剖析一元二次方程中的常见错解

何加宽

一元二次方程是初中数学的重要学习内容，是中考中的“常客”。有些同学由于概念不清、方法不明等原因，经常在解决一元二次方程相关问题时出错。现对一元二次方程的典型易错题进行举例剖析，以供同学们学习时参考。

一、忽视二次项系数不为0

例1 若关于x的方程（m+1）x^m2-1-2x+1=0是一元二次方程，则m的值为____。

【错解】因为这是一元二次方程，所以含有未知数x的项的最高次数是2，即m²+1=2，解得m=±1。

【剖析】本题考查一元二次方程的概念。错因是对概念理解不透彻，忽视二次项系数a≠0。当m=-1时，此方程变成一元一次方程，显然不符合题意，所以m=-1应舍去。

【正解】由m²+1=2，得m=±1。又因为m+1≠0，即m≠-1，所以m的值为1。

【点评】ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）是一元二次方程的一般形式。同学们在解题时，不能看到“二次”就只顾“次数”，还需注意a≠0的条件限制。同学们平时对一元二次方程等概念的学习，不仅要看“样子”，还要关注“条件”。

二、解方程步骤不清、忽视条件漏根

例2 解方程：（1）（x-1）²=4;（2）3x（x-3）=2（x-3）。

【错解】（1）x-1=2，x=3;（2）方程两边同除以x-3，得3x=2，x=2/3。

【点评】根据平方根定义，解方程时要明晰定义和性质，理清解方程的步骤，预防丢根;在应用等式的性质解方程时，切不可在方程两边同除以含未知数的代数式，否则将失根。增根好剔除，失根难寻找哦。

三、忽视分类讨论

例3 已知关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m+1=0有实数根，求m的取值范围。

【错解】因为关于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m+1=0有实数根，所以m-2≠0，[-2（m-1）]²-4（m-2）（m+1）≥0，解得m<3且m≠2。

【剖析】题目中没有指明关于x的方程是一元二次方程，那么它也可能是一元一次方程，因此要对关于x的方程进行分类讨论。

【正解】因为关于x的方程（m-2）x²-2·（m-1）x+m+1=0有实数根，

所以（1）当m-2=0，即m=2时，原方程可化为-2x+3=0，解得x=3/2，则m=2时，方程有实数根;

（2）当m-2≠0，即m≠2时，[-2（m-1）]²-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

綜上所述，m的取值范围是m≤3。

【点评】我们在解题时，要看清题意，不能盲目认为有实数根的方程就是一元二次方程。“有实数根”不等于“有两个实数根”，对于含字母参数的方程ax²+bx+c=0存在实数根时，需分a=0和a≠0两种情况分类讨论。

四、忽视实际意义

例4某商场以成本为每件60元购进一批衬衫，以每件100元的价格销售，每天可卖出20件。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件衬衫每降价5元，则每天可多卖10件。若商店平均每天盈利1200元，每件衬衫的售价应定为多少元？

【错解】设每件衬衫的售价为x元。根据题意，得（x-60）[20+10/5（100-x）]=1200，整理，得x²-170x+7200=0，解这个方程，得x₁=90，x₂=80。

答：每件衬衫的售价为80元或90元。

【剖析】根据“总盈利=单件利润×销售数量”，归为“a×b=c”模型。本题要考虑“每件衬衫每降价5元，则每天可多卖10件”，转化为每降价1元，每天多卖10/5件，还要注意“尽快减少库存”这个条件，对两个根进行取舍。

【正解】设每件衬衫的售价为x元。

根据题意，得（x-60）[20+10/5（100-x）]=1200，

整理，得x²-170x+7200=0，

解这个方程，得x₁=90，X₂=80。

因为商场要扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，所以当x₁=90时，销售量：20+10/5×（100-x）=40;当x₂=80时，销售量：20+10/5×（100-x）=60，因此，每件衬衫的售价90元不合题意，舍去。

答：每件衬衫的售价为80元。

【点评】一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。检验方程的解，不仅要考虑是否适合方程本身，还要考虑是否符合实际意义。