两招定切线解题特方便

陈焕芬　王锋

直线与圆有一种特殊的位置关系，那就是——相切，如何判定一条直线是圆的切线，有两种常见判定方法：①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；②经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

一、无公共点，作“垂线”，证“等于半径”

例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以点O为圆心的⊙O与AC相切于点D.求证：⊙O与AB相切.

【思路突破】根据切线的性质可知⊙O的半径OD⊥AC，根据“圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线”，只需证明点O到AB的距离等于OD即可.

证明：如图1，连接AO，OD，过点O作OE⊥AB于点E.∵AC是⊙O的切线，切于D，

∴OD⊥AC.

∵AB=AC，O是BC的中点，

∴AO平分∠BAC.

又∵OD⊥AC，OE⊥AB，

∴OD=OE，∴⊙O与AB相切.

【点评】由于题目未明确指出AB与⊙O是否有公共点，只需过圆心作直线AB的垂线段，证明垂线段的长等于半径即可.

例2 如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB.

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系.

【思路突破】（1）根据题意无法判定线段BC所在直线与小圆是否有公共点，因而可以选择判定方法①.为此可过点O作BC所在直线的垂线段OE，只需证明OE=OA（⊙O的半径）即可.

（2）由（1）可知CA=CE，只需说明BE=AD，便可以猜想到AC+AD=BC.

解：（1）BC所在直线与小圆相切.

理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E，

∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，

∴OA⊥AC，

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，

∴BC所在直线与小圆相切.

（2）AC+AD=BC.

理由如下：连接OD.∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA.

∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∠OAD=∠OEB，∴Rt△OAD≌Rt△OEB，

∴EB=AD，∴BC=AC+AD.

【点评】证明线段之间的和差关系，通常是在长线段上截取一段等于短线段，再证剩余的线段等于另一条线段即可.

二、连“半径”证“垂直”

例3 如图3，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，ME=1，AM=2，AE=[3]，求證：BC是⊙O的切线.

【思路突破】BC经过半径OB的外端，因此只需证明OB⊥BC即可.

证明：∵ME=1，AM=2，AE=[3]，

∴△AME是直角三角形.

又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°.

∴BC是⊙O的切线.

【点评】当已知三角形的三边的长度时，可以根据“两短边的平方和等于最长边的平方”，来说明此三角形为直角三角形，进而确定线段互相垂直的关系.

例4 如图4，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD.

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.

【思路突破】（1）直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求得AC=4；（2）连接OC，证OC⊥CD即可.

解：（1）略.

（2）证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

又∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线.

【点评】要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

例5 如图5，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证：直线CD是⊙M的切线.

【思路突破】（1）连接AB、BC，根据网格画出它们的垂直平分线，其交点就是圆心M的位置.（2）欲证直线CD是⊙M的切线，只需证∠MCD=90°即可.

解：（1）如图6.

（2）证明：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而得C（6，2）.如图6，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD.

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，

在Rt△CEM中，∠CEM=90°，

∴MC2=ME2+CE2=42+22=20.

在Rt△CED中，∠CED=90°，

∴CD2=ED2+CE2=12+22=5，

∴MD2=MC2+CD2，

∴∠MCD=90°，又因为MC为半径，

∴直线CD是⊙M的切线.

【点评】以网格为背景的问题，要充分发挥网格中的平行与垂直关系，挖掘出隐含的直角三角形、矩形、正方形及全等三角形等基本的图形，以便利用其基本图形的性质，帮助我们解决相关的问题.

（作者单位：江苏省丰县实验中学）