基于代数思维探索“运算定律”单元整体教学路径

张平 裘一能

【摘要】本文以“代数思维”这个大概念为切口，溯源“运算定律”单元教学短板，重组“运算定律”单元教学序列，在确定重组思路、说明重组意图、以重组课例落实课堂教学五策略的过程中，紧紧握住本单元教学本质，以准变量思维引领学生由算术思维逐渐向代数思维过渡。

【关键词】代数思维 运算定律 准变量思维 单元整体教学

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）04-0073-03

人教版教材四年级下册第三单元“运算定律”主要教学加法的交换律、结合律以及乘法的交换律、结合律、分配律，用字母表征运算定律是代数思维在本单元的直接表达，这种表达方式在小学高年级乃至初中将被一直沿用。五条运算定律作为“数学大厦的基石”，在整个运算定律系统中发挥着重要的奠基作用。因此，本单元亦可称为运算定律教学的“种子单元”。

人教版《义务教育教科书教师教学用书·数学四年级下册》（以下简称《四下教学用书》）在“运算定律”单元的备课资料中，提供了一篇《代数思维及其教学》的文章，意在提醒教师关注本单元教学中的代数思维渗透。调查发现，多数教师并未认真阅读此文，自然也没有关注到代数思维这个概念。鉴于“运算定律”单元在运算定律教学中的独特地位，本文将以“代数思维”这个大概念为切口，揭示本单元知识间的纵横联系，进而构建“运算定律”单元整体教学的基本路径。

一、单元整体教学的价值探讨

数学学习内容的本质决定了教学的主旨和方向。我们认为，“运算定律”单元学习内容与代数思维有极大关联。首先，所谓代数，顾名思义就是用字母或图形符号等表示数。其次，代数思维与算术思维的本质不同在于：算术思维是从条件出发，利用具体的数量计算来记录思考的过程，左边表示具体的计算，右边则是计算的结果;代数思维研究的对象则是代数式及其运算与变换，是通过联系条件与问题，利用数量相等建立关系并将这种关系转化为表达式结构的过程，其数学本质是对等关系。因此，代数思维既有代数的结构化和符号化特点，又有数学思维的抽象化和概括化特点。从单元整体教学出发，本单元的教学价值主要体现在两个方面。

（一）突显基础目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版数学课标》）关于第二学段（4—6年级）课程内容“数的运算”中有如下表述：探索并了解运算律，会应用运算律进行一些简便运算。将运算律与简便运算相提并论，关注了运算律的应用。人教版教材采用不完全归纳法抽象概括五条运算定律，并用字母式表征运算定律，体现了代数思维中的结构化和符号化特点，为定律系统建立了基本模型。

（二）设计分层目标

从基础目标出发，设计“运算定律”单元的第一层次目标，应是让学生学会在一组相等的式子中厘清对等关系，发现对等思想的本质，从中归纳概括相应的运算律;第二层次目标，应是让学生学会灵活运用运算定律进行简便计算。

二、“运算定律”教学的短板溯源

（一）“运算定律”教学短板分析

在“运算定律”单元教学中，一线教师更加注重引导学生理解整数四则运算的意义，体会运算之间的关系，选择合理的算法运用运算定律，而往往忽视了运算定律产生及运用的前提是式与式之间的对等关系。

人教版教材将“运算定律”单元排在了“四则运算”单元之后，目的就是告诉师生，运算定律必须遵循四则运算规则，在对四则运算的原式进行变式的过程中必须确保变式前后式与式的对等关系。然而，教师在教学中因为忽略了对“对等关系”的强化，导致学生在进入简便计算后很容易产生各种认知冲突。如，很多小学生会有这样的疑问：35×49+35×51按照原先讲的四则运算的顺序，应该先计算乘法，再将它们的积相加;为什么到了简便计算时又可以先算加法了呢？更多学生在学了运算定律和简便计算后，在进行一般的四则混合运算时错误率反而升高，原因竟是“乱用定律”“强行简便计算”所致。

毫无疑问，灵活运用运算定律是数学教师对学生的共同期盼。但现实是，很多学生不会灵活运用運算定律。于是，教师落入俗套的做法便是多练，试图以练促活，或者借一题多解训练学生灵活运用运算定律进行简便计算的技能，但结果总是不尽如人意。

（二）“运算定律”教学短板归因分析

从教材层面讲，“运算定律”单元编排体系清晰。8个例题都是从情境出发，通过不同方法的列式计算，得出两个相等的式子;再通过类似例子的枚举，归纳出运算定律。这样的编排，最显性的体现就是引导教师从形的角度入手，带领学生发现规律，得出定律，形成建模。而对等思想的呈现与字母式归纳成模只是浸润在教材当中，代数思维的培养相对隐蔽，容易被忽略。

从教师层面讲，多数教师对“运算定律”的教学是建立在经验与目标表象之上的，很少去深层次理解运算定律背后所蕴含的数学思维的本质。

三、单元整体教学的序列路径

（一）教学重组的基本思路

首先，立足学科高度，从具体内容出发确立向“代数思维”过渡的大概念，形成由“对等”主线贯穿的单元知识体系。

其次，根据《2011年版数学课标》要求和学情分析，借助代数思维早期孕伏阶段的学情基础，在单元整体教学中启用准变量思维，解决算术思维向代数思维过渡的难题。准变量思维的主要对象是非符号化的语句或表达式，其本质是一种整体性思维、关系性思维、结构性思维，而运算定律中的对等思想便是关系思维的一种。如，第一学段的人教版教材中便已经孕伏了与交换律、结合律、分配律相关的一些练习，如图1所示。

