五招教你快解数学选择题

陈程　屈昕

选择题作为一种标准化试题，在中考中占有相当的比重，除了常见的排除法、验证法、代入法之外，本文总结了另外几种解法供同学们参考，力求让同学们能够正确认识、辨析选择题，并提高解决问题的能力。

一、数形结合法

有些选择题，进行计算、推理和判断比较复杂，条件和结论似是而非，但能画出图形和图象来描述，可以借助图形、图象进行直观判断，或结合题意和图象、图形进行简单的计算和推理，找出正确答案。这种方法的优点是形象直观，易于把复杂的计算、推理和判断简单化，缺点是把问题图形和图象化，需要同学们有很强的数学基础知识和空间想象能力。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。

以上说法正确的个数为（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：此题较抽象，可先画符合条件的图象：据a>0可知图象开口向上，据-[b2a]<0，可知对称轴在y轴左侧，再有c<0，可知图象与y轴交点的位置在y轴负半轴，据此，画出符合要求的二次函数图象（图略），结合图象可知，该二次函数图象开口向上，顶点在第三象限，与x轴有两个交点，一个在x轴正半轴，一个在x轴负半轴，故本题答案为C。

二、特例法

利用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形，进行演绎推理，以达到判断各个选项正确或错误的目的，这种解答选择题的方法称为特例法。特例法的关键在于寻找特例，即寻找的特殊图形既要符合题设的要求，还要有利于对问题的分析和解决。其优点是利用简单、特殊的图形，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把题目“特殊”成不合题目要求的图形，从而得出错误的结论。

例2 如图1，等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=[kx]（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）

A.1

解析：根据题目条件可求出△ABC各顶点的坐标：A（1，1），B（3，1），C（1，3），本题若用直接法求k的取值范围，要分双曲线与边AB，AC，BC有交点3种情况来计算，计算量比较大。采用特例法则能较好地解决这一问题。我们取双曲线与边AB，AC，BC有交点的特殊情况来计算：当双曲线过点A时，可计算出k=1，当双曲线过点B时，同时过点C，可计算出k=3，故答案A可排除，但此时，我们发现从计算出k=1到计算出k=3，双曲线向右移动的过程中始终没有与边BC相交，故答案B不完全，被排除。是选C还是选D，我们再取特殊点，由于直线y=x与BC的交点坐标为（2，2），而双曲线过此点时，k=4，故答案为C。

三、估算法

估算法适用于含一定计算因素的选择题，是通过对数据进行粗略、近似的估算，从而确定正确答案的一种解题方法。这类题的考查重心主要不在“数”，而在“理”，不追求数据精确，而追求方法正确。采用“估算法”可以忽略次要因素，抓住问题的本质，以达到快速求解的目的。

例3 如圖2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

解析：本题可通过在Rt△CEN中运用勾股定理求出线段CN的长，但运用估算的方法会使该题更简单：由于点E是BC的中点，所以EC=4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜边，所以EN>EC，即EN>4cm，又因为EN=DN，而DN+CN=8cm，可知CN<4cm，故答案为A。

四、观察法

观察法是指通过观察题目中数、式的变化规律，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系或变化特征，选出正确答案的解题方法。

例4 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上。一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图3所示，若沿OM将圆锥面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

图3 A B C D

解析：蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹是解题的关键，根据“两点之间，线段最短”可知，蜗牛从P点出发，最后又回到P点，最短路线应该是一条线段，据此，通过观察4个选项，只有C和D符合，再进一步观察C、D两个选项，可以发现，沿OM将圆锥侧面剪开并展开后，P点到O点的距离应相等，据此答案应选D。

其实解答本题最直观的办法是制作一个圆锥，在圆锥上大致画出蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹，然后沿OM将圆锥侧面剪开并展开，观察和哪个选项一致。但在考场上每分每秒都十分宝贵，不应在选择题上耗费太多时间。

五、联想构造法

所谓联想构造法就是根据题设和结论所具有的性质特征构造出满足条件和结论的数学模型，借助于数学模型来解决数学问题的一种方法。这种借用一类问题的性质来研究另一类问题的思维方法在解数学问题时，常常能起到意想不到的效果。

例5 下列命题：

①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；

②若b>a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

④若b2-4ac>0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。

其中正确的是（ ）。

A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有②③④

解析：对于①，可联想到x=1时，a+b+c=0，因此可知方程ax2+bx+c=0一定有一个根x=1，故①正确；

对于②，条件b>a+c可变为a-b+c<0，可联想到一元二次方程ax2+bx+c=0有无实数根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴有无交点，对于y=ax2+bx+c，当x=-1时，可知y=a-b+c<0，故当x=-1时，二次函数y=ax2+bx+c所对应的点在第三象限，当a<0时，只要顶点在x轴下方，由y=ax2+bx+c的大致图象可知其与x轴无交点，故②错误；

对于③，判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数，联想到根的判别式即可解决：b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+9c2+8ac=2a2+2（a+2c）2+c2>0，故方程有两个不相等的实数根；

对于④，由b2-4ac可联想到它通常与一元二次方程根的情况或抛物线与x轴交点的个数有关，可知当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，故④正确，从而得出答案为B。

以上列举了解选择题的几种方法，但真正在解选择题的过程中，很多办法都是相通的，有的选择题只能用一种方法来解，而有的则可以几种方法联合运用。掌握多种方法，更利于同学们在考场上快速找出正确答案。