以课本习题为背景的中考题

刘顿

苏科版《数学》九年级下册第121页第14题：

如图1，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度.（精确到1 m）

【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E，由建筑物AB与铁塔CD相距60 m，铁塔顶部的仰角为45°，可以构造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，从而利用正切求出建筑物的高度，进而得到铁塔高度.

解：设过点A的水平线与CD交于点E，

由题意，得∠AEC=∠AED=90°，

∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），

∴CE=AE=60（m）.

在Rt△AED中，

∴AB=DE=AE·tan30°

=60×=20（m）.

∴CD=CE+AB=60+20≈95（m）.

答：铁塔CD的高度为95 m.

【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题，它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中，不仅如此，它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习，现归纳几例，供参考.

一、 简单改变有关数据

例1 （2015·安徽）如图2，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.（≈1.7）

【分析】过点B作BE⊥CD于点E，构造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.

解：过点B作BE⊥CD于点E，

在Rt△EBC中，

∵tan30°=，CE=AB=12，

∴BE==12，

在Rt△BDE中，

∵tan45°=，

∴DE=BE=12，

∴CD=CE+DE=12+12≈32.4（米）.

答：楼房CD的高度约为32.4米.

【点评】此类问题容易出错的地方是：一是不能把实际问题转化为几何问题；二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题，我们将十分容易地找到解决问题的切入点.

二、 求两幢建筑物之间的距离

例2 （2015·昆明）如图3，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【分析】分别在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的长，再相加即可.

解：由题意，得∠AEB=42°，∠DEC=45°.

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°.

∵tan∠AEB=，AB=15，∠AEB=42°，

∴BE=≈=.

在Rt△DEC中，∠CDE=90°，

∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，

∴ED=CD=20，

∴BD=BE+ED=+20≈36.7（m）.

答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.

【点评】由课本习题的求解策略，将实际问题转化成解直角三角形问题，理解仰角、俯角的定义，是解答此类题目的前提.另外，熟记特殊角的三角函数值，学会利用适当的三角函数关系式求解，是解答此类题目的必要条件.

三、 从其中的一幢建筑物中间观测另一幢建筑物

例3 （2015·临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42 m，这栋楼有多高.

【分析】如图4，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD、∠α和∠β已知，分别解直角三角形，求出BD、CD，它们的和就是楼高.

解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∴△ABD和△ACD都是直角三角形.

在Rt△ABD中，

∵tanα=，∠α=30°，AD=42（m），

∴BD=42×=14（m）.

在Rt△ACD中，

∵∠β=60°，tanβ=，

∴CD=42×tan60°=42（m）.

即BC=BD+CD

=14+42=56（m）.

答：楼高为56 m.

【点评】在直角三角形中，知道了一个锐角和至少一条边，就可以利用锐角三角函数和勾股定理，将其余的角和边求出来，这就是解直角三角形的一般思路.

四、 一建筑物改换成悬在半空的气球

例4 （2015·呼和浩特）如图5，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120 m，求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【分析】根据题意，得AD⊥BC，分别在Rt△ABD、Rt△ACD中结合已知条件利用正切函数的定义求出BD、CD的长，然后相加即得这栋高楼的高度.

解：依题意，在Rt△ABD中，

∵∠BAD=30°，tan30°=，

∴BD=AD·tan30°=120×=40.

在Rt△ACD中，

∵∠CAD=65°，tan65°=，

∴CD=120·tan65°.

∴BC=BD+CD=40+120·tan65°.

答：这栋高楼的高度为（40+120·tan65°） m.

【点评】此类问题容易出错的地方是在Rt△ABD、Rt△ACD中误用正弦、余弦函数求BD、CD的长.

五、 两建筑物之间加入第三种物体

例5 （2015·凉山）如图6，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔顶部C点，且仰角β为30°，已知树高EF=6 m，求塔CD的高度.（结果保留根号）

【分析】依题意可先在Rt△EPH中，求出PH，然后根据△EFD为等腰直角三角形求出FD，也就是HG的长，从而得到PG的长，再通过Rt△PCG，求出CG的长，进而能得到DC的长.

解：由题意，得∠ADB=∠α=45°，

PB=HF=GD=1（m）.

∵EF=6（m），∴EH=5（m）.

在Rt△EPH中，

∵∠β=30°，EH=5（m），

∴PH=·EH=×5=5（m）.

在Rt△EFD中，∠EDF=45°，EF=6（m），

∴FD=FE=6（m），

∴HG=FD=6（m），

∴PG=PH+HG=（5+6） m.

在Rt△CPG中，CG=PG·tanβ=（5+6）×=（5+2） m，

∴CD=CG+GD=（6+2） m.

答：塔CD的高度为（6+2） m.

【点评】解直角三角形问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：①根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；②若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.

六、 将问题变换成生活用品

例6 （2015·岳阳）如图7是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED=35 cm，求椅子高AC约为多少？

（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

【分析】利用已知条件判定四边形BCDE是矩形，得BE=CD.分别在Rt△ABE和Rt△ACD中，利用正切表示出AB、BE以及AC、CD的关系，利用BE=CD建立关于AC的方程，即可求解.

解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，

∴∠ACD=∠ABE=90°.

∵AC∥DE，

∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°，

∴四边形BCDE是矩形，

∴BC=DE=35（cm），BE=CD.

在Rt△ABE中，∠AEB=53°，

∴BE===，

在Rt△ACD中，∠ADC=64°，

∴CD===，

∴=，解得AC=105（cm）.

答：椅背AC高约105 cm.

【点评】利用解直角三角形来解决生活中的实际问题，是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点之一.解决这类问题，关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，即把实际问题抽象成数学模型（构造直角三角形），然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解.解题时应注意弄清仰角、俯角、水平距离、坡度（坡比）、坡角等概念的意义，认真分析题意，观察图形（或画图）找出要解的直角三角形，选择合适的边角关系式计算，并按照题中要求的精确度确定答案，注明单位.在一些问题中，如斜三角形问题，要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题.解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差.

（作者单位：江苏省射阳县阜余初级中学）