小学数学“运算能力”与“推理能力”中“核心素养”解读

马增福

摘 要：在教学中培养和发展学生的数学核心素养就需要教师坚持以读懂《义务教育数学课程标准》的理念为指向；以理解把握教材为重点；以改变课堂教学方法为手段。现结合人教版小学数学教材，简析教材中“运算能力”和“推理能力”部分内容中“核心素养”的体现及其教学实践。

关键词：小学数学；核心素养；教学实践；运算能力；推理能力

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）28-0004-15

一、运算能力

《义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。

运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。这里，运算正确是指运算方法和结果正确，灵活是指运算过程不拘泥一种方法，合理是指运算符合算理、法则、公式或运算律等，简捷是指运算方便、简单明了。所以，运算正确是基础，理解掌握运算技能是核心、形成運算能力是目的。

（一）教材中“运算能力”内容简析

运算是数学学习的重要内容，在各个学段，运算都占有很大的比重。小学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握各种运算的知识及技能。《课标》在学段目标的第一学段和第二学段“知识技能”部分都提出“掌握必要的运算技能”的要求。

1.口算技能

《课标》在第一学段“数的运算”部分提出：能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。《课标》在第二学段“数的运算”部分没有再提出口算要求。其中20以内加减法和百以内加减法口算方法要迁移到多位数加减法口算中，如300+800，1600+700，2000+3200，180-50，2400-600，3200-300等；20以内加减法和百以内加减法口算，是多位数加减法和乘除法笔算的重要基础。表内乘除法和一位数乘除两位数口算方法要迁移到多位数乘除法口算中，如：200×3，400×60，120×30，800÷4，1200÷3，2400÷80等。

（1）20以内的加、减法口算，安排在教材一年级上册和下册

20以内不进位加和不退位减及10加几和10减几，是口算进位加、退位减的基础。20以内进位加口算技能主要是“凑十法”，可以拆小数与大数凑十，也可以拆大数与小数凑十。如：8+7，可以拆小数凑大数，因为8加2等于10，所以把7分成2和5，8加2等于10，10再加5等于15；也可以拆大数凑小数，因为7加3等于10，所以把8分成5和3，7加3等于10，10再加5等于15。20以内退位减口算技能主要有“破十法”“想加算减法”和“平十法”。如，15-7。破十法：把15分成10和5，10减7等于3，3加5等于8；想加算减法：因为7加8等于15，所以15减7等于8；平十法：因为被减数个位是5，所以把7分成5和2，15减5等于10，10再减2等于8。

（2）百以内加减法口算，安排在教材一年级下册

主要内容包括整十数加减整十数，两位数加减一位数和整十数。这部分内容是学习笔算乘、除法的重要基础。两位数加一位数口算技能是否熟练，在一定程度上决定了乘法竖式计算的速度；两位数减一位数口算技能是否熟练，在一定程度上决定了除法竖式的计算速度。

口算整十数加减整十数，思维方法是10以内加减法计算方法的迁移。如计算30+40的思维方法是3个十加4个十得7个十，是70；计算90-30的思维方法是9个十减3个十得6个十，是60。

口算两位数加减一位数或整十数。两位数加一位数不进位的口算方法是：两位数的个位数与一位数相加的和作个位数，十位数不变。如34+5=39。两位数减一位数不退位的口算方法是：两位数的个位数与一位数相减的差作个位数，十位数不变。如：48-6=42。两位数加整十数的口算方法是：两位数的十位上数字与整十数字相加的和作十位数，个位数不变。如：27+30=57。两位数减整十数的口算方法是：两位数的十位上数字减整十数字的差作十位数，个位数不变。如73-40=33。

两位数加一位数进位加法的口算，教材呈现了两种方法。一种是凑整十的方法，它是20以内进位加口算方法的迁移。如：24+9，把9拆成6和3，24加6等于30，30再加3等于33。另一种是用整十数加两位数的方法，先算个位上的4加9等于13，再用20加13等于33。另外，如果一位数接近10，还可以这样口算：把9看作10，24加10等于34，多加了1，再减去1，34减去1等于33。

两位数减一位数退位减法的口算，教材呈现了两种方法。一种是“破十法”，如36-8，把36拆成26和10，10减8等于2，26加2等于28。另一种是把两位数拆成整十数和十几，先算十几减一位数，再用整十数加差。把36拆成20和16，先算16减8等于8，再算20加8等于28。另外，两位数减一位数退位减法也可以用“平十法”口算。先把8拆成6和2，36减6等于30，30再减2等于28。

（3）一位数乘两位数口算，安排在教材三年级上册和下册

主要内容包括：一位数乘整十数并扩展到乘整百、整千数，一位数乘两位数积在100以内不进位、进位乘法。

一位数乘整十、整百、整千数的口算方法是表内乘法的迁移。如200×3的思维方法是：2个百乘3得6个百，就是600。

一位数乘两位数口算是表内乘法、一位数乘整十数及整十数加一位数口算技能的综合应用。如：23×2，思考20乘2得40，3乘2得6，40加6得46；23×4，思考20乘4得80，3乘4得12，80加12得92。此口算方法后面要迁移到一位数乘整百整十数及整十数乘两位数，如130×3，24×20，140×30等。

（4）一位数除两位数口算，安排在教材三年级下册

主要内容包括：一位数除整十数并扩展到除整百、整千、整万数，一位数除两位数并扩展到除整百整十或整千整百数。

一位数除整十、整百、整千、整万数的口算方法是表内除法的迁移。如8000÷4，思考8个千除以4是2个千，就是2000。

一位数除两位数、整百整十数、整千整百数包括两类，一类是用口诀求商，如240÷8，方法是：把240看作24个十，除以8得3个十，就是30；另一类是每一位上的数除以一位数都能除尽而没有余数的，如96÷3，方法是：90除以3得30，6除以3得2，30加2得32。

