始引导学生找出字母的取值范围，难度明显升级——学生可以在独立思考的基础上进行小组讨论，然后全班交流，得出结论并进行小结。

北师大版教材每道例题中的问题依照循序渐进的原则，至少设计了3个意图，即尝试、体会、总结。例如，北师大版教材四年级下册第五单元例3为了让学生体会方程的重要性，激发学习兴趣，总共设置了4个问题。问题1要求学生“说一说上面各图中的等量关系”，而上面三幅图其实代表了三种方程的类型：第一幅图用加法表示等量关系，第二幅图用乘法表示等量关系，第三幅图用两步计算表示等量关系。分层次设置情境的目的在于帮助学生由简到繁地理解方程中的等量关系，发展学生的条理化思维。问题2和问题3引入了用字母表示未知数、结合具体情境表示等量关系的方程思想——学生通过自主思考后，可以将用文字描述的等量关系转换成用含有字母的等式表示等量关系，从中体会方程的特点。问题4“上面的等式有什么共同点？与同伴进行交流”，以引导学生进行小结的方式，进一步加深学生对等式的理解，引导学生从前三个问题的等式中抽象出方程的特征，得出“像上面这样含有未知数的等式叫方程”的结论。

（三）两个版本教材例题中的插图设计

两个版本教材中的例题在插图的设计上都有色彩鲜明、联系实际生活的特点，能激发学生的学习兴趣，但插图的类型和数量呈现出不同的特点。根据功能的不同，我们将插图分为装饰型插图、表征型插图、解释型插图三个类型，其中：装饰型插图是用来美化课本，吸引学生注意力和学习兴趣的插图，对学生的数学学习没有实质性的帮助;表征型插图是指有助于学生学习概念性知识和事实性知识的插图;解释型插图是指将难以理解的知识用通俗易懂的方式展现出来的插图。三种类型的插图数量在两个版本教材例题中的分布情况如表2所示。

由表2可知，与人教版教材例题中的插图情况相比，北师大版教材例题中的插图不仅数量多且插图类型丰富，插图设计符合小学生的身心特点，能够带给学生更强烈的直观感受。

装饰性插图虽然于数学学习没有直接帮助，但对促进学生积极参与数学学习是有所帮助的。北师大版教材例题中使用了一个装饰型插图，用以拓展数学史上未知数的起源。虽然人教版教材例题中的插图数量也不少，但未使用装饰型插图。

两个版本教材例题中都使用了大量表征型插图。例如，北师大版教材四年级下册第五单元例4用8个天平插图分别表示天平左右两边的相等关系，使学生更容易理解方程中的等量关系。

解释型插图以人教版教材例题为多。例如，人教版五年级上册例7，小仙子用“等式就像平衡的天平，也具有同样的性质”这句简洁的话，便将平衡的天平同等式建立了直观的联系，使抽象的等式具象化，达到了促进学生理解的目的。

众所周知，数学知识比较抽象，而小学生的具象思维活跃、抽象思维并不发达，导致他们很容易对数学产生理解困难。教材将知识点的学习搭配上生动活泼的插图，更容易被小学生接纳和理解，也更有利于提高小学生对数学的学习兴趣。

综上所述，人教版教材和北师大版教材“式与方程”例题在选材背景上都注重结合生活实际，插图的设计都丰富多彩。人教版“式与方程”例题的编排相对严谨，知识点的覆盖面较为全面且知识点之间的过渡环环相扣，适合大部分学生的认知水平;而北师大版教材例题的编排存在知识跨度较大、部分例题需要结合习题对知识点进行补充的现象，留给了学生更多自主思考与探索的空间。教师在组织“式与方程”教学的过程中，可以基于两个版本教材不同的特点，结合本班学生的实际情况，选择合适的教学内容和内容呈现方式，将知识点系统地呈现给学生，给学生打牢该内容学习的基础。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]彭国庆，黎阳.“苏教版”与“人教版”小学数学教科书中“式与方程”的比较[J].内蒙古师范大学学报，2019，32（1）：110-114.

[3]陈智玲，梁宇.小学数学教材中“长度单位”的比较：以北师大版与人教版教材为例[J].广西教育，2021（5）：26-27.

作者简介：陈雨（1996— ），四川成都人，在读硕士研究生，研究方向为小学数学教学;梁宇（1978— ），广西贺州人，教授、硕士研究生导师，研究方向为小学数学教育及教师发展。

（责编 白聪敏）