学贵质疑有疑则进

崔恒刘

当代著名的计算数论专家卡尔，1944年出生于美国密苏里州的乔普林。他于1972年获得哈佛大学博士学位，博士论文中证明了任何奇完美数至少有7个不同的质因数，毕业后就职于乔治亚大学，并于1982年成为终身教授。他曾在多家学术机构和著名大学任职，荣获多项国际数学大奖，出版过多部数学著作，发表学术论文近200篇，在国际数论研究领域有广泛的影响。

卡尔曾回忆学生时代发生过的一件有趣的事情：上中学时，一次他去参加数学竞赛，其中一道题是分解自然数8051。求解这种题的常规方法是大家熟悉的因数检验法， 然而他没有使用一般的因数检验法，而是动脑筋，试图发现8051的因数的简单算法。但是在规定的时间内卡尔失败了，因而与获奖失之交臂。分解质因数是整数乘法的逆运算，实现这种反向任务有时异常艰难，而我们大家熟知的互联网安全正是建立在“分解出大整数的约数（通常是质数）是极其困难的问题”这一基础上的。

事实上，8051存在简单的分解方法：8051=8100-49=902-72=（90+7）（90-7）=97×83。

失利的卡爾并没有放弃对问题的深入思考，他给自己提出了一个挑战性的问题：一个能够分解的整数是否一定是两个整数的平方差？经过进一步的思考，卡尔得到一个数论上很有名的定理：每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。

证明：若c是奇合数，则必存在大于1的奇数m、n，使得c=mn。

当m=n时，c=m2-02，且m+0=m-0=m>1，结论成立;

当m≠n时，不妨设m>n，x=[m+n2]，y=[m-n2]，因为m、n均为奇数，所以x、y均为整数，且x+y=m>1，x-y=n>1，c=mn=（x+y）（x-y），结论成立;

综合上述两种情况，结论得证。

俄罗斯著名作家托尔斯泰说：为灵魂建一块高地，才能俯视尘埃，从容自信，不流世俗。卡尔的故事告诉我们：在研究数学问题时一定要锲而不舍，只要意志力坚强，多难的数学问题都是能搞清楚的;遇到难题时，做一次就能做明白的很少，能完整地记住它的更少，做一遍，隔一段时间再研究一遍，过一段时间再总结一遍，这样三番五次地研究它，你将永远记住它;如果一时受困于某个具体问题，要学会转换思考的视角，敢于猜想，敢于提出问题，积极形成反思的意识;在学习时一定要善于动脑，多思考，凡事问一个“为什么”，养成探究问题、大胆质疑的习惯，所谓“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进”。

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团中心校区）