2.四则运算的笔算技能

《课标》在第一、二学段“数的运算”部分提出：能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数，两位数乘两、三位数的乘法，两位数和三位数除以一位数、两位数的除法。这里的计算是指竖式笔算和横式的简算。

（1）竖式笔算

小学阶段有很大部分的计算题都要求学生通过竖式的方式进行笔算。竖式笔算技能主要是按照法则写出竖式后按顺序进行计算且计算结果的书写位置正确。这里写竖式、按顺序计算和书写得数既是基础也是重点，按顺序计算过程主要是加、减、乘、除口算技能的应用。所以，竖式笔算“多题一解”的运算过程十分普遍，体现了运算法则的普适性。如用竖式计算214×18：①相同数位对齐；②先用第二个因数的个位上的数字8去乘第一个因数214，得数1712的末位和因数的个位对齐；③再用第二个因数十位上的数字“1”去乘第一个因数214，得数是214个十，所以末位和因数的十位对齐；④然后把两次的积加起来，写在对应数位的下面。

（2）加、减法的横式简算

①加数接近整百、整千数的简算。教材在三年级上册“万以内的加法和减法（二）”例3，安排了一个加数接近整百数的简便算法。运算技能是：在横式转化过程中，多加的要减去，少加的要加上。如：445+298=445+300-2=745-2=743。此题中，298在加上转化成300时多加了2，所以最后要减去2。

②减数接近整百、整千数的简算。对应加法简算，减法内容也应引导学生学会这种简算。运算技能是：在横式转化过程中，多减的数要加上（多减几，差就减少几），少减的数的要接着减去。如练习第6题中：1000-599=1000-600+1=400+1=401。减数599转化成600，多减了1，差就减少了1，所以要加上1。再比如，1000-603=1000-600-3=400-3=397。

3.运算律、运算性质应用的简算技能

在整数乘法、除法及四则混合运算中，有些题型应用运算律或运算性质可以使计算简便。简算技能主要是观察、分析算式特点，根据运算符号、数字特征，选择、应用合适的运算定律或运算性质，使计算简便。运算定律、运算性质在第二学段要推广到小数四则混合运算和分数四则混合运算。

①加法运算定律的应用。四年级下册“加法运算定律”例3，安排了应用加法交换律、结合律进行简便运算的内容。运算技能：应用加法交换律，改变加数位置；应用加法结合律，使结合的几个加数的和凑成整百、整千或整万数。如，115+132+118+85。运算分析：这道题是连加运算，其中115与85的和是整百数，132与118的和是整百整十数。可以考虑先应用加法交换律，交换加数位置，再应用结合律使计算简便。

115+132+118+85=115+85+132+118=（115+85）+（132+118）=200+250=450

②減法运算性质的应用。四年级下册“加法运算定律”例4，安排了应用减法运算性质进行简便运算的内容。运算技能：观察连减算式中的减数，如果这几个减数的和能凑成整百、整千或整万的数，把连续减去几个数转化成减去这几个数的和，这样可以使计算简便。如，236-66-34。运算分析：两个减数66与34的和是100，把连续减去两个数转化成减去这两个数的和，使计算简便。236-66-34=236―（66+34）=236-100=136。

③乘法交换律、结合律的运用。乘法交换律是将因数交换位置，结合律是将两个因数的积是整百、整千、整万的数结合在一起，使计算简便。如：25×5×4×2，运算分析：在连乘算式中，第一、三两个因数的积是整百数，第二、四两个因数的积是整十数。所以，先用乘法交换律，再用乘法结合律可以使计算简便。25×5×4×2=25×4×5×2=（25×4）×（5×2）=100×10=1000。

④乘法分配律运用。在一个多项式中，如果各项都含有相同的因数，而各项中的另一个因数的和是整十、整百……，此时可以反用乘法分配律使计算简便。如：42×53+42×46+42。运算分析：在算式中，三项都含有因数“42”，各项中（42看作42×1）的另一个因数的和是100。所以可以反用乘法分配律使计算简便。42×53+42×46+42=42×（53+46+1）=42×100=4200。

⑤乘法运算律的灵活应用。两个或几个数连乘，可以根据数字特征，先分拆再灵活运用乘法结合律或分配律使计算简便。如：120×25。运算分析：25是一个特殊数，它与2或4相乘都比较容易口算，所以120可以转换成30乘4的积，再用乘法结合律使计算简便；也可以把120转换成100加20的和，再用乘法分配律使计算简便。120×25=30×4×25=30×（4×25）=30×100=3000。120×25=（100+20）×25=2500+500=3000。再比如，31.4×2.5+0.86×25。运算分析：两项中都含有数字“25”，只是小数点位置不同，而这两项中的另两个数如果移动小数点后也可以凑成整十数。所以，可以考虑先转化，再应用乘法分配律使计算简便。31.4×2.5+0.86×25=31.4×2.5+8.6×2.5=（31.4+8.6）×2.5=40×2.5=100。

⑥除法运算性质的应用。四年级下册“乘法分配律”例8，安排了应用除法运算性质进行简便运算的内容。运算技能：观察连除算式中的除数，如果这几个除数的积是整十、整百……，把连续除以几个数转化成除以这几个数的积，这样可以使计算简便。如2800÷25÷4。运算分析：被除数是整千整百数，两个除数的积是整百数。所以把连续除以两个数转化为除以这两个数的积，可以使计算简便。2800÷25÷4=2800÷（25×4）=2800÷100=28。

