理清思路，志在必得

刘佳

“一元二次方程”安排在九年级上册第一章，是初中阶段学习的最后一类方程，同时也为后面二次函数的学习做了铺垫。在学习一元二次方程时，我们的研究路径一般是“概念—解法—应用”。一元二次方程与之前所学的方程又有不同之处，即一元二次方程的根与系数的关系作为每年中考必考知识点，简单，易得分。下面围绕这个知识点介绍几种类型的题目，希望同学们能熟练运用。

例1 已知关于x的方程x²-6x+m²-3m-5=0的一个根是-1，求方程的另一个根和m的值。

【分析】這道题方法不唯一，你是怎么思考的？

方法一：把X=-1代入原方程，得到关于m的一元二次方程。求出m的值，再代入原方程求解。该方法没有用到一元二次方程根与系数的关系，仅利用解一元二次方程解决的。

方法二：由题意，可知a=1，b=-6，c=m²-3m-5。由一元二次方程的根与系数的关系可得x₁+x₂=-b/a=6，x₁·x₂=c/a=m²-3m-5，寻求到突破口，解决问题。

解法一：把X=--1代入原方程，得1+6+m²-3m-5=0。

整理，得m²-3m+2=0。

解这个方程，得m₁=2，m₂=1。

把m₁=2代入原方程，得x²-6x-7=0。

解这个方程，得x₁=-1，x₂=7。

所以方程的另一个根是7，m的值是1或2。

解法二：由题意，得a=1，b=-6，c=m²-3m-5。

x₁+x₂=b/a=6。

把x=-1代入，得另一个根为7。

由x₁·x₂=c/a，得

m²-3m-5=-1×7=-7。

解这个方程，得m₁=2，m₂=1。

所以方程的另一个根是7，m的值是1或2。

例2 已知关于x的方程x²+px+q=0的两根为-3和-1，求p、q的值。

【分析】方法一：把两根分别代入原方程，得到关于p、q的二元一次方程组，解这个方程组即可。

方法二：由题可知a=1，b=p，c=q，由一元二次方程的根与系数的关系可得x₁+x₂=-b/a=-p=-4，x₁·x₂=c/a=q=3，进而求解。