一道课本复习题的解答与应用

赵正祥

苏科版《数学》九年级下册第119页复习题中“复习巩固”第1题为：

在Rt△ABC中，∠C=90°，

（1） 若∠A=45°，则BC∶AC∶AB=_______；

（2） 若∠A=30°，则BC∶AC∶AB=_______.

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，sinA=， cosA=.

（1） ∠A=45°时，tanA==1，

sinA==，

所以BC∶AC∶AB=1∶1：；

（2） ∠A=30°时，tanA==，

sinA==，

所以BC∶AC∶AB=1∶∶2.

【启迪】根据这道课本习题，我们可以得出如下结论：如图1，在等腰直角三角形中，两直角边与斜边的比为1∶1∶；如图2，含有30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与相邻的直角边以及斜边的比为1∶∶2.应用这两个特殊直角三角形的三边之间的数量关系，可以帮助我们在解决含有30°、45°和60°角的直角三角形问题时，直接揭示其三边之间的数量关系，使问题的解答简捷、迅速、灵活、明快.

应用一 解直角三角形中的应用

例1 如图3，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=2+2，求AC的长.

【分析】根据条件，可以确定△ABC不是直角三角形，我们不妨过点A作AD⊥BC，垂足为D，将∠B、∠C分别放置到两个直角三角形中，并应用边与边之间的数量关系建立方程进行求解.

解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，

∴AD∶BD=1∶1.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，

∴AD∶CD=1：，AD∶AC=1∶2.

设AD=x，则BD=x，CD=x，AC=2x.

∵BC=2+2，

∴x+x=2+2，解得x=2，即AD=2，

∴AC=2x=4.

【点评】在解答这类非直角三角形的问题时，常作出一边上的高，将三角形看成两个直角三角形，并把其中公共的直角边作为桥梁建立等量关系，从而列出方程或方程组解决问题.

例2 如图4，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=6，求AB的长.

【分析】由条件可以知道图形中隐含着两个直角三角形，且都含有30°角，因而这两个直角三角形的三边都具有1∶∶2的数量关系，且BC是这两个直角三角形的公共边，具有桥梁作用.

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABC=30°，∠A=30°.

在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠DBC=30°，

∴CD∶BC=1：，

设CD=x，则BC=x.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴BC∶AC=1：，BC∶AB=1∶2，

∴AC=·x=3x.

∵AD=AC-CD=3x-x，AD=6，

∴3x-x=6，解得x=3.

∴BC=3，AB=6.

【点评】本题巧妙地根据含有内角为30°的直角三角形所隐含的边之间的数量关系建立方程，从而求得相应的线段长.

应用二 解决实际问题中的应用

例3 小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30 m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（B、F、D在同一直线上）.已知小敏的眼睛与地面距离为1.5 m，求这栋建筑物CD的高度.

【分析】延长AE交CD于点G，设CG=x m，在Rt△CGE中利用特殊角，用x表示出EG，然后在Rt△ACG中，利用特殊角，用x表示出AG，根据AE=AG-EG，即可列方程求得x的值，进而求得CD的长.

解：延长AE交CD于点G，设CG=x m.

在Rt△CGE中，∠CGE=90°，∠CEG=45°，则EG=CG=x.

在Rt△ACG中，∠CGA=90°，∠CAG=30°，则AG=x.

∵AG-EG=AE，AE=30，

∴x-x=30，解得：

x=15（+1）≈15×2.732≈40.98，

则CD=40.98+1.5=42.48≈42（m）.

答：这栋建筑物CD的高度约为42 m.

【点评】利用三角函数解决具体问题，常常需要把该锐角放到一个直角三角形中来求出相关线段的长度.

例4 如图6所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最高点B高出地面的距离为5米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）.

（1） 求AE的长；

（2） 已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

【分析】（1） 在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°和最高点B高出地面的距离，可以求得AB的长，再由题意知BG∥CD，根据A，B两点处的仰角，即可证明△ABE是等腰三角形，求出AE的长.

（2） 在Rt△ADE中，利用∠EAD=60°揭示DE与AE之间的数量关系求出DE的长，然后求出旗子到达顶端需要运动的路程，再利用“时间=路程÷速度”求出时间.

解：（1） 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

∴ AB=2BC=10.

∵BG∥CD，∴∠GBA=∠BAC=30°.

又∵∠GBE=15°，∴∠ABE=45°.

∵∠EAD=60°，∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AE=AB=10（米）.

（2） 在Rt△ADE中，∠D=90°，∠EAD=60°，∴DE∶AE=∶2，

∴DE=15.

又DF=1，∴FE=14，

∴所需时间t==28 （秒）.

答：旗子到达旗杆顶端需要28秒.

【点评】解决本题需能够灵活应用图形中的角度挖掘隐含的直角三角形，利用特殊角揭示的边与边之间的数量关系解决问题.

（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）