紧扣概念 把握实质

王亚

苏科版《数学》九年级下册没有给出“坡角”和“坡度”的具体概念，仅仅是在第113页问题1中给出了斜坡的坡角和坡度i的意义.

如图1所示，斜坡AB的坡角就是其与水平线的夹角∠A，斜坡AB的坡度i=tanA.

不妨过点B作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，有tanA=，因此，i=tanA=.根据三角函数的概念，我们不难发现：在斜坡的坡角、坡度i和斜坡的铅直高度、水平宽度之间存在着如下的密切联系.

1. 斜坡AB的坡度i越大，斜坡的坡角A就越大，其坡面AB就越陡；斜坡AB的坡度i越小，斜坡的坡角A就越小，其坡面AB就越平缓.

2. 斜坡的水平宽度一定时，铅直高度越高，则斜坡的坡角A就越大，斜坡AB的坡度i越大，其坡面AB就越陡；斜坡的水平宽度一定时，铅直高度越低，则斜坡的坡角A就越小，斜坡AB的坡度i越小，其坡面AB就越平缓.

解决这类问题的关键是将实际问题抽象为数学问题，把握其隐含的本质特征，建立直角三角形的数学模型，并应用三角函数加以解答.现举例加以说明，以期帮助同学们在遇到此类问题时扫除障碍.

例1 （2015·济宁）如图2，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1∶2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）.

A. 5米 B. 6米

C. 8米 D. （3+）米

【解析】由斜面AC的坡度为1∶2知CD与AD的比为1∶2，可设CD=a，则AD=2a，因此，在Rt△ADC中，由勾股定理得a2+（2a）2=（3）2，解得a=3. 又在Rt△ABD中，设BC=x，则BD=3+x，AD=6，根据勾股定理得62+（3+x）2=102，解得x=5，所以本题选A.

【点评】本题考查了应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角相关的实际问题，解题的关键是理解坡度的概念，把握其实质建立直角三角形并利用勾股定理建立方程求得结果.

例2 （2015·十堰）如图3，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4∶3，坡长AB=8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为_______米.（结果保留根号）

【分析】由条件，我们可以先构造Rt△ABE和Rt△CDH，然后根据坡度分别计算出AE和BE的长，从而求出AH和DH的长.最后在Rt△CDH中，利用tan30°的三角函数求出CH的长，再减去AH的长即可求出小船C到岸边的距离CA的长.

解：延长DG，交CA延长线于点H，过点B作BE⊥AH，垂足为点E，则DH⊥CH，垂足为H.

在Rt△ABE中，i=4∶3，即=，

设BE=4x，AE=3x，则AB=5x，

由AB=8，得x=，

∴BE==GH，AE=，

∴DH=DG+GH=1.6+=8，

AH=+0.7=.

∵∠FDC=30°，∴∠C=30°，

在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠C=，

∴=，∴CH=8，

∴AC=CH-AH=8-.

【点评】本题以河岸迎水坡的坡度为问题背景，考查了同学们对坡度概念的理解，解答本题的关键在于构建直角三角形，应用图形中隐含的线段之间的比值、三角函数和勾股定理，建立方程解决问题.

例3 如图4，某市防洪指挥部发现江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡度i=1∶2.

（1） 求加固后坝底增加的宽度AF的长；

（2） 求完成这项工程需要土石多少立方米？

【分析】（1） 由于梯形ABCD的两底是平行的，则点D、E到底边AB的距离是相等的，不妨分别过点E、点D作AB的垂线，设垂足为G、H.因而，在Rt△EFG中，可以根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长，再由AF=FG+GH-AH求出AF的长.

（2） 梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积.根据（1）中求得的线段长度，可以先求得梯形AFED的面积，再求得这项工程需要土石的立方米数.

解：（1） 分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DH平行且等于EG，

∴四边形EGHD是矩形，∴ED=GH.

在Rt△ADH中，∠AHD=90°，∠DAH=45°，

∴AH=DH=8（米），

在Rt△FGE中，i=1∶2=，

∴FG=2EG=16（米），

∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10（米）.

（2） 加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19 200（立方米）.

答：（1） 加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2） 完成这项工程需要土石19 200立方米.

【点评】本题以某市防洪指挥部专家组制定的加固方案所需土石的立方数为问题背景，考查同学们能否灵活应用坡度的概念，把握问题的实际本质，构建直角三角形，应用三角函数化归数学问题，使得问题迎刃而解.

（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）