4.估算技能

估算是重要的运算技能，是运算能力的特征之一。估算可以对问题进行有效的探索，快速形成大致答案。进行估算不仅需要掌握一定的方法，积累一定的经验，而且估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据。估算要避免出现过大的误差，要使估算的结果尽量接近实际情况，要能对实际问题作出合理的解释。估算与数感、空间观念密切相关。如长度、面积、体积的估计与空间观念有关，运算结果的估计与数感有关。所以，对教材中估算内容的分析与理解应与数感和空间观念有机结合。

《课标》在第一、二学段关于估计、估算提出五条要求，归纳起来有两点：一是结合生活情境感受大数的意义，并能进行估计；二是结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，在解决问题过程中，能选择合适的方法进行估算。

（1）估计技能

教材在结合生活情境感受大数意义及选择适当单位建立空间观念方面安排了许多的估计内容。

①结合生活情境感受大数意义的估计。如，一年级下册“100以内数的认识”主题图：估一估有多少只羊？估计策略是羊的只数“比20只多的多”，以10只羊为一堆，图中大约有几个10只。二年级下册“万以内数的认识”主题图：猜一猜体育馆大约能坐多少人？估计策略是座位“比100多的多”，图中座位有很多区，每个区都有几百个座位，所以座位数是一个很大的数。四年级上册，估计1亿张纸撂在一起有多高？估计策略是先量出100张纸的厚度，再推算1万张纸、1亿张纸撂在一起有多高。等等。教材在练习中安排了估一估、数一数以及估计填空等习题。

②结合学习计量单位进行估计。如二年级下册“克和千克”估一估，下面哪些物品比1克轻？估一估，带来的物品有多重？三年级上册“测量”估一估数学书的长、宽和厚大约是多少厘米？例6，估一估，从你家到学校有多远？三年级下册“面积”估计长方形面积是多少平方厘米？五年级上册“组合图形面积”请你估计这片叶子的面积等。这些内容都是用学生自己熟悉的数量作为单位描述实际问题中较大的数量，估计策略都是以一个计量单位的感受、体验、表象作支撑，选择合适的单位来进行估计。练习中安排了很多在括号里填写计量单位或数的习题，以培养学生的估计意识和能力。

（2）估算技能

估算主要是指加、减、乘、除运算的估算。由于学生的经验积累、思维层次和水平不同，面对同一个问题，所采取的估算策略也可能不同。所以，在估算合理的情况下，估算结果一般不存在对错问题，而是哪种估算更好，更接近准确值。教材中解决问题的估算策略与算式的估算策略不尽相同，解决问题中的估算，需要根据实际情况用“进一法”或“去尾法”估算，而算式的估算，可以用接近整十、整百或整百整十、整千整百等进行估算。这种估算策略随着学习的深化，将迁移到小数四则运算。在估算时，往往估算越简便，误差越大；估算难度越大，估算结果越接近准确值。

①加、减法的估算。加、减法估算集中安排在二、三年级。估算均用语言或符号描述方式展开，以体现解决问题的估算过程和探索算式“和或差”的大概取值或取值范围。

解决问题估算。二年级下册“万以内数的认识”例13，安排了用加法、减法思路解决问题的估算。提问买这两件商品500元够吗？加法估算策略：电话机超过300元，电吹风超过200元。300+200=500，带500元肯定不够。减法估算策略：电话机超过300元，用500元买了300多元的电话机，剩下的钱不到200元，肯定不够买电吹风；即使电话机300元，剩下200元也不够买电吹风。三年级上册“万以内加法和减法（一）”例4， “巨幕影院有441个座位，一到三年级来了221人，四到六年级来了234人”。提出“六个年级的学生同时看巨幕电影坐得下吗？”的问题。教材先呈现了按整百数进行估算：221大于200，234也大于200，221加234一定大于400，但还是不能确定是否大于441。这种估算方法简便，但不能解决问题，揭示了估算方法的不合理性。接着呈现按整百整十数进行估算：221>220，234>230，220+230=450，221+234一定大于450，450>441，所以一定坐不下。这种按整百整十进行估算并用符号展示估算过程，体现了估算方法的合理性。

加减法算式的估算。三年级上册“万以内的加法和减法（二）”加法例3，445+298。由于298接近300，可以看作300来估算，445加300等于745，所以两个数的和应该接近745。教材在练习八第2题安排了“先估一估，再计算下面各题”的内容。如659+306。下面三种方法的描述都是正确的。Ⅰ. 把306看作300，659加300等于959，和应该接近959；Ⅱ. 659接近并小于660，306接近并小于310，660加310等于970，和应该小于970；Ⅲ. 659大于650，306大于300，650加300等于950，和应该大于950。再如整理与复习第3题（2）：

解决这个问题，用估算方法能快速找到答案。如：159大于150，97大于90，150加90等于240，实际和大于240，更比200大。900减700等于200，69比89小不够减，所以差小于200。104小于110，89小于90，110加90等于200，實际和小于200。101大于100，300减100等于200，实际差小于200。

②乘法估算。乘法估算一方面可以在生活中快速解决一些简单实际问题，另一方面乘法估算也能快速判断积的大概取值或取值范围。熟练掌握乘法估算，能有效提升乘法计算的正确率。

解决问题的估算：三年级上册“多位数乘一位数”例7，安排了用乘法估算解决问题的内容。“门票每人8元，三（1）班有29人参观，带250买门票够吗”。估算策略：29人接近30人，如果按30人算钱够，那么29人一定够。教材第一次使用“≈”号连接算式与得数，呈现了乘法算式估算的书写格式。

