引领小学生品味“哥德巴赫猜想”的途径

【摘要】本文论述教师在数学文化视角下，引领小学生品味人教版小学数学五年级下册教材“你知道吗？”栏目中的“哥德巴赫猜想”的途径，认为教师可以通过趣味游戏引入教学，引导学生大胆猜想，让学生感悟发现规律的一般方法，运用数学家的故事激发学生发愤图强、刻苦学习。

【关键词】小学数学 哥德巴赫猜想 数学文化

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）29-0118-03

“哥德巴赫猜想”是人教版小学数学五年级下册教材“你知道吗？”栏目的一个数学文化内容。如果教师只按课文文本来品读“哥德巴赫猜想”，会导致教学停留在表层，未能突显教材编写意图。笔者认为，教师应该从数学文化的视角引领学生去品味“哥德巴赫猜想”中蕴含的数学思想、数学精神，让学生修养品德、提升思维、培养精神和陶冶性情。

一、教材分析与学情分析

数学文化能起到教养品德、提升思维、培养精神和陶冶性情的作用。我们把数学当作“日常生活的工具”，关注数学对人类物质生活所带来的影响;把数学当作“思维的体操”，重视数学文化对人的思维方式的影响;我们把数学当作“科学精神”，重视数学对人类精神方面产生的巨大作用，特别强调数学文化对人类精神生活的重大影响。齐民友先生认为，数学精神是“彻底的理性探索精神”，培养科学精神是中小学数学课堂的灵魂。

“哥德巴赫猜想”是小学五年级“因数与倍数”单元末尾的内容，学生已经能正确分辨质数、合数，对于学习“哥德巴赫猜想”有一定的知识与技能基础;人教版小学数学教材设置了“找规律”的内容，五年级的学生已经初步具有通过“观察归纳”找规律的能力和经验，也能感悟到从特殊到一般的“归纳思想”，知道“归纳”是一种合情推理，数学结论的真理性必须经受极为严格的逻辑和实践的双重检验。

我们从表层知识（基础知识与基本技能）、深层知识（数学思想与数学方法）和数学文化（数学学科精神等）三个方面来阅读教材中的“哥德巴赫猜想”文本，确定本节课的教学目标如下。

（一）经历“哥德巴赫猜想”的发现过程，理解“哥德巴赫猜想”的具体内容，感悟从特殊到一般的归纳推理思想，学会用“观察归纳”找数学规律。

（二）沿着数学家探索“哥德巴赫猜想”的历史足迹，培养“理性探索”和“严谨求真”的数学精神。

（三）了解陈景润甘于清贫、耐受寂寞，醉心科学探索、执著追求真理，在逆境中忘我钻研，勇攀科学高峰的精神，形成发愤图强、艰苦攻坚、科学报国的意愿。

（四）了解中国数学家在探索“哥德巴赫猜想”中取得的享誉世界的成就，增强民族自豪感和爱国主义情感。

教学重点：感悟和发现“哥德巴赫猜想”的“观察归纳”方法;培养“理性探索”和“严谨求真”的数学科学精神。

教学难点：感悟数学思想和方法，理解“哥德巴赫猜想”是世界著名难题。

二、教学过程

（一）趣味游戏，观察猜想

教师通过一个小游戏引入课堂主题，游戏规则：两人一组，一人给出大于2的偶数，另一人找出和为这个偶数的两个质数。（如图2）

设计意图：好奇是兴趣的开始，兴趣是最好的老师。通过游戏引入新課，符合小学五年级学生的认知特点，能让学生将注意力快速转移到课堂学习中。

师：在刚才的游戏中，我们列出了很多等式。10=3+7，28=11+17，12=7+5，100=3+97，18=7+11，36=7+29……观察这些等式，它们有哪些共同的特点？

（预设：等式左边是偶数，等式右边是两个质数的和）

师（问题1）：你能从这些等式中发现什么“规律”？如何表达？

（师生共同概括规律：每个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和）

师：270多年前，哥德巴赫凭借着对数学敏锐的洞察力，最早从这些等式中间归纳发现了这一规律，因此人们把这一规律称作哥德巴赫猜想。它还被高斯誉为“数学皇冠上的明珠”。

师：很多人曾经被忽悠说证明哥德巴赫猜想就是要证明“1+1=2”，更过分的是很多人就相信了，老师曾经也信了。现在你学习了“哥德巴赫猜想”，你还会被忽悠吗？

师（问题2）：“1+1”是什么？

设计意图：引导学生用观察归纳的方法厘清事实、概括经验、发现规律，学生开始了探索数学规律的过程。

（二）感悟思想，掌握方法

师（问题3）：在数学学习中经常有找规律的活动，我们经常使用的方法有哪些？

（预设：观察、实验、归纳、类比、直觉等）

师（问题4）：发现哥德巴赫猜想也是在“找规律”，我们所使用的数学思想方法是哪一种？

（预设：观察归纳）

师：著名数学家欧拉告诉我们一个秘诀——数学结论是靠观察得来的。观察归纳是小学阶段数学学习“找规律”活动中最常用的方法。

师（感悟）：我们在学习和研究数学的过程中，要学会观察、学会归纳，掌握数学发现的艺术。“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。

