用有效的学习活动撬动空间观念的发展

赵延龙

摘   要：在图形的教学中，不合理的学习活动设计会导致学生对图形本质特征的理解浮于表层，既不利于学生知识技能的形成，又阻碍其空间观念的发展。以“用圆设计漂亮的图案”一课为例，对“如何设计有效的学习活动发展学生的空间观念”这一主题进行课例研究，通过教师设计学习活动、上课、反思，再设计、再上课、再反思的完整过程，记录了其走出困惑、做出改变的历程，力图设计具体的、有效的学习活动使学生能够感悟理解图形本质特征，撬动学生空间观念的发展。

关键词：小学数学;图形教学;学习活动;有效性;空间观念

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）16-0041-04

一、课例研究的主题和内容

“用圆设计漂亮的图案”是人教版教材2011年修订后新增的内容，是在学生认识了圆，理解了圆的特征，初步掌握了用圆规画圆的基础上安排的一个拓展练习活动。教材的编排思路是先以分解的步骤展示了如何利用圆的特征一步步画出四个花瓣式的漂亮图案。在此过程中需要学生学会确定某个圆或半圆的圆心和半径，这也是圆心和半径分别确定圆的位置和大小的最直接应用。此外还需添加一些辅助线，体现了很强的综合性。

教材为什么要新增这个内容呢？本节课又有着什么教学价值呢？带着这样的思考进行了第一次教学，笔者把教学目标定为：能掌握熟练画圆的技能，能欣赏到图案的美。于是，设计了三个学习活动：活动一，欣赏图案，观察分析图案是怎样一步一步画出来的;活动二，动手画一画，体会每一步画法的道理;活动三，梳理画图步骤用规范的语言说一说。

学生已经观察过画图步骤并且也已完成动手操作的活动，表面看课堂上学生画图的积极性很高，画出的每一幅图案都很标准规范，好像这节课的教学任务完成了。但是再让学生独立画这幅擦除辅助线的图案时（图1），77.5%的学生都不会画了，问题出在哪了？笔者百思不得其解，是因为这个图案太复杂了吗？表面看这个图形有点复杂，但是其中的每一个圆都直观可见，相比于花瓣式的图案简单多了。学生经过刚才的画图活动不是已经熟练掌握了画圆的技能了吗？为什么面对新的图案不会画了呢？面对新的问题就不会解决了呢？这节课的价值仅仅只是让学生掌握画圆的技能就行了吗？带着这种思考笔者再次走进教材，对“圆”这一单元的知识进行了梳理，发现教材中无论是圆的认识，还是对圆周长、圆面积的学习，都出现了复杂图形的身影，在编写意图中出现最多的要求就是提高学生识图能力和分析能力。那么提高学生的识图能力和分析能力是本节课的教学价值吗？

一道题的出现使笔者更加坚定了自己对这节课的认识。已知圆的半径是1米，你能求出正方形和圓之间阴影的面积吗（图2）？

全班65%的学生因为只知道圆的半径，而不知道正方形的边长，无法求出正方形的面积，所以无从下手，不知该怎么解答。当看到可以连接正方形的对角线，把正方形看成两个三角形时（图3），才恍然大悟。

这道题引发了笔者的思考：由只能看成一个正方形到可以看成两个三角形这之间的思维断层到底是什么呢？这不就是学生观察、分析复杂图形特征时联系能力的缺失吗？这种能力的缺失正是学生的空间观念没有得到相应发展的具体体现。而发展学生的空间观念不正是“用圆设计漂亮的图案”一课所要承载的教学价值吗？

而“空间观念”恰恰是《义务教育数学课程标准（2011 版）》中需要培养的十大数学核心素养之一，同时也是小学数学教学的重要组成部分。学生本身生活在现实空间，引导他们熟悉、探索、知晓这一空间有益于他们更好地生活、学习与实践，同时空间观念也是创新能力培养的基本要素，对培养学生的创新精神有着十分重要的影响。