五年级上册“小数乘法”例8，安排了综合应用加法、乘法估算解决实际问题的内容。“妈妈带100元去超市购物。她买了2袋大米，每袋30.6元。还买了0.8千克肉，每千克26.5元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的吗？”教材呈现了语言描述和符号化解决问题的估算过程（略）。此题的估算策略要使学生感受估算方法的合理性，既按商品价钱的大数估算够，则带的钱一定够；按大数估算不够，不一定不够。按商品价钱的小数估算不够，带的钱则一定不够；按小数估算够，则不一定够。

乘法算式的估算：三年级上册“多位数乘一位数”例3中安排了描述性估算“24×9”积的取值范围的内容。估算方法：Ⅰ. 每箱24瓶，10箱是240瓶，9箱一定比240少，所以24×9的积一定小于240；Ⅱ. 由于20乘9等于180，30乘9等于270，24介于20到30之间，所以24×9的积在180和270之间；Ⅲ. 由于24小于25，9大于8，25乘8等于200，所以24×9的积大约在200左右。此估算可以扩展到三位数乘一位数。如218×6。由于218大于200，200乘6等于1200，所以218乘6的积大于1200。也可以这样估算：由于218小于220，220乘6的积等于1320，所以218乘6的积小于1320。

四年级上册“三位数乘两位数”，教材呈现了乘法算式的估算，既145×12≈1500。估算方法是：把145看作150，12看作10，所以145×12≈1500。有些乘法算式估算结果可以不唯一，只要合理，接近准确值，都是正确的。如：293×31。

另外，乘法估算还可以进行一些特殊的估算，如127×8。估算方法是把127看作125，乘8等于1000。所以127×8≈1000。

③除法估算。除法估算一方面可以在生活中快速解决一些实际问题，另一方面也是除法竖式计算的重要基础。估算方法灵活，掌握的熟练，能有效提升除法竖式计算的试商速度和计算的正确率。

解决问题的估算：三年级下册“除数是一位数除法”例8，安排了用除法估算解决问题的内容。“你们住3天，住宿费一共是267元”，提出“每天的住宿费大约多少钱？”的问题。估算策略：一是看作整百数估算，估算简便，但误差较大。既267看作300，300÷3=100（元），267÷3≈100（元）。每天住宿费大约100元。二是看大凑口诀估算，思考难度大，但误差小，与准确值接近。想3个几十接近267，3个90是270，把267看作270来估算，270÷3=90（元），267÷3≈90（元）。每天的住宿费大约90元，实际每天不足90元。三是看小凑口诀估算，想3个80是240也接近267（但没有270接近），240÷3=80（元），267÷3≈80（元）。每天的住宿费大约80元。想实际每天住宿费80元不够，所以策略三估算不合理。策略一和策略二估算虽然都合理，但两者比较，策略二估算更为接近精确值。

除法算式的估算：用凑口诀方法估算，估算结果与精确值比较接近。如估算523÷7的商大约是多少？下面两种方法都是正确的。

方法一与方法二估算都是对的。但方法一比方法二思考难度大，与精确值更接近。

四年级上册安排了除数是两位数的除法估算。估算策略也是凑口诀方法。如184÷31，思考31接近整十数30，想30和几相乘接近184并小于184，30乘6等于180，所以184÷31≈6。

（二）在教学中，如何培养和发展学生的运算能力

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累和深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算能力，发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维素质的提升和发展。

1.由具体到抽象，正确理解概念和算理

小学第一学段初步学习整数四则运算以及简单的小数、分数加、减运算。第二学段进一步学习整数四则运算及小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。学生对这些运算概念的认识与理解，一开始总是和具体事物相联系，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式或方程运算。教材中从整数加法、减法、乘法和除法概念、运算方法的建立到扩展到小数、分数都离不开实物操作。所以，教学时要遵循由具体到抽象的过程，正确理解概念的内含和算理。

如加法概念和算理。以10以内加法概念为例。概念引入是把两种颜色气球的数量合在一起，用加法计算，明确加法的含义，知道加法的计算方法，可以合起来以后數出总数量，还可以在一个加数基础上接着数出第二个加数的数量，数的结果就是两个数量的和。在理解加法含义基础上，结合数的组成和摆实物等具体操作活动，抽象出把两部分数量合起来用加法计算并写出算式，脱离实物计算出得数。

20以内的进位加法。由具体实物凑十方法抽象出算式的分解式凑十计算方法。运算时，可以分小数凑大数成10，也可以分大数凑小数成10。为了使学生形成正确的思维方式，由具体到抽象，教学时要完成由分解到分步再到抽象的数学思考的形成过程。

100以内两位数加两位数加法。小棒操作，两个加数的小棒数量，单根与单根对齐、整捆与整捆对齐，分别相加，抽象出加法竖式计算方法，既：相同数位对齐，从个位加起（相同的计数单位上的数相加），个位满十向十位进一。100以内计算方法的算理后面迁移到多位数加法及小数、分数加法。

2.由法则到算理，形成运算技能

小学生学习和掌握算式、方程运算，在应用法则练习和相互交流过程中，会逐步形成机械化的运算技能，教师不能满足于这样的运算技能，应该创设机会引发学生对“怎样算”“怎样算的好”“为什么要这样算”等一系列问题进行思考，更应该提供多种形式让学生学会分析，把对法则的演练提升到对算理的思考，把运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

如二年级上册“连加”，计算28+34+22。首先启迪学生思考：用竖式怎样列式计算？怎样计算的简便？然后让学生用自己喜欢的方法列竖式计算。学生会列出不同的竖式。

重点交流简便算法，为什么这样写竖式？这样写竖式的好处是什么？为什么要先算8加2的和？这种竖式连加的简便算法将迁移到多位数连加和小数连加计算。

再比如三年级上册“周长”例4，计算长6厘米，宽4厘米长方形的周长。首先引发学生思考：怎样计算这个长方形的周长？根据自己对周长概念的理解，用自己喜欢的方法计算这个长方形的周长。学生会出现下面三种计算方法。

