锐角三角函数错题分析

卢定波

在求锐角三角函数值时，有的同学由于对锐角三角函数的定义理解不清，或特殊角的三角函数值混淆，或胡编乱凑，或在非直角三角形中直接求解，或想当然，或审题错误等，易出现一些自己察觉不到的错误，走进了解题的误区.为了让同学们不重蹈覆辙，现举例加以剖析，帮同学们学好这一重要知识点.

一、 定义理解不清

【错解】cosA==，选择C.

【分析】学生误认为cosA=而出错.

【正解】∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，根据勾股定理AC==4，∴cosA==.故应该选择D.

二、 特殊角的三角函数值混淆

例2 计算cos30°的值是______.

【错解】cos30°=×

=.

【分析】特殊角30°的正弦值与余弦值混淆不清. 熟记三角函数的特殊值是解题的关键.三角函数如下表：

【正解】cos30°=×=.

三、 胡编乱凑出错

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=_______.

【错解】因为sinA===，所以sin=.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.实际上，∠A的一半的正弦值与∠A的正弦值的一半是不相等的.如sin90°=1，而sin45°=，而不等于1的一半.本题正确的解法是先求得的值，然后再求其正弦值.

【正解】因为sinA===，所以∠A=60°，所以=30°，所以sin=.

四、 在非直角三角形中直接求解出错

例4 在如图2所示的4×8网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C在格点上，则tan∠CAB=_______.

【错解】由勾股定理得BC==5，AB=3，tan∠CAB==.

【分析】错解忽略了求一个锐角的三角函数必须将这个角放在直角三角形中进行求解这一前提条件，而△ABC是非直角三角形.

【正解】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图3所示.在Rt△ADC中，CD=4，AD=6，

所以tan∠CAB===.

五、 想当然出错

例5 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别a、b、c，且a=13，b=12，c=5，求sin∠B.

【错解】根据锐角三角函数的定义知sin∠B==.

【分析】从sin∠B=>1来看，计算是错误的，分析错解的原因，主要是受思维定势的影响，不能灵活应用锐角三角函数的定义.要求sin∠B的值，需要先确定△ABC是否直角三角形，如果是，应先确定直角和∠B的对边，然后再利用定义求解.

【正解】因为b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形且∠A=90°，所以sin∠B==.

六、 审题出错

例6 如图4，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是_______.

【错解】在Rt△ADE中，cosA==，所以AE=3，AD=5，由勾股定理得DE=4.所以tan∠DBE==.

【分析】直角三角形三边的比是3∶4∶5，不一定三边的长分别就是3，4，5.而是设三边的长分别为3x，4x，5x，再利用其他条件进行求解比较合适.在本题中，由cosA==而“牵强”地认为AE=3，AD=5，这是错误的. 本题的另一错误是误认为tan∠DBE=，把求tan∠DBE当作求tan∠DAE.

【正解】∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，

∴可设AD=AB=5x，AE=3x，

则5x-3x=4，x=2，

即AD=10，AE=6，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

DE==8，

在Rt△BDE中，tan∠DBE===2.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区大中镇新团初级中学）