所以笔者选择了“用圆设计漂亮的图案”这一课来进行如何设计有效的学习活动发展学生的空间观念的研究。

二、课例研究过程

（一）对无效学习活动设计的反思

在第一次教学中笔者设计的学习活动只是让学生按照教材的步骤画出图形来，虽然学生掌握了画圆的技能，也欣赏了美丽的图案，但是未能有效地培养他们对复杂图形进行分析的能力。学生不会分析图形，面对新的图形，当然无从下手了，几何与图形的教学中所承担对学生空间观念的培养就更不可能在这样的学习活动中落实。设计怎样的学习活动才能提高学生分析复杂图形的能力呢？通过查找资料，从范希尔夫妇的几何思维发展理论得到启示。该理论揭示了小学生几何思维水平的发展，既是循序渐进的，又是不连续的，即学习进程中有跳跃。

在学生刚刚掌握了用圆规画圆的情况下，就让学生画出如此复杂的花瓣图案，并且还要添加辅助线，这对大部分学生来说无疑是具有较大困难的。那可不可以为学生设计低水平的画图活动作为铺垫来自支撑起学生这种分析能力的提升呢？为此笔者又进行了第二次教学。

（二）带着思考再出发

活动一：按要求画图

1.你能以线段AB为直径画一个圆吗？

A                      B

2.你能画一个这样的图形吗？

这一活动是在第一次教学后新增的铺垫活动，第一个画图内容主要是让学生掌握已知直径怎样画圆，第二个画图内容呈现给学生较直观的复杂图形，培养学生初步的分析能力，这一活动旨在铺垫相关的技能和分析意识，为学生画出更复杂的花瓣图形做支撑。

活动二：独立尝试画图

此活动由第一次教学时的“观察教材画图步骤进行画图”改为“独立尝试画图”。给学生创造独立观察分析的空间，在探索中提高对复杂图形的分析能力。

活动三：引导学生共同分析图案的构成

以学生在独立画图时产生的问题为线索，师生在共同解决问题的过程中完成对图形的分析，提升学生分析问题的能力。

活动四：分享梳理画图过程

学生以规范的语言梳理画图的步骤，巩固对图形构成的认知，提高学生对复杂图形的整体分析意识。

通过课例组成员对学生学习情况的观察，课上出现了不少问题，这些问题促使着笔者再次对第二次教学进行反思：

活动一的设计是为了帮着学生建立分析复杂图形的基础，但是铺垫来铺垫去，并没有为学生画出复杂的花瓣图形起到强有力的支持作用，反而因为花费了较长的时间，导致后面的活动没有足够的时间让学生来尝试分析梳理。

笔者所设计的过多铺垫性的学习活动剥夺了学生完整经历尝试解决、暴露困难、战胜困难这一认知过程。课例组经过讨论，决定为学生设置独立画图这一大活动，大活动中再设置阶段性的小目标，学生在完成小目标的过程中，体验尝试、暴露困难、战胜困难这一完整的认知过程。

（三）把准学情再上路

课例组随机抽取了六年级某班12个学生进行了一次模拟前测，并安排了相应的学习活动。

1.独立尝试。要求：先仔细观察花瓣图案，再想一想应该怎么画，你在画哪一步的时候卡住了，并把遇到的困难记下来。

观察实况：学生能够积极主动地尝试画一画、试一试，认真地进行分析。

2.分享困难。要求：把自己在尝试画图中遇到的困难分享给大家。

观察实况：学生能分享自己在画图过程中遇到的困难。通过交流，发现学生出现最多的问题是不能确定花瓣半圆图案圆心的位置和半径的大小。

3.解决困难。要求：找到半圆的圆心、半径，并画图。

观察实况：在明确花瓣图案是由四个半圆组成的，只要找到半圆圆心的位置和半径的大小就能画出图案这一任务后，学生通过动手操作能够确定圆心位置和半径大小从而解决问题。

4.交流分享。要求：同桌之间交流说一说你分析这个图案的过程，并分享梳理画图的步骤。

观察实况：学生在讨论和交流中不仅可以解决自己遇到的疑问，梳理分析的思路，更能在分享中产生思维的碰撞，提高自己几何语言的表达能力。

最后，12位学生都会画图了。

这次模拟前测给了笔者很大的信心，从而深刻地认识到：没有铺垫，有效的学习活动设计也可以让学生完成学习任务，只要为他们架构起有效的学习活动，学生完全有能力完成。于是笔者进行了第三次教学。