重点交流后两种方法，这样列式的道理是什么？每一步求的是什么？比较三种计算方法，你认为哪种计算方法好，为什么？

数形结合思想可以有效地帮助学生理解算理，掌握算法。

3.由单项思维到多项思维，培养思维的灵活性

在实施运算时，常会遇到多因素情况，需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同解决问题的方法。通过比较，加以择优选用。这是运算思维达到一个新的高度的重要标志，是运算能力培养的高级阶段。如：

20以内退位减法。学生在理解例1“15-9”的算法后，做一做“16-9=？”要让学生交流各自的算法。说一说是怎样算的？为什么要这样算？通过交流比较，明确“破十法”“相加算减法”和“平十法”在口算时的思考方法，哪种方法更适合自己。

乘法运算律的应用。用简便方法计算75×12。思考：用乘法结合律怎样分拆算式？用乘法分配律怎样分拆算式？对简便计算的过程：①75×12=25×3×4×3=（25×4）×（3×3）=100×9=900。②75×12=（100-25）×12=100×12-25×4×3=1200-300=900。要让学生说一说“为什么这样算？是怎样分拆算式的？你认为哪种算法好？”等问题。

解方程：78-4x=30。解方程前思考：用等式的性质怎样解方程？用数量关系式怎样解方程？解方程后交流：用等式性质解方程的依据是什么？用数量关系解方程的依据是什么？你认为哪种解方程的方法好，为什么？

4.由模仿练习到变式练习，提高思维深刻性

培养和发展学生的运算能力，练习内容不能长期停留在模仿练习上，而需要根据所学内容进行适度的变式练习。如乘法对加法分配律在简便运算中的应用。

基础题型：

①（20+4）×25

②27×34+27×66 89×163-89×63

①括号外的数分别乘括号里的两个数得到整百数，再把积相加。

②两个积中有相同的因数，另两个因数的和（或差）是整百数，把算式转化成相同的因数乘另两个数的和（或差）。

变式题型：

①125×81

②25×396

③78×99+78 125×81-125

④22×32+11×36 65×42-30×21

在实施运算分析时，运用转化思想。（转化方法不唯一）

①把81转化成（80+1）。

②把396转化成（400-4）。

③把算式转化成78×（99+1），125×（80-1）。

④把22×32转化成11×64；把65×42转化成130×21。

二、推理能力

推理在数学中具有重要的地位。《课标》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

推理能力在数学中是属于数学思考（思维）能力中的一种，因此《课标》在数学思考的目标表述中作了明确要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。小学阶段多用合情推理，演绎推理则在中学阶段使用较多。在小学合情推理主要运用“归纳推理”和“类比推理”。 归纳和类比是常用的合情推理。从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理。归纳推理和类比推理的共同点，都是根据已有的事实，从具体问题出发，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想。小学生学习数学获得结论的过程，主要是猜想与合情推理。

（一）教材中“推理能力”内容简析

《课标》在第一、二学段数学思考目标中提出：在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想。在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力。根據《课标》要求，纵观小学数学教材，猜想与合情推理几乎涉及到数学的方方面面。合情推理是学生在学习数学过程中，根据自己在生活或学习中积累的知识、经验，在教师指导下经过非演绎的思维而得到合乎情理一般性结论的推理方式。其主要表现在：“看一看”（观察），“它可能是……”（猜测），“做一做”（实验），“做出来看一看”（验证），“由上所述可得……”（归纳），“由一类对象特征推测相关联的另一类对象特征”（类比），“可以想象……”（联想）等。

1.数与代数

（1）数概念的合情推理

学生在经过三年多对“数”的学习，在四年级上册归纳出“整数”的概念，既“表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11等都是自然数。0也是自然数。所有的自然数都是整数”。在给出概念之前，观察这一列数会发现，这些数都可以用来记录物体的个数、后面的数都比前面的数大、没有最大的数等特点。因为没有最大的整数，所以这里的归纳就是不完全归纳。在三年级上册归纳出分数的概念，既“像1/2、1/3、1/4、1/5这样的数都是分数”。这里要观察、想象“这样的数”一类数的特点，就是都含有分数线、分子和分母。也就是含有分数线、分子和分母的这样的数，都是分数。

（2）数大小比较的合情推理

学生首先认识10以内的数，数大小概念的建立过程是从数物体个数的操作活动直观感知开始。1个添上1个是2个，2个添上1个是3个……。10个比9个多1个，9个比8个多1个……，10比9大，9比8大，10比8也大……。由以上的观察可以得出：两个数比较大小，哪个数含有的“1”（计数单位）多，那个数就大。把这个结论类推到在学习100以内、万以内及多位数的大小比较时，是否也成立呢？可以用“类比推理”提出猜想。通过实物（小棒、计数器）验证发现是成立的。如42>37，数位相同，42里面有4个十，37里面有3个十，4个十比3个十多，所以如42>37。23<25，数位相同，23、25每个数里面都有2个十，但23的个位有2个一，25的个位里面有5个一，所以23<25。把这个结论类推到学习分数大小比较，也可以提出猜想，分数单位相同的两个分数，是否分子大的那个分數大呢？通过直观图可以看出2/5<3/5。因为2/5里面有2个1/5（分数单位），3/5里面有3个1/5。所以2/5<3/5。

