整体视域下小数教学“三维体系”的构建

曹志国

摘 要：数的认识是学生学习数的运算、研究数量关系的重要基础，而小数的认识是其中的核心内容之一。小数的教学，要站在更为宏观的层面，基于整体性视域，树立结构化的意识，关注数系、计数法和运算规则“三维体系”的构建，促进学生的全面与深度认知，助推良好数学素养的形成。

关键词：小学数学；小数教学；整体视域；结构体系

中圖分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）13-0026-03

数的认识是学生学习数的运算、研究数量关系的重要基础，而小数的认识是其中的核心内容之一。《义务教育数学课程标准（2011版）》在课程目标中提出了经历从日常生活中抽象出数的过程，初步认识小数，理解小数的意义，掌握必要的运算技能等目标。广大教师在教学时，一般只将小数的意义作为核心内容，并将读写、大小比较、四则计算等作为重点内容展开教学。

然而建构主义认为：“认识必定是一个整合的过程，即如何把新的对象纳入已有的认知结构之中，从而使全部知识汇成一个整体。”笔者以为，要真正实现课标中提出的理解小数的意义等目标，还需要“跳出”小数开展小数教学，基于整体性视域，站在更为宏观的层面，适时建构小学与整数、分数等之间的联接，呈现更为系统的知识结构，促进学生认知结构的形成。

一、关注数系的构建

在中小学数学中，从自然数开始到复数集的建立，数系经历了四次扩充（主要是逐步添加元素并强调运算可施行），其扩充过程是：自然数（添正分数）→非负有理数（添负有理数）→有理数（添无理数）→实数（添虚数）→复数。数系的每一次扩充，都扩大了数的应用范围。小数和分数的扩充，增强了现实世界中对数量表达的能力，使整体中的“部分”在无法用自然数表示时，有了刻画的方式，也使除法运算得以封闭。

其实，分数与有限小数或者无限循环小数之间是对应等价的。我们可以用小数定义有理数，即为有限小数或者无限循环小数。进一步，将无限不循环小数称为无理数。进而，就可以用小数定义实数，有理数和无理数统称为实数。

现行各版本教材在认识小数内容编排时，也都或多或少地对小数的诸多种概念进行了介绍。比如，五年级上册“小数的乘法和除法”单元的最后以“你知道吗”的方式，介绍了有限小数、无限小数、循环小数等概念，意图向学生传递小数知识，拓宽对小数的全面认识。但在实践中，对“你知道吗”的教学常常停留于阅读的层面，导致“水过地皮湿”，学生阅读之后，什么印象也没有。

为提升教学效果，应充分依托“你知道吗”等教学资源，组织探索性、研究性活动，引发深度学习，帮助学生建构更为全面的数概念。教学中，可呈现商为整数、有限小数、无限小数等多例除法竖式，学生小组合作计算结果，并以小数的位数的多少为标准对结果进行分类。之后，教师再适时介绍有限小数、循环小数、有理数。再由祖冲之的故事引入π，呈现当代数学家已将圆周率算到小数点后几万亿位以及有的数学爱好者能一口气背出圆周率小数部分很多位等素材，并对黄金分割及希帕索斯被害致死的故事等进行介绍，生成无限不循环小数、无理数、实数等概念。学生虽然暂时还不能完全理解上述概念，但他们能真切地感受到人类对数学知识的不懈追求，在不知不觉中走进了更为广阔的数的世界，更为宏观的数系概念也已悄然孕育，激发了他们对于数学学科的浓厚兴趣。

二、关注计数法体系的构建

2000年度国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士在其著作《吴文俊论数学机械化》中写道：“位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了他的伟大业绩……这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以这一发明而自豪。”史宁中教授指出：“在小学阶段，理解小数的重点在于对于十进制的认识。”小数教学，应着力构建小数计数单位之间的十进关系，并打通其与整数之间十进关系的联接，构建十进制计数法体系，充分感悟这一数学史上“最妙的发明之一”。

在认识多位数时， 学生已经掌握“10个一是十”“10个十是百”“10个百是千”……生活中，学生对小数计数单位及其之间的关系虽有着感性认识，但缺乏理性认知，系统性则更是缺乏。而小数的表征形式与自然数相似，都是十进制，小数部分相邻的计数单位之间，以及十分位和个位的计数单位之间，进率都是10。自然数、小数互联的十进制计数法体系的构建，使十进制的进率方向具有“双向性”。向右不断乘10，计数单位可以无限大；向左不断除以10，计数单位可以无限小；一左一右的延伸，使学生对数的认识更为全面系统。体系的构建处于学生的最近发展区内，促进了对十进制的深度认知，揭示了十进制计数法的深刻内涵。

三、关注运算规则体系的构建

数学教学中应力求呈现数学动态统一的、有机关联的、鲜活生动的、具有探索性的和全息性知识特征的科学与文化形象，而不是固定不变的、僵化教条的、局部的、彼此分割的知识条块和记忆库。数的运算中很多内容互相依存、彼此关联，存在着严密的逻辑性。教学中，要找寻小数与整数、分数四则运算之间的“共同规则”，将多个“规则单一体”整合成“规则共同体”，实现表征系统间的互相转换，使规则交叉融合，结成网、连成片，构建运算规则结构系统。

教学中，要依据算理进行算法教学，使学生厘清整数加、减法的竖式计算时，将个位对齐；小数加、减法的竖式计算要把小数点对齐；分数加减法中需要先通分；其原理其实都是一样的，本质上是把相同计数单位的个数相加减。列竖式计算小数乘法中，小数点对齐法或末尾对齐法（图2），就是将计数单位再统一，计算的是统一之后的计数单位的个数。当然，从算法优化的角度看，末尾对齐法更为方便、不易出错。

在此基础上，将其与整数乘法规则（图3）再进一步统一：不论是整数乘法、还是小数乘法，都是计算乘积中所包含的新的、统一的计数单位的个数，再根据包含的新的计数单位的个数，写出最后的结果。当然，站在算法统一的角度，还要适时沟通小数除法与小数乘法之间的联系，它们都是转化为整数乘、除法之后再进行运算。计算规则的统一，学生在头脑中产生了新的综合心理图式，构建了更为清晰、完整和稳固规则系统，走进了数学的知识本源与精神内核。

当然，十进制计数法、运算规则、尤其是数系等“三维体系”的建立，需要循序渐进。从知识结构内化为学生的认知结构，也不可能一蹴而就。但教师要有“从点到面”更为宽广的整体教学视域，要有“结构化”的意识与实践自觉，促进学生的全面认知与深度认知，助推学生良好数学素养的形成。

参考文献：

[1]沈重予，王 林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015：55.

[2]黄秦安，曹一鸣.数学教育原理——哲学、文化与社会的视角[M].北京：北京师范大学出版社，2010：67.