（四）信心满满再实践

出示情景图（图4）：你能画出广场上的图案吗？

在这一大空间背景下设计了三个连续的小活动：活动一，自主尝试画图;活动二，聚焦解决问题;活动三，交流分享。

设计意图：创设绘制廣场图案情景，让学生完整经历尝试解决、暴露困难、战胜困难这一心路历程，从本质上体会圆的特征，深刻认识“圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小”。提高学生对复杂图形的分析能力，发展学生空间观念。

课堂观察：在活动一自主尝试画图中，可以看到学生积极地动手尝试画图，他们会遇到很多挑战，并且记录了各种各样的问题。在活动二聚焦解决问题环节，虽然学生遇到的问题各不相同，但通过梳理，所有的问题都会聚焦在半圆的圆心和半径如何确定这一根本性问题上。

解决问题过程中，为了排除复杂图案对学生的干扰，让他们只关注其中的一个半圆，怎样确定圆心和半径呢？在活动三交流分享中，同桌先交流分析过程，然后梳理画图步骤并分享，在全班分享互动过程中，可以看出学生每一步是怎么画的，为什么要这么画，产生更清晰理性的认识。

通过观察学生画出的一幅幅漂亮的图案，能看到每一位学生思维分析的轨迹，每一幅图案都渗透着学生分析图案时的逻辑美。虽然每一幅图案都是一样的，但每一幅图案都记载着不同的思考过程，每一幅图案都在诉说着学生分析复杂图案能力的提高。

有效的学习活动可以激发起学生的学习兴趣，学生原来对圆的本质特征理解比较肤浅。经过这节课的学习，他们才真正体会到“圆心决定位置，半径决定圆的大小”这句话并不是说起来那么简单。在活动中，他们才真正认识了圆的本质特征，对复杂图形的分析能力也随之提高了，空间观念的发展也在活动中得到切实的落实。

三、课例研究结论

经过几轮的探索和实践，这次课例研究让笔者收获颇丰，应该设计怎样的学习活动撬动小学生空间观念的发展呢？

（一）设计有效学习活动的前提是教师对教材的精准把握

教师是活动设计的主导者，而教材又是教师设计活动的主要依据。教师对教材的精准把握是设计有效教学活动的基石。如果教师在理解教材时，忽略了要培养学生的分析能力、要发展学生空间观念这一教学目标，有效的活动设计就无从谈起。就如笔者第一次教学时，只注重对学生画圆技能的培养，根本谈不上发展学生的空间观念。

（二）学习活动的设计应遵循学生几何思维发展的规律

学生几何思维发展的规律是客观存在的，学习活动的设计要遵循学生思维发展的水平。立足于学生已有的对图形的认知，设置恰当的梯度空间，让学生经过一定的努力可以实现目标。在活动中让他们经历发现问题、勇敢面对问题、积极解决问题、直到战胜问题这一有价值的体验过程，从而发展他们的空间观念。

（三）学习活动的设计要立足解决核心问题

任何学习活动都有一定的目标指向性，而目标的确立要指向学生在发展空间观念时真正存在的问题。例如学生在画花瓣图案的时候，遇到的真正问题是无法找到半圆的圆心和半径，这就需要设计活动让学生发现并聚焦到这一问题上，让学生解决这一问题。

（四）学习活动的设计要敢于让学生跨越障碍

在活动设计时不要只关注学生基础知识是否掌握牢固，从而给学生铺垫过多，以至于最后反而起到了负面作用。要让学生发现障碍，勇敢面对并且跨越障碍，经历完整的过程，在过程中提高对复杂图形的分析能力，在过程中真正发展学生的空间观念。