（3）数运算的合情推理

教材中加、减、乘、除运算法则的形成、拓展过程，都是运用合情推理得以结论和拓展。如加法计算法则，二年级上册通过例1“两位数加一位数不进位加”，初步得出结论：个位与个位对齐，个位两个数相加的和写在个位的下面；例2“两位数加两位数不进位加”，再次得出结论：相同数位对齐，从个位算起，哪一位上两个数相加的和写在那一位的下面；例3“两位数加两位数进位加”，最后得出结论：相同数位对齐，从个位算起，个位相加满十向十位进一。教材通过三个例题的三个特殊算式及做一做多题的练习实验、验证，归纳出两位数加两位数的一般计算法则，这一计算法则具有普适性。随着学习的深入，两位数加两位数的计算法则类比推理到多位数加法和小数加法。

（4）规律中的合情推理

教材中积的变化规律，商不变的规律、商的变化规律以及探索规律等内容，结论的形成和运用过程都经历了观察、寻找特点、发现关系和变化趋势，猜测和发现新结论的过程。这一过程正是合情推理的过程。如教材在四年级上册“三位数乘两位数”例3，呈现了两组算式，每组由三个特殊关系的算式组成。通过从上到下观察每一组三个算式，寻找因数的关系，变化的特点，变化的趋势，及猜测如果一个因数不变，另一个因数乘1000，积会怎样变化等，发现积的变化规律，既“一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几”。

（5）方程中的合情推理

五年级上册安排了“简易方程”，不论是用字母表示方程模型的建构，还是等式性质结论的总结，都用到了合情推理。如用字母表示数的例1，从具体问题情境出发，根据小红与爸爸的对话，以表格形式有序地呈现了“小红年龄与爸爸年龄”的列表。观察列表，分析发现，这些式子中的每个式子都可以表示两重含义， 一是表示某一年爸爸的年龄；二是表示小红与爸爸之间的年龄关系。再通过分析、比较“爸爸年龄的等式”这些式子的相同点，发现这些式子的数量关系都一样，都是“小红年龄+30=爸爸的年龄”（归纳整理）。在此基础上提出猜想，能否用一个式子表示任何一年爸爸的年龄？为学生用字母（符号）表示小红的年龄和用含有字母（符号）的式子表示爸爸的年龄创造了新知识的生成环境。从算式到含有字母式子的变化，是由确定量（唯一量）到不确定量（变量）的转变，是由特殊到一般的质变。算式只能表示一个特定情况，含有字母的式子不仅能表示一种特定情况，还能表示一个集合中任意一个值的量，即能一般化的表示一类量。

（6）运算定律中的合情推理

教材中的运算定律主要是指：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律。乘法交换律、结合律，教材的呈现方式是通过学生列出几个例6、例7这样的等式，再通过观察这几个等式有限的共同特点后归纳概括出交换律和结合律。这是一种归纳推理。另外，加法作为一种运算，具有交换律和结合律，分析乘法与加法之间的关系，乘法作为加法的一种简便运算，也应该具有交换律和结合律。这是类比推理，可以提出猜想：乘法算式在交换因数的位置后是否还相等？连乘算式，先乘前两个数再与第三个数相乘与先乘后两位数再与第一个数相乘，结果一样吗？然后让学生自主列式，尝试计算，进行验证。通过验证再归纳出“乘法交换律、结合律”的结论。

2.图形与几何

（1）图形认识中的合情推理

教材中图形有很多种，许多图形名称的认识都是采用了归纳推理方式。如“长方形”的初步的认识， 一年级下册教材中呈现了形状、大小、长短、宽窄都不相同的四个图形。观察这四个图形的不同点和相同点，发现这四个图形大小不同、边的长短、宽窄也都不同，相同点是每个图形都有四条边，都有四个直角，每个图形中都有两条比较长的边和两条比较短的边。把具有这种相同点的图形叫做长方形。

平行线的认识：教材设计了在纸上画两条直线的操作活动，通过学生画出两条直线位置的各种情况，归纳为在一张纸画出的四种情况。两条直线不相交有A、B两种情况，两条直线相交有C、D两种情况。

继续研究A、B两种情况，把A、B两种情况的两条直线延长，发现，A种情况两条直线无论怎样延长，永远不相交；B种情况两条直线延长（或想象延长）后会相交。总结，类似A种情况的两条直线的位置关系，叫做平行线。即：在同一个平面内不相交的两条直线，叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。这里要展开想象，同一个平面是什么意思？这个平面有多大？不相交是什么意思？两条直线有多长？

（2）公式推导中的合情推理

图形与几何中的公式主要指：平面图形的周长公式，平面图形的面积公式，立体图形的表面积公式，立体图形的体积公式及容器的容积公式等。

圆周长公式：教材首先呈现了用绕线法、滚动法计算圆的周长的方法，使学生感受到这样的计算方法繁琐。然后引发学生思考，圆的周长和圆的大小有关系吗？这里可采用类比推理方法。思考长方形的周长取决于长方形的长和宽，圆的周长取决于圆的什么？提出猜想。为学生探索圆的周长与这个圆的直径、半径关系创设了学习环境和探究欲望。接着，通过实验方法，分别测量出大小不同圆的周长和直径，并计算出周长和直径的比值，填入表中。观察表中的数据发现，圆的周长不同、直径不同，也就是圆的大小不同，但周长与直径的比值都是3倍多一些。由此归纳出一句话，每一个圆的周长都是这个圆直径的3倍多一些。到底多多少？根据测量精准度不同，得到的答案也不尽相同，集中大家意见，确定一个取值区间。在此基础上介绍圆周率（π）并总结圆周长公式。

