勾股定理在圆中的应用

史新景

勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在有关几何的证明与计算题中到处可以看到它的身影，在圆的世界中更是如此.本文通过以下几个实例说明勾股定理在圆中有着广泛的应用.

一、勾股定理与垂径定理

例1 如图1所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出[AB]所在圆的半径.

【分析】弦心距用半径来表示是解决问题的关键，设半径为r，则弦心距为r-1，根据勾股定理可得方程r2=[32]2+（r-1）2，从而问题得解.

解：∵OE⊥AB，∴AF=[12]AB=[32]（m），

设AO=r，则OF=r-1，

在Rt△AOF中，AO2=OF2+AF2，

即r2=[32]2+（r-1）2，∴r=[138].

[AB]所在圆的半径为[138]m.

【点评】此类题目中垂径定理与勾股定理如影相随，通常采用把半弦、弦心距、半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答.

二、勾股定理与切线长定理

例2 如图2，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5， Rt△ABC的内切圆O与三边分别相切于点D、E、F，半径r=2，求△ABC的周长.

【分析】见切点，连半径，得垂直，连接OE，OF，得到四边形OECF为正方形，CE=CF=r=2，因为BC=5，所以BF=BD=3，要求三角形的周长只需要求出AD，AE的长度，设为x，在直角三角形中运用勾股定理即可求解.

解：连接OE、OF，設AD=x，则AE=AD=x，

∵点D、E、F是切点，∴OE⊥AC，OF⊥BC，

又∵∠C=90°，OE=OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵⊙O的半径为2，BC=5，

∴CE=CF=2，BD=BF=3，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，

即（x+2）2+52=（x+3）2，∴x=10，

∴AC=12，AB=13，

∴△ABC的周长为12+5+13=30.

【点评】本题主要考查切线长定理、正方形的判断和勾股定理的应用，连接OE、OF，构造正方形OECF是解题的关键.

三、勾股定理与内切圆

例3 某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛.

（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图3（1））内确定圆形花坛的圆心P；

（2）若这个等边三角形的边长为18m，请计算出花坛的面积.

【分析】（1）在△ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点P为角平分线的交点.（2）注意到Rt△BPD一个锐角为30°，BP=2PD，再利用勾股定理问题就迎刃而解了.

解：（1）见分析如图3（2）；

（2）在Rt△BPD中，BD=9m，∠PBD=30°，设PD=x，则BP=2x，由勾股定理得：x2+92=（2x）2，解得 x1=[33]，x2=-[33]（舍），

∴花坛的面积为π?（[33]）2=27π（m2）.

【点评】要使花坛的面积最大，作出三角形的内切圆即可.

四、勾股定理与正多边形

例4 一个亭子的地基是半径（外接圆半径）为8m的正六边形，求地基的周长与面积.

【分析】正六边形的中心角是60°，易知△OBC是正三角形，边长等于半径，周长为半径的六倍，正六边形的面积为△OBC面积的六倍.

解：连接OB、OC，∵∠BOC=60°，

∴△OBC是正三角形，∴BC=OB=8m，

∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48（m）.

过O作OG⊥BC于G，

∴BG=[12]BC=[12]×8=4，

在Rt△BOG中，由勾股定理得

OG=[BO2-BG2]=[82-42]=[43]，

∴S△OBC=[12]BC?OG=[12]×8×[43]=[163]，

∴S=6S△OBC=6×[163]=[963]（m2）.

【点评】本题考查的是正六边形、等边三角形的性质及勾股定理，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，掌握辅助线的作法是解此题的关键.

五、勾股定理与切线

例5 （2016·哈尔滨）如图5，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE.若AE=6，OA=5，则线段DC的长为 .

【分析】OC交BE于F，如图5，由圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，可判断四边形CDEF为矩形，所以CD=EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长.

解：OC交BE于F，如图5，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AD⊥l，∴BE∥CD，

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，

∴四边形CDEF为矩形，

∴CD=EF，

在Rt△ABE中，BE=[102-62]=8，

∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4.

（作者单位：江苏省丰县初级中学 ）