从“著名的反例”说起

葛松

公元1640年，法国著名数学家费马发现220+1=3，221+1=5，222+1=17，223+1=257，224+1=65537……而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，22n+1都是质数。可是，到了1732年，数学家欧拉发现：225+1=4294967297=641×6700417。这说明225+1是一个合数，从而否定了费马的猜想。

数学中，判断一件事情的句子叫作命题。命题有真假之分，假命题的“分辨”与真命题的“证明”是有套路的。

一、假命题的分辨

一个命题是由条件和结论两部分构成的，当条件成立，而结论不成立时，这样的命题就叫作假命题。判断一个命题是假命题，其实只需举反例就可以。所谓举反例，就是列举出符合命题的条件，却不符合命题的结论的例子。这样的例子哪怕有一个存在，就足以认定命题是假命题。

例1 下列命题哪些是真命题哪些是假命题？为什么？

（1）如果a2>b2，那么a>b。

（2）两个锐角的和是钝角。

（3）一个角的两边与另一个角的两边平行，这两个角相等。

【解析】（1）（2）（3）都是假命题。

（1）这个命题的条件是a2>b2，结论是a>b。举出反例：a=-3，b=1，它符合命题的条件a2>b2，但是不符合命题的结论a>b。所以这个命题是假命题。

（2）这个命题的条件是两个角是锐角，结论是这两个角的和是钝角。举出反例：一个锐角的度数是30°，另一个锐角的度数是45°，它符合命题的条件——两个角是锐角，但是不符合命题的结论——这两个角的和是钝角。所以这个命题是假命题。

（3）这个命题的条件是一个角的两边与另一个角的两边平行，结論是这两个角相等。这题可以借助于图形举出反例，如图：

它符合命题的条件——一个角的两边与另一个角的两边平行，但是不符合命题的结论——这两个角相等。所以这个命题是假命题。

二、真命题的证明

当命题的条件成立，结论成立，这样的命题就叫作真命题。要想证明一个命题是真命题也有一定的套路。证明的一般步骤如下：

1.根据题意，作出图形;

2.根据题设、结论，结合图形，写出已知……，求证……;

3.写出证明过程。

例2 证明“有两个角互余的三角形是直角三角形”。

【解析】已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°。

求证：△ABC是直角三角形。

证明过程：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-∠A-∠B（等式性质），

∵∠A+∠B=90°（已知），

∴∠C=180°-90°=90°（等量代换），

∴△ABC是直角三角形（直角三角形定义）。

（作者单位：江苏省泗阳县开发区初级中学）