三角形面积公式：教材首先呈现了学生交流，在没有学习三角形面积计算方法情况下，如何计算红领巾三角形面积的思路转化方法。提出“能不能把三角形也转化成学过的图形来计算面积”的猜想和“我们试一试”的实验愿望。接着呈现了三位学生分别用两个完全一样的直角三角形、锐角三角形和钝角三角形拼图的情境，并发现“用同样的两个三角形可以拼出一个平行四边形”的结论（由三类特殊三角形推理出一般结论）。然后提出“观察各自拼成的平行四边形和原来的三角形，你能发现什么？”的问题。发现三角形不论任何形状，拼出的平行四边形的底就是原来三角形的底，平行四边形的高也是三角形的高（由特殊到一般）。以此推理出一个三角形的面积等于拼成的平行四边形（原来两个三角形）面积的一半。所以，三角形的面积=底×高÷2。依据“三角形面积=底×（高÷2）”和“三角形面积=底÷2×高”，可以为探索一个三角形如何转化推导面积计算公式提供猜想思路和方向。

圆柱的体积：教材首先提出在已会计算长方体和正方体的体积基础上，怎样计算圆柱的体积呢？能不能将圆柱转化成学过的立体图形，计算出它的体积呢？这是教材为学习圆柱体积计算提出的转化思想，怎样转化呢？可以用类比推理提出猜想，即圆的面积公式推导时，将圆转化成了学过的长方形，猜想圆柱体能转化成学过的哪种立体图形，怎样转化呢？教材以学生交流方式呈现，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。多媒体课件展示，把圆柱底面平均分成16等份、32等份，切开再拼近似长方体。使学生在想象中感受到：等分成的小扇形越多，拼成的立体图形越接近长方体。这里是不完全归纳的联想推理，也是培养学生空间观念的有效方法。接着，教材提出：把拼成的长方体与原来的圆柱进行比较，你能发现什么？这是一个观察、分析的过程。立体转化前后什么没有变？发现体积没变，底面积没变，高没变，只是形状变了。由此推出：长方形的底面积=圆柱底面积，长方体的高=圆柱的高。由长方体的体积等于底面积乘高可以得到：圆柱的体积=底面积×高。

3.统计与概率

（1）统计中的合情推理

数据收集整理是统计的重点内容，是完成统计制表、制图的前提和基础。数据的收集要通过整理形成一个结论，而小学生收集数据的过程大多是“小样本枚举法”，通过特殊的个例来归纳一般的结果。如：教材二年级下册“数据收集整理”例1，学校要给同学们订做校服，有下面四种颜色（红、黄、蓝、白），选哪种颜色合适？理论上应是选大多数同学喜欢的颜色为选取的方向。那怎样知道哪种颜色是大多数同学喜欢的呢？通过学生讨论、交流，发现在全校调查，人数太多，不可能，进而形成要在班里进行调查的意见。通过有条件的收集数据，整理成了如下统计表（实际教学应以本班调查数据为准）。通过比较，发现喜欢蓝色的人数最多。得出结论：如果这个班订做校服，选择蓝色的合适。全校选择这种颜色做校服合适吗？为什么？这里要使学生感受到，这种不完全归纳推理得出的结论，未必正确，需要验证（征求其它班级的意见）。教材设计体现了归纳推理的过程：①从现实问题出发；②选取有限的学生人数收集数据；③归纳、整理、观察、分析；④提出带有规律性的结论，即猜想；⑤检查猜想。

求平均数。在教材中呈现了两种求平均数的方法。

方法一，移多补少。通过实际操作（或观察示意图，展开想象），用实验、验证的方法感受求平均数方法的可行性。

方法二，计算。把四个小队收集到的矿泉水瓶总数平均分成4份，每份就是这四个小队的平均数。

推断决策：可以用移多补少的方法求平均数，也可以用数据的总数除以数据的个数求平均数。

（2）概率中的合情推理

五年级上册“可能性”安排了简单概率的内容。例1，教材呈现了“三人抽签表演节目”的情境。首先，通过猜想“每个人可能抽到什么节目”，感受等可能性（枚举法）。接着让小明先抽签，猜想抽到什么节目？实际抽签，抽到跳舞，感受抽的结果与想抽的愿望可能一致，也可能不一致，抽前是不确定的，但抽到跳舞后，可以判断并确定剩下的两人不可能再抽到跳舞…通过猜想、验证、排除的循环，直到推出最后的确定现象。经过这个游戏活动，学生一方面感受抽签的不确定现象，另一方面体会猜想、推断结果的可能性，以及验证的确定性。做一做，體会左边盒子摸到红棋子是确定的，不能摸到绿棋子也是确定的（演绎推理：大前提正确，结论一定正确）；右边盒子摸到红、绿、黄、蓝棋子是不确定的。

例3，教材设计了摸球游戏。“盒子里装有红、黄两种颜色的球，每个小组的盒子里装的球都是一样的。”按照教材活动要求，每个小组摸20次，记录摸球的颜色，最后整理成统计表（实际教学以本班活动统计数据为研究资源）。观察、分析摸球统计情况，虽然各小组摸到红球、黄球的次数不尽相同，但都是摸到红球的次数比黄球的次数多，摸到红球的总次数比摸到黄球的总次数多的多。以此来推断盒子里红球比黄球多，但不能确定盒子里红球有几个、黄球有几个。如果各小组再摸一次，可以确定大多数小组能摸到红球，但不能确定每个小组都会摸到红球。这个活动，使学生感受归纳推理结论的不确定性，要通过验证才能确定。

（二）在教学中，如何培养学生的推理能力

对学生推理能力的培养是一个逐渐提升的长期过程，《课标》明确要求“推理能力的发展应贯穿于整个教学学习过程中”。这里的“贯穿整个教学学习过程”应该有这样几层含义：

1.它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容

这一点，前面结合教材已经作了简要分析。

2.它应贯穿于数学课堂教学的各种课型

概念教学。让学生经历直观感知，建立表象，揭示本质属性的过程，从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念。如周长。从现实生活中的多种实物入手，直观感知物体的表面都有边线。树叶边线的总长是树叶的周长；三角尺三条边线的总长是三角尺的周长；数学课本封面四条边线的总长是数学课本封面的周长；钟表盘边线的总长是钟表面的周长等，在头脑中建立物体表面周长的概念。然后，抽象出物体表面的几何图形，直观认识封闭图形一周的长度，是这个图形的周长。

