“简单的排列问题”教学实录与评析

授课：王立香

点评：刘永昌

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（ 2018 ）04-0055-05

编者按：为全面深化课程改革，落实立德树人根本任务，充分发挥教育研究与评价在基础教育课程改革中的重要作用，经河北省教育厅批准，河北省教育科学研究所在2017年以聚焦提高教育质量的主题，立足全省实际，结合当前课程实施中的难点、重点问题。组织开展了全省各学科现场优质课评选和研讨活动。从本期开始，我们陆续刊出一批获奖的优秀课例和专家点评，以供广大教师借鉴。

教学内容：冀教版“义务教育教科书·数学”二年级下册第89～90页。

教学目标：

1.结合学生熟悉的事例，经历探索、发现简单事物排列规律的过程。

2.能列举出3个事物的所有排列结果，初步体验有序排列的思想方法。

3.积极参加探索活动，激发学生对身边事物的好奇心，发展初步的推理能力。

教学重点：能不重复不遗漏列举出3个事物的所有排列结果。

教学难点：发现简单事物排列的规律。

教学准备：PPT课件、手机、记录单、便利贴、记号笔。

教学过程：

一、师生谈话，创设情境

师：同学们，今天是王老师第一次给大家上课，你们知道我姓什么吗？

生：老师，您姓王，您自己都说出来了！

师：真好，别人发言的时候你听得很仔细呀！可是我还不知道你们的名字呀，谁愿意到前面来介绍一下你自己？

（请出三位同学到前面进行自我介绍，教师随机贴上姓名贴。）

师：这三位同学多才多艺，又大方又自信！我想给你们照张相行吗？请三位同学排成一排。

【评析：师生之间进行自我介绍，拉近了彼此之间的距离，消除陌生感。通过给学生照相吸引了学生的注意力，也使学生不知不觉地进入到老师创设的问题情境巾。】

二、三人照相，探究规律

1.师生拍照，体验无序排列

（老师用手机给三位同学拍照，学生自由变换位置。）

师：你们换换位置！老师想多拍几张不同的照片，你们帮我拍全了，别漏了啊！

师：再换个位置！这张照片和刚才的重复了吧，我记得这位同学刚才排过第一呀？

生1：嗯，重复了！

生2：我觉得没重复，虽然第一个同学的位置没变，但是后面两个同学的位置和刚才不一样。

师：你观察的真仔细！看来想给三人照出不同的照片还真不是一件容易的事儿，今天我们就一起来研究这个问题。

（板书：三人照相）

【评析：老师给三个同学照相，让学生任意排队，并不断交换位置拍照，使学生体会到：在无序思考的狀态下拍出的照片容易遗漏、容易重复。在真实情境中，学生通过观察、体验理解了“重复”“遗漏”的含义，并且感受到有序思考的重要性，激发了学习的积极性和主动性。】

2.符号表示，尝试有序排列

师：同学们想一想，三人照相，最多能照出几张不同的照片呢？

生1：4张。

生2：6张。

生3：9张。

师：大家猜的不一样，你觉得可以拍出几张就把三人的位置写在练习纸上。

生：老师，我不会写这三人的名字怎么办呀？

师：哦，那同学们帮忙想想办法吧。

生1：三位同学的姓不一样，可以只写他们的姓。

生2：可以用图形来表示。

生3：可以用1、2、3表示。

生4：我觉得也可以用字母ABC来表示。

师：同学们想到了这么多好方法！用这些符号来表示这三位同学，写起来就方便多了！那就请你选一种你喜欢的方式作记录吧。

【评析：符号的使用是帮助学生进行数学思考的重要形式。引导学生用符号表示拍照结果，不仅为探究排列规律提供了简洁方便的学习方法，又有利于发展学生的思维，增强符号意识。】

