“锐角三角函数”数学思想面面观

陆中明

数学思想是数学的灵魂、精髓.学习数学不仅仅要掌握数学知识，同时还要掌握数学知识中所隐含的思想方法.本文将对“锐角三角函数”中蕴含的数学思想加以分析，以期对提高同学们数学素养有所帮助.

一、 一一对应思想

由相似的直角三角形可以知道，它们的边与边的比值随锐角大小的变化而变化，随着锐角大小的确定而惟一确定.同样，借助计算器根据锐角大小可以求得其三角函数值，反过来，借助计算器根据三角函数值可以求得对应的锐角大小.

例1 （2015·陕西）如图1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为_______.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）

【解析】由题意，得tanA=≈0.5283，利用计算器求得∠A≈27.8°.即本题正确应该填：27.8°.

【点评】本题考查了用计算器由三角函数值求锐角的度数，解题的关键是掌握由三角函数值求锐角度数的方法.

二、 转化思想

转化思想是初中数学中常用的数学思想，通过转化，可以把未知的关系转化为已知的条件，把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为相对容易的问题.

例2 （2015·桂林）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是_______.

【解析】根据题意得∠BCD=∠CAB，则tan∠BCD=tan∠CAB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB===，所以tan∠BCD=.因此，本题答案为.

【点评】本题既考查了对正切概念的掌握，也考查了灵活应用转化思想将问题中不常见的角转化为熟悉的直角三角形的锐角进行求解.

三、 方程思想

方程思想是一种重要的数学思想，所谓方程思想是指从问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思想方式.

例3 （2015·云南）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥.建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）.在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度.（参考数据：≈1.41，≈1.73；结果保留整数）

【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，构造Rt△ACD和Rt△BCD这两个直角三角形.设CD=x，分别在这两个三角形内，利用已知角的正切，用x表示出AD、BD的值，然后根据AB=AD+BD，列方程即可求解.

【解答】过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵∠CAB=30°，∴AD=CD.

∵∠CBA=60°，∴DB=CD.

∵AB=AD+DB=30，

∴CD+CD=30，

∴CD=≈×1.73≈13（米）.

答：河的宽度为13米.

【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用、方程思想，解题的关键是构造直角三角形，根据已知条件列方程.

四、 数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的数学思想方法.

例4 （2015·绵阳）如图4，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）.

A. （11-2）米

B. （11-2）米

C. （11-2）米

D. （11-4）米

【解析】设灯柱BC的长为h米，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CE⊥DH于点E.

∴四边形BCEH为矩形.

∵∠DCB=120°，∴∠DCE=30°.

又∵∠CDO=∠CBO=90°，

∴∠DOB=60°.

∵在Rt△DCE中，

∴DE=CD·sin30°=1，CE=CD·cos30°=，

∴BH=.

又∵OB=11，∴OH=11-.

在Rt△DOH中，

tan∠DOH===，

解得h=11-4.

因此，本题应该选D.

【点评】解答这类问题的关键是通过作垂线构造直角三角形，这是添加辅助线的常见方式，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，便于运用三角函数关系和勾股定理来解题.

五、 模型思想

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立锐角三角函数表示实际问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.

例5 （2015·盐城）如图5所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米.设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.

（1） 求楼房的高度约为多少米？（取1.73）

（2） 过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.

【解析】第（1）问，利用tanα=可轻松求解；第（2）问需作出α=45°的光线，构造直角三角形模型，从而解决问题.

解：（1） 当α=60°时，在Rt△ABE中，

∵tan60°==，

∴BA=10·tan60°=10≈10×1.73=17.3（米）.

答：楼房的高度约为17.3米.

（2） 小猫仍可以晒到太阳.

理由如下：

假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.

∵∠BFA=45°，

∴tan45°==1，

∴AF=BA=17.3，即此时的影长为17.3米，

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1，

∴CH=CF=0.1（米），

∴大楼的影子才到台阶MC这个侧面上，

∴小猫仍晒到太阳.

【点评】本题考查了有关锐角三角函数的应用问题，解题的关键是构造直角三角形模型，寻找直角三角形中合适的边角关系解决问题.

（作者单位：江苏省建湖县汇文实验初中教育集团汇文校区）