“圆”中渗透的数学思想

赵传东

数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.

一、圆中的分类思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.

1.点和圆位置关系中的分类讨论.

例1 如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）.

A.25°或155° B.50°或155°

C.25°或130° D.50°或130°

【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.

解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；

当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.

∴∠BDC的度数为25°或155°.

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.

2.直线和圆位置关系中的分类讨论.

例2 如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）.

A.1 B.1或5 C.3 D.5

【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.

解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.

【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.

3.圆与圆位置关系中的分类讨论.

例3 以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为 .

【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.

解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=[12]（3-1）=1（cm）；

②若圆P与小圆内切，如图3（2），此时圆P的半径=[12]（3+1）=2（cm）.

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.

二、圆锥中的转化思想

例4 如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 .

【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的最短路线的长实际上是扇形中弦AB的長度.[AB]的长度就是圆锥的底面周长.

解：圆锥侧面展开图扇形的圆心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根据勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距离为[82].

【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.

例5 如图5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）.

A.4π B.[42π] C.8π D.[82π]

【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.

解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周所形成的几何体是由有公共底面的两个相同圆锥构成，其底面半径为2，母线长为[22]，圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，即为2×π×2=4π，半径是圆锥的母线长[22]，根据扇形的面积公式可求得这个圆锥的侧面积为[12]×4π×[22]=[42]π，所以几何体的表面积为[42]π×2=[82]π.故选D.

【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）