3.全班交流，探究发现规律

师：刚才老师收集了一些同学的记录单，请这几位同学到前面来给大家说说你们的想法。

①生：我用ABC表示这三位同学，我拍了4张照片。

师：请大家仔细观察他的记录单，你们有什么要对他说的吗？

生：他拍的照片太少了，有遗漏的照片。

师：谁能帮他补充？

生：你漏掉了ACB、CBA这两张照片。

②生：我是用图形表示的，我拍了9张照片，可能是拍多了。（不好意思地笑了）

师：那你知道问题出在哪儿了吗？

生：有的照片拍重复了。

师：那我们一起来把重复的照片划掉。划掉以后还剩几张？

生：6张。

③生：我是用数字来表示的，我拍了6张照片。

师：谁来评价一下他拍的这六张照片？

生：他拍的这6张照片既不重复也不遗漏。

生：他拍的照片是有规律的。

师：是什么规律呢？我们请这位同学自己来说一说。

生：第一张是123，第二张是132……

师：这两张照片巾谁的位置没有变？谁的变了呢？怎么变的？

生：这两张照片1的位置没变，2和3交换了位置。

师：你们听他表达的多清楚！请继续！

生：这两张照片2的位置没变，1和3交换了位置;这两张照片3的位置没变，1和2交换了位置。

师：说得很有条理！有规律的排列可以给三人不重复不遗漏地拍出6张照片。

【评析：学生是数学学习的主体，教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动。师生共同分享发现和成果，围绕为何要有序、如何才能做到有序来展开交流，突出要“有序思考”的教学重点。这样既有利于学生体会解决问题的基本策略，又有利于发展学生的有序思维。】

4.再次拍照，体验有序排列

师：现在我们就用这个规律再来一次拍照。请上刚才那三位同学，为了研究方便，我们用ABC来代替你们的姓名好吗？请同学们当摄影师，用这个姿势来拍照，你们指挥，我记录。

（三位同学有序排列照相，同学们做手势拍照。）

师板书：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA

师：你们觉得这两次拍照有什么不同？

生1：刚才那次拍照有点乱，这次一点也不乱。

生2：这次拍照既不重复也不遗漏。

生3：这次拍照有规律，每次都是一个人的位置不变，另外两个人交换位置。

师：一个不变，两个交换！总结的真好！按照这个规律有序排列就能把6张照片不重不漏都拍全。谢谢十三位同学为我们表演了有序排列！

（板书：有序排列）

【评析：学生再次进行有序拍照，与教学之初的无序拍照形成了鲜明的对比，不仅巩固了排列的方法，同时也感受到有序思考的意义。】

三、乒乓比赛，建立模型

师：你们瞧，这里正在进行乒乓球比赛，参加比赛的三个小朋友分别叫聪聪、小强、亮亮。你觉得谁有可能得第一？

生1：我觉得聪聪可能得第一。

生2：我觉得亮亮可能得第一。

生3：我觉得小强可能得第一。

师：也就是三个小朋友都有可能得第一。那比赛的结果有几种可能呢？先和你的同桌说一说，你是怎样想的？

学生同桌交流。

师：谁来说说你是怎么想的？

生1：聪聪第一、亮亮第二、小强第三;聪聪第一、小强第二、亮亮第三;亮亮第一、聪聪第二、小强第三;亮亮第一、小强第二、聪聪第三;小强第一、聪聪第二、亮亮第三;小强第一、亮亮第二、聪聪第三。

生2：假如聪聪得第一，亮亮和小强交换有两种可能。

假如亮亮得第一，聪聪和小强交换有两种可能。

假如小强得第一，亮亮和聪聪交换有两种可能。

师：你们听，他用了一个词“假如”，说明他不用看小朋友表演就能把结果都想出来！

生：我觉得这和照相一样，每个小朋友得第一都有2种可能，3个小朋友就有6种可能。

师：用算式表示就是2×3=6（张）

师：同学们真了不起，看来有序排列的方法已经跑到你们的脑子里去啦！

【评析：学生在学会列举具体结果的基础上用数学语言清楚地表达自己的思维过程和结果，归纳得出3×2=6，从而抽象出数学模式，形成此类问题的解决策略。】

四、归纳总结，拓展升华

师：照这个方法排列，三个玩具左右排列，有几种摆法？

生1：6种。

师：三个笔记本上下排列，有几种摆法？

生2：6种。

师：那摆玩具、摆笔记本、排名次这些事和三人拍照有相同的地方吗？

生3：都是3个事物排列。

生：都有6种结果。

生4：都可以按照一个不变，两个交换的方法进行排列。

师：对，我们在解决这类问题的时候都可以采用“一个不变，两个交换”的方法进行有序排列，这样就可以把6种结果不重不漏地都想全。

五、快乐游戏，激发兴趣

师：王老师经常买笔记本送给我们班的同学鼓励他们写数学日记，今天我也带了3个笔记本，想送给大家！想得到它可不太容易，你们瞧，笔记本上挂着的是什么？

生：密码锁

师：只有猜对了密码才能得到它。敢不敢挑战！

（一）出示第一个笔记本（三个数字全排列）

师：这个本上挂着的是一个三码锁，“密码是由2、5、7三个数字组成的”，这三个数字编出的密码可能有几种呢？大家赶快写一写吧。

請一位学生上台拼密码。

师：究竟密码是其巾哪一个呢？请看下一条提示“密码既不是其中最大的数，也不是最小的数。”

