图形中的一元二次方程

何君青

方程是初中数学“数与代数”中重要的一部分内容，苏科版九年级教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近几年来，各地中考普遍从不同角度对一元二次方程的知识进行比较全面、系统的考查，大部分试题通过直接考查一元二次方程的意义与解法，突出对基础知识与基本技能的考查;通过设置现实问题情境，考查同学们列一元二次方程解决实际问题的能力，突出对数学建模和数学应用的考查;通过设置综合性问题，考查同学们对一元二次方程的灵活运用，突出对方程思想的考查。下面就以一元二次方程与图形结合的问题为例进行剖析，以期对同学们一元二次方程的学习有所帮助。

一、图形构成与一元二次方程

各地普遍采用设置符合同学们认知的实际问题情境的方式，考查列方程解决实际问题的能力。特别突出的是，部分试题注重利用方程的结果，对实际问题作出判断与预测，或对实际问题设计实施方案等方式，强化对数学应用的考查。

例1 用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm²的矩形？如能，说明围法;如果不能，说明理由。

解：设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm。

根据题意，得x（10-x）=30，

即x²-10x+30=0。

因为Δ=b²-4ac=10²-4×30=-20<0，所以此一元二次方程无实数根。

答：用一条长20cm的绳子不能围成一个面积为30cm²的矩形。

【点评】题目在考查列方程的同时，更关注对实际问题理解能力的考查。若所求几何图形能构成，则能算出具体的值;若不能构成，则找不到符合条件的值，或无实数根，或算出的根不在实际范围内。

二、動点问题与一元二次方程

由于动点问题是数学考试中重要的一类题型，所以一元二次方程还常常会与动点问题结合，考查同学们列方程解决问题的能力。特别需要注意的是，部分试题会和面积、长度等知识结合，考查同学们灵活运用方程的能力。

例2 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，与此同时，点（）从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。当点Q到达点B时，点P停止移动。