与“因式分解”交朋友

陈兰馨

学习了整式的乘法之后，我知道了整式乘法就是由“乘”到“加”的过程，那反过来，由“加”到“乘”的过程是什么呢？学习完本章，我认识了一位新朋友——因式分解。

由“加”到“乘”的过程就是因式分解。它和整式乘法是互逆的过程，准确地说就是把一个多项式写成几个整式的积的形式，这样的过程叫作多项式的因式分解。注意，单项式是没有因式分解的哦。

因式分解还有好多解法，比如：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等。下面，我们再来认识一下它的这些解法吧。

提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，我们可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

公式法：利用完全平方公式或平方差公式将多项式写成整式乘积的形式。

要想认识它们，就要充分地观察，发现它们的特征，这样就能够想到和识别出它们了。

例如，因式分解：4ab2-4a2b-b3。

我们先把这个多项式分为3个单项式：4ab2，-4a2b和-b3。仔细观察后发现，这三个单项式都有共同的成分b。这个b就是公因式。提取公因式b后，我们得到b（4ab-4a2-b2）。再觀察，发现括号内为类似于完全平方公式的多项式，但是不完全一样。要使这个多项式变为标准的完全平方公式，就要提取负号。随后得到-b（4a2-4ab+b2），接着，利用完全平方公式，得到-b（2a-b）2。

公式法中，除了利用完全平方公式进行因式分解，还可以利用平方差公式进行因式分解。

例如，因式分解：x2y2-16。同学们可以动手做一做哦。

因式分解的第三种解法是分组分解法，即针对前两种解法无法直接解决的情况，通过分组的方式，从局部到整体，逐步分解。分解的方式一般分为“1+3”式或“2+2”式。

例如，因式分解：x2+2xy+y2-36。

这是一个含有4个单项式的多项式。我们观察前三项，会发现这是典型的完全平方公式。于是我们将原式部分分解为（x+y）2-36。有些小伙伴进行到这步，便止步不前了。但我们再将36看成62，把x+y看作一个整体，会出现什么呢？这不是平方差公式吗？于是，进一步分解，便可以得到（x+y+6）（x+y-6）。

再如，因式分解：x2-7x+6。

通过观察，我们会发现，这里没有公因式，也不具备乘法公式的特征，不能用提公因式法和公式法。我们再仔细观察，还会发现，-7x可以拆成-x和-6x，于是原式化为x2-x-6x+6。观察局部，前两项有公因式，后两项也有公因式，于是提公因式法就可以来帮忙了。局部分解，得到x（x-1）-6（x-1）。再提取一次公因式，就得到（x-1）（x-6）。

对比结果和原式，结合思考过程，我们可以发现：x2可以分解为两个x的积，6可以看成-1和-6的积，而-7x正好可以看成-x和-6x的和。有人把这个过程设计成“十字相乘”的样子，如图1。

这种“十字相乘”的方法，也是因式分解的第四种方法——十字相乘法。即十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。这其实就是乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的逆运算，通过分组分解来进行因式分解。

当然，因式分解的方法可不止这四种，还有其他方法，比如换元法、待定系数法、双十字相乘法，等等。有兴趣的小伙伴可以利用网络资源广泛结识这些好朋友。

教师点评

小作者用轻松的文笔为大家介绍了因式分解及其四种基本方法，不仅注重知识的学习，更关注知识运用的方法及背后的原理。这也启发我们，学习数学知识的时候，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，只有这样，我们才能学好数学，好学数学。 （指导教师：钟 鸣）