生：说明密码肯定不是752和257。

师：提示3：“密码的中间不是2”。

生：密码中间不是2的有两个，去掉725和5270

师：提示4：“密码的个位上是2”。

生：572 1

师：确定吗？请大声读出解锁密码，笔记本是你的啦！

（二）出示第2个笔记本（从三个数字中选择二个数字排列）

师：第二个笔记本上挂的是二码锁，这两个数字也是在2、5、7中选出来的，那排出的密码会有几种呢？请把他们按照从大到小的顺序排一排，密码排在第五位。

生：排在第五位的是27 1

（三）出示第3个笔记本

师：第三个密码本是一个四码锁，四个数排出的密码可多啦，一时半会儿先写不完，这样，下课以后谁能最先把这些四位数有规律地排列出来，就可以来领取奖品啦！想不想挑战？那就下课后赶紧行动吧！

【评析：三个数字的排列渗透了全排列与选择排列的知识，提高了学生解决问题的灵活性。学生猜密码的游戏具有趣味性和挑战性，激发了学生的学习兴趣，调动起学生学习的积极性，同时使学生感受到数学的价值。“四码锁”比较难，由于课上时间不足，故留作课下作业，使得学习活动从课上延伸到课下，课虽结束，学生的探索热情仍未停步。】

【总评】

“简单的排列问题”是冀教版《义务教育教科书·数学》二年级下册“探索乐园”中的内容。本节课教学以探索简单排列规律为明线，以渗透数学思想方法为暗线，通过创设真实的拍照情境，学生经历了从无序到有序的思考过程，在教师的引导下积极探索发现简单事物排列的规律，初步掌握了排列问题的解决策略。教师提供了丰富的、合适的生活素材，让学生在熟悉的数学情境中发现、提出、分析、解决问题，整节课充满了浓厚的数学趣味和积极的数学思考，学生的数学学习活动是生动活泼的。纵观这节课，有以下几个突出的特点：

1.创设真实有效的数学情境，探索有序排列的规律

数学教学要求紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设各种情境，为学生提供从事数学活动的机会，激发学生对数学的兴趣以及学好数学的愿望。这节课将教材提供的照相情境进行了再加工，创设了教师现场为三位同学照相的真实情境，自然贴切，新颖别致，紧扣主题，一下子吸引了学生的注意力。最初的照相活动未能成功，恰恰暴露出学生缺乏有序思考的原始状态，认识到学习简单排列规律的必要性，从而产生学习新知识的欲望和动力。学生探究得出有序排列的方法后，再次进行拍照，无序拍照和有序拍照形成了鲜明的对比，学生感受有序排列的重要性，同时获得了积极成功的情感体验。这样的情境设计让数学与生活合理合适地相遇，学生身临其境，投入其中。

2.组织生动活泼的探索活动，关注核心素养的培养

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在这个过程中，学生的学习不应该是浮于浅表的、机械模仿的，而是真正能落到实处，触及到数学知识的本质。这节课上，教师鼓励学生自主尝试用自己喜欢的符号表示拍照结果，个性化的表达使学生敢表达、能表达，大胆尝试后学生们的思路如泉涌，呈现出了字母、数字、图形等丰富并极具个性的多元表征，有效培养了学生的符号意识。然而只有自主表达没有对话交流，又怎能让学生获得进一步发展呢？教师把握契机及时引导，怎样使排列结果不重复不遗漏？学生们在师生对话、生生对话巾，不断反思调整、完善自己的认识，每个学生在发现规律、探索规律的数学学习巾获得不同程度的进步与发展，学生也因此收获了宝贵的数学活动经验。

3.设计富有挑战性的游戏活动，激发学生的学习热情

教学中，把数学游戏有机的融入课堂，可以增强课堂的趣味性和活泼性。这节课教师精心设计“猜密码”的数学游戏极具挑战性，激起了学生的探索热情。三个密码锁的设计独具匠心，分别涉及到三个数字全排列和选择排列的知识，不仅巩固了简单排列的方法，还培养了学生灵活解决问题的能力。尤其是最后一个四位数密码锁的拓展性练习，将课堂内的探索热情延伸至课堂外。课上的学习虽然结束了，但学生探索的热情和欲望犹然存在，从而更长久地激活学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。