最后，运用符号系统促进代数思维在“运算定律”单元整体教学的落地实施。

（二）重组序列的课时说明

“运算定律”单元，《四下教学用书》建议用7个课时。在“代数思维”大概念引领下，我们将本单元的学习内容划分成对等中的交换律（第一课时）、对等中的结合律（第二课时）、对等中的减法和除法的简便计算（第三、第四课时）、对等中的分配律（第五、第六课时）四个学习板块，并另辟了一个运算定律融合练习板块（第七课时），如表1所示。

教学内容重组，希望达成如下教学意图：第一，让准变量思维架接交换律思维的困点。“带着符号搬家”是连加连乘与减法除法交换位置进行计算的有效方法。通常情况下，加法和乘法交换对等，学生比较容易接受;但减法和除法中的交换对等，学生较难处理。而准变量思维有助于学生突破减法和除法交换对等的困境。第二，让准变量思维点亮结合律思维的盲点。去、添括号是加减混合运算、乘除混合运算中的“结合”盲点，同号结合易，异号结合难。借助准变量思维连接，找准去、添括号后的相等关系，是结合律教学的重点。第三，让准变量思维突破分配律学习的难点。分配律的运用一般包含着几个几加减几个几“等于”几个几的准变量思维内涵。找准相同因数个数相等由浅入深地突破分配律的内涵，消除为何乘法分配律中有加减的疑惑，感受分配对等下的定律。

重组后的教学，应紧紧围绕“代数思维”的大概念，在准变量思维牵引下，让学生感受交换、结合、分配等方法，灵活运用“凑整”“相消”等计算工具完成巧算，得出相应的运算定律，进而形成“内核本质出发→实践运用落实→代数符号表征”的教学序列。

（三）重组教学的课例枚举

基于代数思维进行运算定律单元整体教学，我们以“分配律”教学为例，探讨如何在教学实践中落实我们的前期思考，让“运算定律”单元整体教学走在代数思维相伴发生的路上。

策略一：唤醒早期代数思维经验，形成对对等的直视。

出示情境：在嘉年华活动中买套环，购买红色125个、蓝色25个，每个4元，一共多少钱？

师：你会求吗？会用几种方法求？（要求不计算，只列式）

学生呈现两种方法：125×4+25×4和（125+25）×4。两种方法写成等式是125×4+25×4=（125+25）×4。

師：“相等”体现在哪里？

生：都是求150个4，两个式子相等。

设计意图：以上情境，用于唤醒学生早期的代数思维经验。要求只列式不计算，旨在将学生的关注点引向式子之间的关系：如若进行结果计算，容易对关系探索产生负迁移;弱化因果计算，便可以让学生集中精力从表达意义上感受式与式之间的相等。

策略二：相等关系多层表达，建立对对等的代数深思。

师：你能用画图、写意义、算结果、建联系等多种方法来表示这两个式子都是在求150个4吗？很直观地让我们看到这两个式子确实存在相等的关系。

学生实践，表达交流。

设计意图：“相等”作为运算定律应用的首要条件，可以通过画图、写意义、算结果、建联系四个不同的角度加以说明。这种相等思维超越因果，构成联系，是对对等的代数深思。

策略三：代数思维一举勾连，跨越式发展形成符号表征。

师：你能举一个类似的例子吗？

生1：苹果和梨各5千克，苹果3元一千克，梨8元一千克，共多少钱？

生2：客车每小时行65千米，货车每小时行36千米，两车同时出发，7小时后相遇，两地相距多少千米？

……

让学生先列出等式，再交流下面的问题：你能用一个式子把这些例子中所要表达的关系表示出来吗？

生顺利列出等式（a+b）×c=a×c+b×c。

设计意图：每个例子都能形成一个等式，完成关系的勾连。一组等式用字母式表征，则是对式与式关系的勾连。代数思维是形成勾连的前提，字母式表示运算定律是形成勾连的结果。

策略四：准变量思维助力，搭建计算思维向代数思维过渡的桥梁。

师：式子对等在计算上有用吗？

生：可以让计算简单。如65×7+35×7，先乘后加计算复杂;（65+35）×7，先加后乘容易。

师：101×36，你能在找相等的帮助下进行计算吗？

生：101=100+1，式子就成了（100+1）×36，分配计算就简单了。

设计意图：小学数学中经常用到准变量思维。101=100+1这类对等的式子是运算定律建构的前提。在课堂教学中强化师生讨论，对学生进行准变量思维的启发、引导，有助于学生从计算思维向代数思维顺利过渡。

策略五：多层次递进练习，代数思维助推分配律活用。

层次1.判断下面哪些算式运用了乘法分配律。

（1）132×3+132×7=132×（3+7）

（2）25×（4×6）=25×6×4

（3）9×a+a×6=（9+6）×a

层次2.根据运算定律填空。

18×（11+12）=18×（  ）+12×（  ）

52×a-（  ）×b=（  ）×（a-b）

层次3.填空。

（1）在（  ）里填上合适的数，并进行简便计算：25×（  ）+43×（  ）

（2）在横线上填写数与运算符号，使式子能简便计算：25×43

设计意图：层次性练习由浅入深，在代数思维的助推下，学生灵活运用乘法分配律的能力得以形成。

总之，基于代数思维这个大概念开展“运算定律”单元整体教学，握住的是本质核心，迈向的是深度思维，实现的是教学通透。

参考文献

[1]李星云.论小学生代数思维的培养[J].广西教育，2019（40）：65-68.

[2]顿继安，何彩霞.大概念统摄下的单元教学设计[J].基础教育课程，2019（18）：6-11.

作者简介：张平（1983— ），小学一级教师，研究方向为小学数学教学;裘一能（2002— ），在读本科，研究方向为小学数学教学。

（责编 白聪敏）