计算教学。它贯穿于小学数学的每个领域。在计算活动过程中寻找方法，这是一个经历观察、计算、归纳等合情推理去发现计算方法的过程。因此，小学数学教学中应注意挖掘计算素材中的合情推理，促进学生合情推理能力的培养。如，三年级上册“多位数乘一位数”。让学生经历从特殊到一般运算法则的建立过程。从简单运算入手，经历几个案例的计算和分析过程，归纳出一般的计算方法。例1，理解并掌握不进位乘法竖式的书写格式，乘的顺序和积的书写位置。例2，理解并掌握一次进位乘法竖式的书写格式，乘的顺序和积的书写位置。例3，理解并掌握连续进位乘法竖式的书写格式，乘的顺序和积的书写位置。在经过三个例题学习基础上，归纳总结出多位数乘一位数乘法的计算法则：从个位乘起，用一位数依次乘多位数的每一位，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。

规律教学。在探索某规律的过程中，学生需要用到观察、发现、猜想、验证、概括等思维方法。发现规律往往要经历多次猜想、验证的探究过程，即类比猜想，举例推翻猜想，改变方法，再次猜想，验证猜想，得出结论。如五年级下册“3的倍数的特征”。学生学过2、5的倍数特征，知道只需要看个位数，就可以判断这个数是不是2或5的倍数。学习3的倍数前，类比猜想：只看个位数能不能判断一个数是3的倍数？推翻猜想：3、6、9是3的倍数，13、16、19是3的倍数吗？再次猜想：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数是3的倍数吗？猜想验证：观察百数表中各数，圈出3的倍数，发现3的倍数排成“斜行”，通过讨论发现规律，即十位与个位数字的和不变，是3的倍数。最后得出结论：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数是3的倍数。举例验证通过学生自主去完成。

实验操作教学。小学阶段学生的数学思维以形象、直观思维为主，而抽象性与逻辑性思维是数学思维活动的特点之一，这两者存在矛盾。指导学生通过动手操作，如摆一摆、折一折、剪一剪、量一量、画一画、掂一掂及各种实验，去体验、感受数学的思考过程，有利于缩小这一矛盾。学生在操作过程中，进行观察、发现、分析、归纳、概括等数学活动，可以经历知识的形成过程，有利于学生合情推理能力的培养。如：二年级“平均分”、四年级“三角形的内角和”、五年级“长方体表面展开图”、六年级“圆锥的体积”等。

四年级下册“三角形的内角和”。①发现现象：连接长方形对角线进行观察，长方形的四个角都是90°，内角和是360°。②提出猜想：直角三角形是长方形的一半，内角和应该是180°。③验证猜想：用任意（最好选取直角、锐角和钝角）三角形进行验证。（合情推理三种方法）

测算法。用量角器分别测量三个角的度数，再把三个角的度数加起来，得到三角形的内角和是180°或大约180°。

剪拼法。把三角形的3个角剪下来，拼到一起得到一个平角。平角是180°，所以三角形的内角和是180°。

折拼法。把三角形的3个角折到一起得到一个平角。这样就得出三角形的内角和是180°。

解决问题教学。三年级上册“长方形和正方形周长”例5，用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短？通过阅读与理解，明确“用16张正方形纸拼图形，有不同的拼法”和待解决的问题“怎样拼周长最短”。解决问题的方法，可以用实物正方形动手拼一拼，也可以画图进行。解决问题的关键是观察、分析、推断拼出的多种图形。先交流展示拼出的各种图形，再猜想哪种拼图周长最短。最后通过分别计算各图形的周长发现规律：拼成长方形的长与宽，小正方形的个数越接近，这个长方形的周长越小。拼成的正方形周长最小。当学习长方形面积之后，这一结论可以通过类比推理猜想，长方形的面积一定，长、宽如何变化，周长最小。如，面积是24平方分米的长方形，周长最小是多少？

3.它应贯穿于整个数学学习的环节

如：预习，复习、课堂教学、练习、检测考试……在所有的这些学习环节中，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。

预习。抓住新旧知识之间的内在联系，适时地提出猜想要求，如学习分数的基本性质前，预习除法的基本性质。提出：根据分数与除法的关系，除法有基本性质，分数有这样的基本性质吗？如果有，猜一猜，分数的基本性质可能是什么？学习比的基本性质前，提出根据“两个数相除也叫两个数的比”，猜想“比”有这样的基本性质吗？如果有，猜一猜比的基本性质可能是什么？

复习。回顾学过相关知识之间的内在联系，建构知识链，培养学生的猜想、联想、类比等数学思维能力。如多边形面积计算的复习。提出：平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法有哪些相同点？推导时抓住“什么变了？什么没变？”进行推导。想象：当梯形的上底逐渐缩小，成为0时，梯形变成了什么图形？猜想：梯形的面积公式变成了什么？想象：当梯形的上底逐渐变长，变成与下底一樣长时，梯形变成了什么图形？猜想：梯形的面积公式变成了什么？

练习。在模仿练习、变式练习基础上增强综合练习内容。如在学过两位数乘多位数及乘法估算后，提升学生的估算和推理能力的练习：把下面四个算式的运算结果从小到大排序。A. 28×12； B. 26×12； C. 11×26； D. 13×28。学过周长计算后，提升学生视图和推理能力的练习。把下面四个图形的周长按从小到大排序。学过面积后，把四个图形的面积按一定顺序排列。学过分数的大小比较后，把下面的分数按大小排列。等等。