事物的普遍性往往寓于事物的特殊性之中。归纳是从特殊到一般的推理思想，也是逻辑推理方法，其一般形式如图4所示。我们是从一些特殊事例中，通过观察归纳得到了一个普遍规律性的结论。教师可以通过具体的故事让学生对此产生直观的感受。

师：我们来听一个小故事。水果店有一筐果子，一位顾客品尝第一颗果子是甜的，尝的第二颗果子也是甜的，又尝了第三颗果子还是甜的，就下结论说这框果子都是甜的，把它全买回去了。很遗憾，这位顾客回去后发现有一些果子不甜，而且很酸。

师（问题5）：你从这个故事中受到什么启发？有些什么感悟？

（预设：这位顾客用归纳的方法得到了结论;由归纳得到的结论只能算是一个猜想，可能是正确的，也可能是错误的）

师（感悟）：我们发现一个规律后，还需要弄清其真伪。也就是说，我们还必须要做两件事，第一件事是再继续研究一系列的特例，或许能找到一个使结论不成立的反例，从而推翻我们之前的猜想，又或许在更多的特殊情况中该猜想仍被证实，猜想就变得更加可靠。但是“更加可靠”还不是“一定可靠”，仍需要去证明，所以我们要做的第二件事就是进行严密的推理论证，证明发现的猜想是真理，从而形成结论。

设计意图：学之道在于“悟”，“悟”是学习的一种较高境界。教师通过数学家的故事以及日常生活中买果子的故事，让学生在听故事的过程中“悟”出方法，在学习过程中主动领会，内化吸收。

（三）理性探索，严谨求真

师（问题6）：为什么一个小学生能发现也能明白的“哥德巴赫猜想”成了数学领域的一座可望而不可及的高峰，成为世界上著名的数学难题？它到底难在哪里？

师：哥德巴赫在提出猜想后也应该做这两件事，要么证明它，要么找个反例推翻它。但是哥德巴赫经过了长时间的努力都没有成功证明这一猜想，于是他又验证了很多偶数，发现猜想也都成立，没能成功找到反例推翻猜想。他觉得很困难，于是给他的好友欧拉写信求助。欧拉在回信中说，“我相信这个猜想是真的，但我也无法证明它”。著名的数学家欧拉都没有办法证明这一猜想，该猜想立马引起了各国数学家的注意。此后，数学家们争先恐后地研究这一猜想。我们来了解一下数学家们探究“哥德巴赫猜想”的历史足迹吧。（如图5）

师：270多年过去了，许多数学家企图证明这个猜想，但是直到今天为止也没有人成功。于是，有人称哥德巴赫猜想是数学领域的一座可望而不可及的高峰。

设计意图：引导学生学习数学家身上“理性探索”“严谨求真”的数学精神，明确数学结论必须经受极为严格的逻辑和实践的双重检验。在数学探究活动中，要养成良好的“说理”习惯，发展理性思维，铸就“追求真理”的精神。

（四）精神偶像，时代典范

师：20世纪50年代以来，我国著名数学家华罗庚、王元、陈景润等在证明“哥德巴赫猜想”方面做了很多努力，取得了非凡的成就，享誉世界，这是中国数学的骄傲。1973年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，即“一个大的偶数=1个质数+不超过2个质因数的乘积”，引起世界巨大轰动，这个结果距离哥德巴赫猜想的最后解決只有一步之遥，陈景润的这一成果至今仍在“哥德巴赫猜想”研究中处于世界领先水平。

徐迟的《哥德巴赫猜想》一文详细描述了陈景润餐霜饮雪、踏破铁鞋、无尽攀登的故事。陈景润白天在图书馆的小书库一角，夜晚在小房间煤油灯底下，潜心钻研，光是计算的草纸就足足装了几麻袋。经过10多年的推算，在1973年，《中国科学》发表了他的论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》，取得享誉世界的辉煌成就。一夜之间，陈景润家喻户晓，成了那个时代的精神偶像。2018年，陈景润入选100位改革开放杰出贡献人员名单，被誉为“激励青年勇攀科学高峰的典范”。

设计意图：学生了解中国数学家在探索“哥德巴赫猜想”中取得的享誉世界的成就，增强民族自豪感和爱国主义情感。我们如今仍然需要陈景润“甘于清贫、耐受寂寞，醉心科学探索、执著追求真理，在逆境中忘我钻研，勇攀科学高峰”的精神，教师以此激励学生发愤图强、艰苦攻坚、科学报国。

学习“哥德巴赫猜想”后，学生认识到，体会观察、归纳是寻找数学规律的最常用的方法;通过了解“哥德巴赫猜想”的历史足迹，学习数学家身上“理性探索”“严谨求真”的数学精神;了解我国著名数学家华罗庚、王元、陈景润等在探索“哥德巴赫猜想”方面取得的非凡成就，增强民族自豪感;“激励青年勇攀科学高峰的典范”陈景润精神激励学生发愤图强、刻苦学习，报效祖国。教师从数学文化的视角出发，培养了学生的数学思想与数学精神，符合发展学生核心素养的教学要求。

注：本文系桂林师范高等专科学校第一批“课程思政”教育教学改革示范课程“高等数学与小学数学理论基础”（JG201910）的研究成果。

作者简介：李织兰（1967— ），女，广西百色人，副研究馆员，研究方向为教育管理、数学教学、图书馆学。

（责编 刘小瑗）